[理學(xué)]三重積分的應(yīng)用-文庫吧資料
2025-01-25 14:44本頁面
【正文】 yrM??????設(shè) 為空間內(nèi)一點，則點 可用三個有次序的數(shù)， ， 來確定，其中 為原點 與點 間的距離， 為有向線段與 軸正向所夾的角， 為從正 軸來看自軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段 的角，這里為點 在 面上的投影，這樣的三個數(shù)， ， 就叫做點 的球面坐標(biāo)．Px yzo),( zyxM?r???zyxA,r ????0 .20 ????,0 ????規(guī)定： 為常數(shù)r為常數(shù)?為常數(shù)?如圖，三坐標(biāo)面分別為 圓錐面； 球 面； 半平面． c o s sin c o s ,sin sin sin ,c o s c o s .x O P ry O P rz O M r? ? ?? ? ???? ????????? ???球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為 如圖， Px yzo),( zyxM?r???zyxA，軸上的投影為在點，面上的投影為在設(shè)點AxPPxoyM, , .si n si nOA x A P y PM zOP OM r??? ? ???則?????d x d y d zzyxf ),(????.s i n)c os,s i ns i n,c oss i n( 2 ???????? ddr drrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為 ,s i n2 ??? ddr drdv ??drxyzodr??dsinr?rd?d???d?sinr如圖， 例 2 計算 ?????? d x d y d zyxI )( 22 ，其中 ? 是錐面222 zyx ?? 與平面 az ? )0( ?a 所圍的立體 . 解 1 采用球面坐標(biāo)az ?? ,c o s ??? ar222 zyx ?? ,4????,20,40,c o s0: ????????????? ar?????? d xd y d zyxI )( 22drrdda? ????? ???? 40cos03420 s i n??????? ??da )0c o s(51s i n2 55403.10 5a??解 2 采用柱面坐標(biāo) ,: 222 ayxD ???? ???? d x d y d zyxI )( 22 ??? ? ?? ara dzrr d rd 2020? ??? a drrar0 3 )(2 ]54[254 aaa ???? .10 5a??222 zyx ??? ,rz ??,20,0,: ????????? arazr例 3 求曲面 2222 2 azyx ??? 與 22 yxz ?? 所圍 成的立體體積 . 解 ? 由錐面和球面圍成， 采用球面坐標(biāo)，由 2222 2 azyx ???,2 ar ??22 yxz ?? ,4????,20,40,20: ??????????? ar由三重積分的性質(zhì)知 ????? d x d y d zV ,??? ???? ?? a drrddV 20 2020 s i n4??????? 4033)2(s i n2 da.)12(34 3a???補充：利用對稱性化簡三重積分計算 使用對稱性時應(yīng)注意： １、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的 一般地，當(dāng)積分區(qū)域 ? 關(guān)于 x o y 平面對稱，且被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的偶函數(shù)，則三重積分為 ? 在 x o y 平面上方的半個閉區(qū)域的 三重積分的兩倍 . 奇偶性． 例 4 利用對稱性簡化計算 ??????????d x d y d zzyxzyxz1)1l n (222222 其中積分區(qū)域 }1|),{(222
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