【正文】 ?? ? ?所以， 的不變因子為 ： ? ?A ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 1 211 , 1 ,Dd D d D ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2332 D ?? ? ??? ? ?? ?2200( ) 0 00 0 1A??????????????? ?1 1D ??? ? ? ? ?2 ? ? ?? ? ?2） 1 0 02 1 0 1 ,0 2 1???? ? ? ???又 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 3,D D D D? ? ? ?? ? ? ?12 ??? ? ?而 ? ? ? ? ? ? 44 ? ? ?? ? ?的不變因子為 ()A ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41 2 3 41 , 2 .d d d d? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?3 ???? ?2 1 0 00 2 1 00 0 2 10 0 0 2A???????????????????練習(xí)：求 的不變因子 ()A ?? ?1210 0 01 0 00 0 00 0 0 1nnaaAaa??????????????????答案 : ? ? ? ?11 1,ndd?? ?? ? ?? ? ? ? 111 .nnn n nd A a a a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?)(1 ??nd例 1. 證明：下列三個(gè)矩陣彼此都 不相似 . 0 0 0 0 1 00 0 , 0 1 , 0 10 0 0 0 0 0aaaA a B a C aaaa? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?證： 的不變因子是： EA? ?1 2 3,d a d a d a???? ? ? ? ? ?的不變因子是： EB? ?的不變因子是： EC? ?? ? 21 2 31 , ,d d a d a??? ? ? ? ?? ? 31 2 31 , 1 ,d d d a?? ? ? ?故 的不變因子各不相同，因此不相似。 ()k A k P?（ 2） 必有一個(gè)特征值為 。239。439。239。439。 與的正慣性 且二次型 指數(shù)相等 . 復(fù) 對(duì)稱矩陣 A、 B合同 ( ) ( ) .AB??秩 秩一． 實(shí)二次型 ? 正定性 ?定義 ? 正定矩陣 2) 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 存在 可逆 矩陣 C， 使 A C C?? . ?正定矩陣是可逆矩陣 . A的 順序主子式 Pk 全大于零 . ?1211( , , , )nnn i j i jijf x x x a x x X A X???????正定 實(shí)二次型 例 用合同變換求下面二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形 r1+r2 c1+c2 1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , ) 2 6 2f x x x x x x x x x? ? ?1 1 21 0 31 3 01 0 00 1 00 0 1?????????????????? ?0 1 11 0 31 3 01 0 00 1 00 0 1AE?????????????????2 1 21 0 32 3 01 0 01 1 00 0 1????????????????解： 的矩陣為 0 1 11 0 31 3 0A???????1 2 3( , , )f x x xr3+r1 r2－ r1 12c3+c1 c2－ c1 12－ 2r2 － 2c2 2 0 00 2 40 4 21 1 11 1 10 0 1?????????????????122 1 2020 2 21 0 01 1 00 0 1???????????????1212122 0 0020 2 211110 0 1???????????????????12122 0 00 1 40 2 211110 0 1?????????????????c3+2c2 r3+2r2 2000 2 40 0 61 1 11 1 10 0 1??????????????2 0 00 00 0 61 1 31 1 10 0 1???????????????作非退化線性替換 X=CY, 則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 2221 2 3 1 2 3( , , ) 2 2 6f x x x y y y? ? ?令 1 1 31 1 1 ,0 0 1C??? ? ?????則 20039。高代復(fù)習(xí)大綱 2022春 題型 ? 選擇題 ? 填空題 ? 小計(jì)算題 ? 大計(jì)算題 ? 證明題 主要內(nèi)容 一． 二次型 二． 線性空間 三． 線性變換 四． 矩陣 五． 歐幾里得空間 ?一． 二次型 ? 合同變換化標(biāo)準(zhǔn)形 ? 正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差 ? 實(shí)二次型、復(fù)二次型的合同的等價(jià)條件 定理： 數(shù)域 P上任一對(duì)稱矩陣 合同 于一 個(gè)對(duì)角矩陣 . 實(shí) 對(duì)稱矩陣 A、 B合同 ( ) ( )AB??秩 秩 BXXAXX 39。39。 0 2 0 ,0 0 6C AC????????例 、 判定下面二次型是否正定 . 其順序主子式 正定 . f?155 0 , 1 0 , 0 .PA? ? ? ? ? ? ?23 2 P P2 12 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?解： 的矩陣 5 2 42 1 24 2 5A???????????1 2 3( , , )f x x x解： 的矩陣 12( , , , )nf x x x111221112211122A?????????????????A的第 k階順序主子式 Pk （習(xí)題 7） 212112 ) ( , , , )nn i i ji i j nf x x x x x x? ? ? ?????1 , 2 , , .kn? 正定 . f?111 1 1122 1111 111222221111 11 2222kkkkP???11 1 1 111 1 1 1000( ) 0,22 2 2 20 0 0 0kkkk k k?? ? ?? ? ? ?21例 證明： 為半正定二次型 .（習(xí)題 15） 證法一 ： 對(duì)任意一組不全為 0的數(shù) 12, , , nc c c,有 故 ， f 半正定 . 21211( , , , ) ( 1 ) 2nn i i ji i j nf x x x n x x x? ? ? ?? ? ???2121( , , , ) ( ) 0n i ji j nf c c c c c? ? ?? ? ??221211( , , , ) ( )nnn i iiif x x x n x x????????????njiji xx12)(證法二 ： 21111 2 21111 1 11nniiiinninix xxx x x xBBxnx???????????????? ?????????????? ?????12111nxxBx????? ??????令 ,12( , ) ( ) ( ) ( ) ,g y y Y B B Y B Y B Y? ? ???考慮二次型