[工學(xué)]微積分基本公式-文庫(kù)吧資料
2025-01-25 11:22本頁(yè)面
【正文】 xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()(在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?? ? 2000)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF27 ? ?,)()()()()( 200?? ???xxdttfdttftxxfxF)0(,0)( ?? xxf? ,0)(0? ?? x dttf,0)()( ?? tftx? ,0)()(0? ??? x dttftx).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) .28 例 5 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 1)( ?xf . 證明 1)(20 ?? ? dttfxx在 ]1,0[ 上只有一個(gè)解 . 證 ,1)(2)(0 ??? ? dttfxxFx,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?)( xF 在 ]1,0[ 上為單調(diào)增加函數(shù) .,01)0( ???F??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一個(gè)解 .令 29 定理 2（ 原函數(shù)存在定理 ） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù) .定理的重要意義： （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 30 定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba??? .又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù) ,? 已知 )( xF 是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù)，CxxF ???? )()( ],[ bax ?證 三、牛頓 — 萊布尼茨公式 31 令 ax ? ,)()( CaaF ????0)()( ??? ? dttfa aa? ,)( CaF ??),()()( aFxFdttfxa ??? ?,)()( CdttfxF xa ?? ??令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???牛頓 —萊布尼茨公式 32 )()()( aFbFdxxfba ???微積分基本公式表明： ? ?baxF )(? 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的增量 .注意 當(dāng) ba ? 時(shí)， )()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立 .求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題 . 33 例 6 求 .)1si nc o s2(20? ? ?? dxxx原式 ? ? 20co ssi n2 ?xxx ???.23 ???例 7 設(shè) , 求 . ????????215102)(xxxxf? 20 )( dxxf解 解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf在 ]2,1[ 上規(guī)定當(dāng) 1?x 時(shí)， 5)( ?xf ,? ??? 10 21 52 dxxdx原式 .6? xyo 1 2? ?2 sin c o s 2 sin 0 c o s 0 02 2 2? ? ???? ? ? ? ? ?????34 例 7 求 .},m a x {2 2 2?? dxxx解 由圖形可知 },m ax {)( 2xxxf ?,21100222??
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