【正文】 )()()]([πjπjπjπjedeede??????????????????F若頻譜沿頻率軸平移一個常值 , 對應的時域函數(shù)將乘因子 tf 02πje?0f即 70 信號的描述（ 50/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出7）微分和積分特性 微分性質(zhì) ffXtx ft d)()( 2? ???? πje ffXft tx ft d)(2d )(d 2 πjeπj ? ????)(π2jd )(d ffXttx ?若 )()2()( fXft tx nnnπjdd ?積分性質(zhì) ?????? ?? ttttxfFtxFt ttx ]d)([π2j)]([]d )(d[ dF)(j2 π1])([ fXfttxt ?? ?? dF )()( j 2 π1]d)(d)([ fXfttXttx nnt ???? ??? ???? ?? ?F在振動測試中，如果測得位移、速度或加速度中任一參數(shù) ,便可用傅里葉變換的微積分特性求其它參數(shù)的頻譜。 ?若磁帶慢錄快放 ,時間尺度壓縮 ,時域波形變窄 ,分析結(jié)果頻帶加寬 ,幅值降低 ,信號處理效率高 ,頻率分辨率高； ?若磁帶快錄慢放 ,則時間尺度擴展 ,時域波形變寬 ,結(jié)果頻帶變窄 ,幅值增高 ,信號處理效率低 ,頻率分辨率低。 證明：當信號 x(t) 的時間尺度變?yōu)? kt 時，有 )()( fXtx ?65 信號的描述（ 45/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出4）時間尺度改變性質(zhì) 0 0 0 0 0 0 66 信號的描述（ 46/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出時間尺度改變性質(zhì)應用 時間尺度改變性質(zhì)說明：時域時間變量增大 k倍，則頻域的頻率和幅值均縮小 k倍 圖 (c)表明當時間尺度壓縮 (k 1)時 ,頻譜的頻帶變寬 ,幅值變低；圖 (a)為時間尺度擴展 ( k 1)時 ,其頻譜的頻帶變窄 ,幅值增高。 對稱性質(zhì)說明 x t X f( ) ( )?61 信號的描述（ 41/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出對稱性圖示 62 信號的描述（ 42/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出3）奇偶虛實性 （ A） ? 一般是實變量的復變函數(shù)。 ? 利用這個性質(zhì) , 可以根據(jù)已知的傅里葉變換得出相應的變換對 ,免去了煩雜的數(shù)學推導過程。 x t X fy t Y f( ) ( )( ) ( )??信號的描述（ 39/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出2）對稱性質(zhì) 由已知的傅里葉變換對，可求得逆向相應的變換對。 非周期信號頻譜的特點 57 信號的描述（ 37/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出傅里葉變換的主要性質(zhì)表 58 )( 0ffX ?)( tx ? )( fX ?)(* tx )(* fX ?)(*)( 21 txtx )()(21 fXfX)()( tbytax ? )()( fbYfaX ? )()( 21 txtx )(*)( 21 fXfX)(tX )( fx ?)(ktx )(1 kfXk)( 0ttx ?性 質(zhì) 時 域 頻 域 性 質(zhì) 時 域 頻 域 函數(shù)的奇 偶虛實性 實偶函數(shù) 實偶函數(shù) 頻 移 實奇函數(shù) 虛奇函數(shù) 翻 轉(zhuǎn) 虛偶函數(shù) 虛偶函數(shù) 共 軛 虛奇函數(shù) 實奇函數(shù) 時域卷積 線性疊加 頻域卷積 對 稱 時域微分 尺度改變 頻域微分 時 移 積 分 信號的描述（ 38/53） tftx 0π2je)( ?nnttxd)(d ? ? )(π2j fXfn? ? )(π2j txt n?nnffXd)(d? ??t ttx d)( 存在f fXfXf )(),(π2j 10π2je)( ftfX ?第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出1) 線性疊加性 59 若 )()()()( fbYfaXtbytax ???則當 a， b為常數(shù)時，有： 兩函數(shù)線性疊加的傅里葉變換可以寫成兩函數(shù)的傅里葉變換的疊加 。 ||具有與原信號幅 值相同的量綱， |X(?)|是單位頻寬上的幅值 。 抽樣函數(shù)與矩形窗函數(shù)特點： 55 信號的描述（ 35/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出矩形窗函數(shù)譜圖 W(f ) T 0 1 T 1 T f 3 T 3 T ?(f ) ? 0 1 T 2 T 3 T 1 T 2 T 3 T 2 T 2 T 56 信號的描述（ 36/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出? 頻譜連續(xù)，幅值衰減。 W (f ) 中 T 稱為窗寬。 ? sinc? 在 n?（ n=?1, ?2, …… ）處其值為 0。 )( fX nCnC)( fX )( fX 是離散的， 是連續(xù)的。所以 是頻譜密度函數(shù)。上式中括號內(nèi)的積分 ,由于時間 t 是積分變量 ,所以積分后僅是 的函數(shù)并記作 ,即 )(?X50 信號的描述（ 30/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出傅里葉正逆變換式 1 ? ??? ?? dtetxX tj ?? )()(??? ? deXtx tj? ???? )(2 1)(傅里葉變換 (FT) 傅里葉逆變換 (IFT) 記為： x(t) X(?) FT IFT ????? ?)]([)()]([()( 1txFXXFtx??51 信號的描述（ 31/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出ttxX t de)()( j ?? ??????fπ2??以 代入 X(?)： ttxfX ft dπje 2)()( ??????ffXtx ft de πj 2)()( ? ????有 用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為 )()()(Im)(Re)( ffXfXfXfX ?jej ???22 )]([Im)]([ R e)( fXfXfX ??)(Re)(Imana rc t)(fXfXf ??傅里葉正逆變換式 2 52 信號的描述（ 32/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出周期信號的幅值譜與非周期信號的幅值譜的區(qū)別 盡管非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜 很相似，但是兩者量綱不同。因而周期信號的離散頻譜就變成了非周期信號的連續(xù)頻譜。瞬變信號的頻譜是連續(xù)頻譜。 ? 以下討論的非周期信號就指的是瞬變信號。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。 求正、余弦頻譜（ 1） 參數(shù) 0 0 1 0 0 1 1 1 1/2 0 0 1/2 1/2 1/2 t?cos t?sin0ananb22 nnn baA ??? ?nnn baC ??? nRCnICnInRn CCC 22 ??nRC?2/1 nIC?? 2/1方法一 43 信號的描述（ 23/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。 177。 )j(21 nnn baC ??求出后，將其寫成如下形式： nc進而確定： 2221nnn baC ??Re=an/2 Im= bn/2 )a r c t a n(nnn ab???用復指數(shù)展開式求頻譜總結(jié) (3) ttxTc tnTTn de)(1 0j22?????39 信號的描述（ 19/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出例：用復指數(shù)展開形式求周期方波頻譜，并作頻譜圖。 36 信號的描述（ 16/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出用復指數(shù)展開式 求頻譜總結(jié) (1) ),2,1,0(e)( 0j ?????? ?????nctx tnnn?復指數(shù)展開式： 如何求 ？ 幅頻譜圖： | | — ? 相頻譜圖： ?n —? 實頻譜圖 ： Re —? 虛頻譜圖 ： Im — ? nc37 信號的描述（ 17/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出ttntxTaTTndc os)(2 02/2/000????ttntxTbTTnds i n)(2 02/2/000????2221nnn baC ??Re=an/2 Im= bn/2 )a r c t a n(nnn ab???用復指數(shù)展開式求頻譜總結(jié) (2) )j(21 nnn baC ??通過三角函數(shù)展開式求得 。 ?????????????202022)(TttTAAtTtTAAtx)(tx?T2 T20 t 30 信號的描述（ 10/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出答案 ? 若取 ? n次諧波分量的幅值 ? n次諧波分量的相位 )s i n()( 010 nnn tnAatx ?? ??? ???2222π4nAbaAnnn ???2πa rc t a n ??nnn ba?tnnAAtxn0,3,122 c os1π42)( ???????31 信號的描述（ 11/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出利用歐拉公式求傅立葉系數(shù) 1 tttj ??? s i njc o s ???e)ee(21c o s jj ttt ??? ?? ?)ee(2js i n jj ttt ??? ?? ?)s i nc os()( 0010 tnbtnaatx nnn?? ??? ???]e)j(21e)j(21[)(00 jj10tnnntnnnnbabaatx ?? ????? ????得 代入 得 32 信號的描述（ 12/53） 第 1章 信號及其描述 上頁 下頁 目錄 返回 下頁目錄 返回退出00 aC ? )j(21nnn baC ??ttntxTaTTndc os)(2 02/2/000????偶函數(shù)......dc os)(2 02/2/000a nT Tn ttntxTa ?? ??? ?ttntxTbTTnd0