【正文】 , 一年后的本利和為 : (1+r/m)m, 一年內(nèi)所得利息為 (1+r/m)m1,則 : 例 22: 仍按照例 21的資料 ,某人存入銀行 1000元 ,年利率 8%,每季復(fù)利一次 ,問名義利率和實際利率各為多少 ,5年后可取多少錢 ? 解 : r = 8% 。實際利率 ，是指在一年內(nèi)實際所得利息總額與本金之比。 ? 名義利率， 是指每年結(jié)息次數(shù)超過一次時的年利率。因此，一年內(nèi)所得利息總額將超過按年利率、每年計息一次所得利息。而且，通常是給出年利率，同時注明計息期，如例 21中：利率 8%，按季計息等。 2 ＝ 5％ 復(fù)利次數(shù) ＝ 5 2 ＝ 10 F = 1000 （ 1＋ 5％） 10 ＝ 1000 ＝ 1629（元） 每半年復(fù)利一次 I = 16291000=629 (元） 例 20： 本金 1000元，投資 5年，年利率 10％，每年復(fù)利一次，則有 F=1000 （ 1＋ 10％） 5 ＝ 1000 ＝ 1611（元） I ＝ 611（元） ? 例 21：某人存入銀行 1000元，年利率 8%，每季復(fù)利一次，問 5 年后可取出多少錢？ ? 解： m = 4； r = 8% ； r/m = 8%/4 = 2% ； n = 5； t = m*n = 4 5 = 20 ? F = 1000（ F/P， 2%， 20） ? =1000 = （元） ? ? （二）名義利率與實際利率 ? 利率是應(yīng)該有時期單位的，如年利率、半年利率、季度利率、月利率、日利率等，其含義是，在這一時期內(nèi)所得利息與本金之比。 2022/2/9 計息期短于一年的時間價值 nmtmir??? 當(dāng)計息期短于 1年，而使用的利率又是年利率時，計息期數(shù)和計 息率應(yīng)分別進(jìn)行調(diào)整。 但在復(fù)利計息的情況下，由每月（半年、季、日等）所得利息還要再次生利，所以按月（半年、季、日等）計算所得利息將多于按年計算所得利息。 年金和不等額現(xiàn)金流量混合情況下的現(xiàn)值 某公司投資了一個新項目，新項目投產(chǎn)后每年獲得的現(xiàn)金流入量如下表所示，貼現(xiàn)率為9%，求這一系列現(xiàn)金流入量的現(xiàn)值。若年利率為 10%，現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？ （元） 例 18： 某人持有的某公司優(yōu)先股，每年每股股利為 2元，若此人想長期持有，在利率為 10%的情況下，請對該項股票投資進(jìn)行估價。 由于永續(xù)年金持續(xù)期無限，沒有終止的時間，因此沒有終值，只有現(xiàn)值 。 ? 假定該公司的最低報酬率為 10%，你認(rèn)為該公司應(yīng)選擇哪個方案？ ? P = 20（ P/A， 10%， 10）（ 1+10%） =20 = ? 或 = 20[ (P/A,10%,9) + 1] = 20 [ + 1 ]= P = 25 (P/A ,10% ,10 ) (P/F ,10%, 4 ) = 25 = 或 =25[(P/A,10%,14 ) –(P/A,10%,4)] =25[ – ]= ——無限期支付的年金 iAV10 ??(perpetual annuity) ?永續(xù)年金 ， 是指無限期等額收付的特種年金。則此人應(yīng)在最初一次存入銀行多少錢？ 解： 方法一： P= 1000 (P/A , 10%, 5 )(P/F , 10% , 5) 查表： (P/A , 10%, 5 ) = (P/F , 10% , 5) = 所以： P = 1000 ≈2354 方法二： P= 1000[ (P/A , 10% , 10 )(P/A ,10%,5 )] 查表： (P/A , 10% , 10 ) = (P/A , 10%, 5 ) = P= 1000 [ ] ≈2354 例 16：某公司擬購置一處房產(chǎn)，房主提出兩種付款方案： ? ，每年年初支付 20萬元，連續(xù)支付 10次，共 200萬元。 (F/A,i,n) (P/A,i,n) ——現(xiàn)值 (deferred annuity) 在最初若干期 (m)沒有 收付款項的情況下，后面若干期 (n)有等額 的系列收付款項。則該公司在第 5年末能一次取出的本利和為： 1） F = 100 [(F/A , 10%, 6 ) – 1] 查表： (F/A , 10%, 6 ) = F = 100 [ – 1 ] = 2) F = 100（ F/A ， 10% ， 5） (1+10% ) 查表：（ F/A ， 10% ， 5） = F = 100 = 例 13：已知某企業(yè)連續(xù) 8年每年年末存入 1000元，年利率為 10%， 8年后本利和為 11436元，試求，如果改為每年年初存入 1000元， 8年后本利和為（ ）。 ≈177 ? ?i niPA? ????11問題 : 復(fù)利的終值 與現(xiàn)值的 起始時間 相關(guān) OR與終值和現(xiàn)值之間的期間個數(shù) 相關(guān) ? 1. 如果我在第 2年年末存入銀行 1萬元 ,銀行利率為 5%,第五年年末我可以從銀行取出多少資金 ? 2. 如果我現(xiàn)在存入銀行 1萬元 ,銀行利率為 5%,第三年年末我可以從銀行取出多少資金 ? 解 :1) F= 1*(1+5%)3 2) F= 1*(1+5%)3 同理 ,年金的終值 與年金的起始點沒有關(guān)系 ,而與年金的終值和現(xiàn)值之間的期間數(shù)或者說年金個數(shù)密切關(guān)聯(lián) . 1. 如果我從第 2年年末開始每年末存入銀行 1萬元 ,銀行利率為 5%,第五年年末我可以從銀行取出多少資金 ? 2. 如果我從現(xiàn)在開始每年初存入銀行 1萬元 ,銀行利率為 5%,第三年年末我可以從銀行取出多少資金 ? 解 :1) F= 1*(1+5%)3+1*(1+5%)2+1*(1+5%)1+1*(1+5%)0 2) F= 1*(1+5%)3+1*(1+5%)2+1*(1+5%)1+1*(1+5%)0 一、即付年金的計算（先付年金） 即付年金，是指從第一期起在一定時期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項，又稱先付年金、預(yù)付年金。 （ P/A ,i , n） ? 例 11： 某企業(yè)現(xiàn)在借得 1000萬元的貸款，在 10年內(nèi)以年利率 12%等額償還，則每年應(yīng)付的金額為： ? A = 1000247。該系數(shù)可通過查 “ 資本回收系數(shù)表 ” 或利用年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)求得。年資本回收額的計算是年金現(xiàn)值的逆運算。 nin P V I F AAP V A ,?? PVAn： Annuity present value 年金現(xiàn)值 可通過查年金值系數(shù)表求得 nP V I F A i , (P/A,i,n) 年金終值和現(xiàn)值 2022/2/9 ? 后付年金的現(xiàn)值 2022/2/9 年金終值和現(xiàn)值 ? 后付年金的現(xiàn)值 ? ?iAPi n? ???? 11式中 稱為 “ 一元年金的現(xiàn)值 ” 或 “ 年金現(xiàn)值系數(shù) ” ， 記作 （ P/A ， i ， n） 。所以： ? A = F（ A/F ， i ， n）或 A = F/（ F/A ,i , n） ? 例 9：假設(shè)某企業(yè)有一筆 4年后到期的借款，到期值為 1000萬元。年償債基金的計算實際上是年金終值的逆運算，其計算公式為： ? ? 式中的分式稱作 “ 償債基金系數(shù) ” ，記作 （ A/F,i,n） 。 后付年金終值 式中： 稱為“一元年金的終值”或“年金終值系數(shù)”，記作：（ F/A,i,n） 。 推廣到 n項： .. .)1()1()1( 210 iAiAiAF V A n ??????12 )1()1( ?? ???? nn iAiA?????nttiA11)1(是一定時期內(nèi) 每期期末等額收付款項的 復(fù)利終值 之和。 nn iFVPV)1(1???復(fù)利現(xiàn)值系數(shù) P/F,i,n niP V IF ,nin P V I FFVPV ,?? 可通過查復(fù)利現(xiàn) P/F,i,n 值系數(shù)表求得 niP V I F ,注意 可見： ——在同期限及同利率下，復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)（ P/F,i,n）與復(fù)利終值系數(shù)（ F/P,i,n ）互為倒數(shù) 例 5 某人有 18萬元 ,擬投入報酬率為 8%的投資項目 ,經(jīng)過多少年才可使現(xiàn)有資金增長為原來的 ? F = 180000* = 666000(元 ) F = 180000*(1+8%)n 666000 = 180000*(1+8%)n (1+8%)n = (F/P,8%,n) = 查 ”復(fù)利終值系數(shù)表 ”,在 i = 8% 的項下尋找 , (F/P,8%,17) = , 所以 : n= 17, 即 17年后可使現(xiàn)有資金增加 3倍 . i 例 6 現(xiàn)有 18萬元 ,打算在 17年后使其達(dá)到原來的 倍 ,選擇投資項目使可接受的最低報酬率為多少 ? F = 180000* = 666000(元 ) F = 180000*(1+i)17 (1+i)17 = (F/P,i,17) = 查 ”復(fù)利終值系數(shù)表 ”,在 n = 17 的項下尋找 , (F/P,8%,17) = , 所以 : i= 8%, 即投資項目的最低報酬率為 8%,可使現(xiàn)有資金在 17年后達(dá)到 . 復(fù)利終值和復(fù)利現(xiàn)值 由終值求現(xiàn)值，稱為貼現(xiàn)，貼現(xiàn)時使用的利息率稱為貼現(xiàn)率。 ? FV= F = 20,000（ F/P,6%， 3） ? 經(jīng)查表得：（ F/P,6%， 3） = ? FV = F = 20,000 = 23,820 方案一的終值： FV5 (F)=800000（ 1+7%） 5=1122041 或 FV5 =800000（ F/P,7%,5） =1122400 方案二的終值： FV5 =1000000 舉例 某人擬購房，開發(fā)商提出兩種方案，一是現(xiàn)在一次性付 80萬元；另一方案是 5年后付 100萬元若目前的銀行貸款利率是 7%，應(yīng)如何付款？ 復(fù)利終值 復(fù)利終值系數(shù) (F/P,i,n) nn iPVFV )1( ??nF V I F i ,nF V I F iPVFV n ,??nF V I F i , 可通過查復(fù)利終 (F/P,i,n) 值系數(shù)表求得 注意 復(fù)利現(xiàn)值 復(fù)利現(xiàn)值是復(fù)利終值的對稱概念，指未來一定時間的特定資金按復(fù)利計算的現(xiàn)在價值，或者說是為取得將來一定本利和現(xiàn)在所需要的本金 1）復(fù)利現(xiàn)值的特點是： 貼現(xiàn)率越高，貼現(xiàn)期數(shù)越多，復(fù)利現(xiàn)值越小。 則： F = P（ F/P， i， n） 期數(shù) 期初 利息 期末 1 P P*i P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i)*i P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2*i P(1+i)3 n P(1+i)n1 P(1+i)n1*i P(1+i)n 終值 又稱復(fù)利終值，是指若干 期以后包括 本金 和 利息 在內(nèi)的未來價值。 1 ? ： ? 復(fù)利終值計算 : F= P(1+i)n ? 式中， (1+i)n稱為一元錢的終值，或復(fù)利終值系數(shù)，記作：（ F/P， i， n）。則該持有者到期可得利息為： I = 2022 5% 90/360 = 25（元） 到期本息和為 : F = P*(1+i*n)=2022*(1+5%*90/360)=2025 (元） ? 除非特別指明 ,在計算利息時 ,給出的利率均為年利率 例 2 某人存入銀行一筆錢 ,年利率為 8%,想在 1年后得到 1000元 ,問現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢 ? ? P = F/(1+i*n) = 1000/(1+8%*1)=