【正文】 高斯分布很接近。 !)( kekaP k????? (34) 其中 k=1， 2， ... 我們就可以清楚泊松分布的一個(gè)最重要的性質(zhì)，即其方差與期望值相等。那么， a 的分布函數(shù)常被模擬為參數(shù)為 ? 的泊松分布。 （ 5） 光子計(jì)數(shù)噪聲 基本上，獲得圖像的設(shè)備都是光子計(jì)數(shù)器。有連續(xù)不變顏色的很大區(qū)域被清晰的邊界分隔。 較小量化級(jí)數(shù)圖像的普遍特征也許就是所謂的“圓齒狀”。均衡噪聲與上面所討論的重尾噪聲的完全相反。 就像我們應(yīng)該知道的那樣，量化噪聲通常都被建模為均衡噪聲。在圖像中，量化噪聲常常出現(xiàn)在數(shù)據(jù)收集過程。利用多種順序統(tǒng)計(jì)濾波器可以很容易將椒鹽噪聲消除，特別是中心加權(quán)中位值濾波和 LUM濾波器。這種噪聲影響就像少量黑白點(diǎn) —— 即鹽粒和胡椒粉在圖像上。閃電淹沒了微電子的作用主宰了和函數(shù)。大多數(shù)時(shí)間，中心極限定理的條件還是很好的被滿足，而噪聲也是高斯型。二重指數(shù)密度就是所謂的重尾噪聲。 “重尾”就是對(duì)于值很大的 x，其密度 )(xPn 趨近 0的速度比高斯型慢很多。這是一種值得注意的情況。 （ 2） 重尾噪聲 很多情況下，中心極限定理的條件都只是差不多滿足而不是十分滿足和函數(shù)中的項(xiàng)可能不是足夠的多，或者那些項(xiàng)不是充分的獨(dú)立，或者其中小部分的項(xiàng)對(duì)和提供的數(shù)據(jù)不均衡。 高斯分布最重要的性質(zhì)應(yīng)該是中心極限定理，這個(gè)定理陳述了大量的獨(dú)立、小隨機(jī)變量和的分布函數(shù)具有高斯分布的特性。如，光子計(jì)數(shù)噪聲和影片顆粒噪聲。加性高斯噪聲可能是出現(xiàn)概率最大的一類噪聲了。 第二常用的分解就是乘性的，即 )()()( xnxfxg ?? (32) 散斑就是通常被模擬為乘性噪聲的一個(gè)例子。我們將圖像分解成所需要的部分，用 f(x)表示，噪聲部分用 n(x)表示。因此要減少圖像中的噪聲，必須針對(duì)具體情況采用不同的方法，以達(dá)到滿意的處理效果。 第 3 章 經(jīng)典噪聲類型及去噪方法 經(jīng)典噪聲類型 噪聲是造成圖像退化的重要因素之一，數(shù)字圖像的噪聲主要來源于數(shù)字化過程和傳輸過程。 本章是小波分析的理論基礎(chǔ)。 在定義 中， jV 對(duì)應(yīng)于 j?2 分辨率，有時(shí)候 jV 對(duì)應(yīng)于 j2 分辨率，這時(shí)，性質(zhì) （ 1） 、（ 3） 中子空間的下標(biāo)要做相應(yīng)的變化。 LL 1 HL 1 LH 1 HH 1 圖 21 一次離散小波變換后的頻率分布 LL 3 HL 3 HL 2 HL 1 LH 3 HH 3 LH 2 HH 2 LH 1 HH 1 圖 22 層小波變換后的頻率分布 多分辨分析 Mallat 使用多分辨分析的概念統(tǒng)一了各種具體小波基的構(gòu)造方法，并由此提出了現(xiàn)今廣泛使用的 Mallat 快速小波分解和重構(gòu)算法，它在小波分析中的地位與快速傅里葉變換在傅里葉分析中的地位相當(dāng)。那么每次小波變換后，圖像便分解為 4 個(gè)大小為原來尺寸 1/4 的子塊區(qū)域，如圖 21 所示，分別包含了相應(yīng)頻帶的小波系數(shù)，相當(dāng)于在水平方向和堅(jiān)直方向上進(jìn)行隔點(diǎn)采樣。 假定 ? 是一個(gè) R函數(shù)，那么存在 ??RL2 的一個(gè)唯一的 Riesz基 ? ? Zkjkj ?,? ，它在意義 Zmlkjmkljmlkj ?? , , ???? 上與 ? ?kj,? 對(duì)偶。 變換形式為：kjjjf fkWT ,2,21 ???????? 為了能重構(gòu) 信號(hào) ??tf ，要求 ? ?Zkjkj ?,?是 ??RL2 的 Riesz 基。 由于連續(xù)小波變換存在冗余，因而有必要搞清楚，為了重構(gòu)信號(hào)，需針對(duì)變換域的變量 a ， b 進(jìn) 行 何 種 離 散 化 ， 以 消 除 變 換 中 的 冗 余 ， 在 實(shí) 際 中 ， 常 取Zkjakb jj ??? ,?，F(xiàn)在的問題是 ，怎樣離散化才能得 到構(gòu)成空間 )(2 RL 的正交小波基。 離散小波變換 通常 用冗余度這一概念來衡量函數(shù)族是否構(gòu)成正交性 ，若信號(hào)損失部分后仍 能傳遞同樣的信息量 ，則稱此信號(hào)有冗余，冗余的大小程度稱為冗余度。 任何變換只有存在逆變化才有實(shí)際意義。此性質(zhì)表明，當(dāng)信號(hào)在時(shí)域作某一倍數(shù)伸縮時(shí)，其小波變換在 a,b兩軸上也作同一倍數(shù)伸縮，形狀不變。x(t)的時(shí)移對(duì)應(yīng)于 WT 的 b移。 CWT 系數(shù)具有很大冗余量 ，從節(jié)約計(jì)算量來說，這是它的缺點(diǎn)之一，但是從 另一方面來講 ，我們可以利用 CWT 的冗余性實(shí)現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的目的 ，其冗 余性又成為CWT 不可替代的優(yōu)勢(shì)。由 于小波基不同于傅 立 葉基 ，小波變換與傅立葉變換有許多不同之處，其中最重要 的是 ，小波基具有尺度 a、平移 b 兩個(gè)參數(shù) ，將函數(shù)在小波基下展開，就意味著 將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間 ，尺度相平面上。 將小波母函數(shù) )(t? 進(jìn)行伸縮和平移得小波基函數(shù)： Rbaa btatba ???? ? ,0),()( 21, ?? (212) 其中 a 為伸縮因子（又稱尺度因子）， b 為平移因子?？偟膩碚f，小波變換具有更好的時(shí)頻窗口特性。這說明連續(xù)小波的局部是變化的，在高頻時(shí)分辨率高，在 低頻時(shí)分辨率低。 令 x(t)的傅里葉變換為 )(?X ， )(t? 的傅里葉變換為 )(?? ，由傅里葉變換的性質(zhì)，)(, tba? 的傅里葉變換為 bjba eaaa btat ?????????? )()()(1)(, ?? (29) 由 Parseval 定理可得 ??????????? ????? deaX2 aXbaWT bjbax )()()(),(2 1),( *, ?? (210) 此式即為小波并變換的頻率表達(dá)式。 a 稱為尺度因子， b 為位置參數(shù)， 若 a， b 不斷地變化，可得到一組函數(shù) )(, tba? 。 小波變換 令 )()( 2 RLt ?? （ )(2 RL 表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間），其傅里葉變換為 )(?? 。但是當(dāng)窗口函數(shù)選定以后 ，它不能隨著所要分析的的信號(hào)成份在高 頻信息和低頻信息而相應(yīng)變化 ，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析能力是很有限的，不適合分 析頻帶較寬的頻譜。 )(xg 的中心 )(gE 和半徑 )(g? 分別定義為： )(gE dxxg dxxgx 2 2)( )(???????????? )(g? =dxxgdxxggEx222)()()]([?? ???? ????? 24) 如果窗函數(shù) )(xg 的傅立葉變換 )(wG 也滿足窗函數(shù)的條件， )(wG 的頻率中心 )(GE 和頻窗半徑 )(G? 分別定義為： )(GE dwwG dwwGw 2 2)( )(???????????? )(G? =dwwGdwwGGEw222)()()]([?? ???? ????? (25) 對(duì)任意固定的 t 和 w，加窗傅立葉變換 給出了信號(hào)在時(shí)頻平面上的一個(gè)時(shí)頻窗 )]()(),()([)]()(),()([ GwGEGwGEttgEttgE ????????????? (26) 選定窗口函數(shù) )(xg 之后 ，這個(gè)時(shí)頻 窗是時(shí)頻平面上的一個(gè)具有固定面積)()(4 Gg ?? 的矩形。 加窗傅 立 葉變換 由于傅 立 葉變換不能將信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征有機(jī)結(jié)合起來， DennisGabor 于1946 年提出了短時(shí)傅 立 葉變換 (Short Fourier Transform)，也稱為加窗傅 立 葉變換(Windowed Fourier Transform)。由定義可知屬于某一給定的區(qū)間反映不出 )(tf 在其時(shí)間區(qū)域上的信息。受海森堡測(cè) 不準(zhǔn)原理的制約， 時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好 ，也無法根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來自動(dòng)調(diào) 節(jié)時(shí)域及頻域的分辨率。傅 立 葉變換有很強(qiáng)的頻域定位和頻域局部化能力 ，但是沒有 時(shí)間定位和時(shí)間局部化能力。傅 立 葉變換 （ Fourier Transform）定義為：給 定信號(hào) )(tf ， 如果它滿足 ??????? dttf 2)( (21) 那么可對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換 dtetfwF jw t??????? )()( (22) 其逆變換為 dwewFtf jw t)(21)( ?? ???? ? (23) )(tf 與 )(wF 是一一對(duì)應(yīng)的變換對(duì)。 傅立葉變換 自 Fourier 提出了 Fourier 分析這一全新的觀點(diǎn)后 ，傅立葉變換在分析領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn) 生了極為重要的影響 ，使數(shù)學(xué)和物理等學(xué) 科發(fā)生了很大的變化，引起了眾多科學(xué) 家的廣泛關(guān)注。小波分析與 Fourier 分析的區(qū)別在于， Fourier 分析只考慮時(shí)域和頻域 之間的一對(duì)一的映射，它以單個(gè)變量（時(shí)間或頻率）的函數(shù)表示信號(hào)，時(shí)頻分析在時(shí)頻平面上表示非平穩(wěn)信號(hào)，小波分析則聯(lián)合時(shí)間，尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號(hào)，小波分析描述非平穩(wěn)信號(hào)雖然也在二維平面上，但不是在時(shí)頻平面上，而是在時(shí)間— 尺度平面上，在小波分析中，人們可以在不同尺度上來觀察信號(hào)，這種對(duì)信號(hào)分析的多尺度觀點(diǎn)是小波分析的基本特征。近年來小波理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展，人們構(gòu)造出同時(shí)具有多種優(yōu)良性質(zhì)的小波，同時(shí)也從另外一個(gè)角度去放寬正交小波基的條件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波理論不斷完善。小波分析在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的 局部化特性，克服了傳統(tǒng) Fourier 分析的不足，由于小波分析對(duì)高頻采取逐漸精細(xì)的時(shí)域步長，從而可以聚焦到被分析信號(hào)的任意細(xì)節(jié)。它克服了短時(shí)傅里葉變換固定分辨率的缺定，即能分析信號(hào)的整個(gè)輪廓，又可以進(jìn)行信號(hào)細(xì)節(jié)的分析。小波分析屬時(shí)頻分析的一種。近些年來，小波分析成為信號(hào)處理研究的熱點(diǎn)，不僅僅在理論上取得了很多突破性的進(jìn)展，而且還在圖像處理、語音信號(hào)處理、地震信號(hào)處理以及 數(shù)據(jù)壓縮處理等許多領(lǐng)域中得到了極廣泛的應(yīng)用。 第 2 章 小波變換的基本理論 小波分析（ Wavelet Analysis）是數(shù)字信號(hào)處理中非常有力的一種工具。給出了圖像去噪的一般模型和圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過編 程實(shí)現(xiàn)小波閾值去噪 ， 得到去噪后信號(hào)的直觀圖形 ，以及去噪的信噪比和最小平方誤差，從而直觀地證明了基于小波閾值消噪 方法的優(yōu)越性。 再次 ，為一維信號(hào)和二維圖像小波變換去噪算法的研究。 其次 ，介紹了幾種經(jīng)典的噪聲的類型，并介紹了幾種經(jīng)典的去噪方法和 Matlab 仿真工具，接著給出了小波消噪綜述。 本文內(nèi)容安排如下： 首先 ，介紹小波變換基本理論。此外 ，還有基于投影原理 的匹配追蹤 （ matching persuit） 去噪法以及多小波 （ multiwavelet）去噪法等。 總之 ， 目前小波去噪方法的研究非?；钴S ，不斷有 新的方法出現(xiàn)，尤其是有關(guān) Gaussian 噪聲的去除已取得了不少好的結(jié)果。Zhang 等人提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像去噪算法。趙瑞珍等人提出了一種 Poisson 噪聲去除的小波變換局部域復(fù)合濾波算法。 Chang 等人在 2022 年將自適應(yīng)閾值和平移 不變量去噪思想結(jié)合起來 ，提出一種針對(duì)圖像的空域自適應(yīng)小波閾值去噪方 法 ，所選閾值可隨圖像本身的統(tǒng)計(jì)特性而作自適應(yīng)改變。事實(shí)上 PRESS最優(yōu)非線性小波濾波方法也是介于軟閾值和硬閾值之間的一種方法。 Nowak 于 1997年提出 Cross Validation 方法進(jìn)行最優(yōu)信號(hào)估計(jì) ，同年 Jansen 等人采用 GCV(Generalized Cross Validation)估計(jì)器來估計(jì)小波閾值 ，從而對(duì)圖像中的相關(guān)噪 聲進(jìn)行去除。 Gao 和 Bruce 把軟閾值和硬閾值方法進(jìn)行推廣 ，提出了 semisoft 閾值方法 ，研究了不同收 縮 (shrinkage)函數(shù)的特性 ，推導(dǎo)出最小最大閾值，并給出閾值估計(jì)的偏差、方差等 的計(jì)算公式。 Stanford 大學(xué)以 Donoho 為首的一個(gè)學(xué)術(shù)群體致力于信號(hào)的去噪 ，取得了大量 的成果。潘泉等人推導(dǎo)出噪聲 能量閾值的理論計(jì)算公式 ，并給出了一種估計(jì)信號(hào)噪聲 方差的有效方法，使得空域相 關(guān)濾波算法具有自適應(yīng)性。 Xu 等人于 1994 年提出了一種基于空域相關(guān)性的噪聲去除方法 ， 根據(jù)信號(hào)與噪聲的小波變換系數(shù)在相鄰尺度之間的相關(guān)性進(jìn)行濾波 ，該方法雖不夠精確，但很直接， 易于實(shí)現(xiàn)。然而， 交替投影方法計(jì)算量很大，需要 通過迭代實(shí)現(xiàn) ，有時(shí)還不穩(wěn)定。因此，基于 模極大值原理進(jìn)行信號(hào)去噪時(shí) ，存在一個(gè)由模 極大值點(diǎn)重構(gòu)小波系數(shù)的問題。其基本原理是在小波變換域內(nèi)去除由噪聲對(duì)應(yīng)的模極大值點(diǎn) ，僅保留由真實(shí)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的模極大值 點(diǎn)。早期的小波去噪工 作類似有損壓縮技術(shù) ，即 先對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行正交小波變換，再選定一個(gè)固定的閾 值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍 ，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu) 恢復(fù)原信號(hào) ，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用 。相對(duì)早期的方法而言