【正文】 限信號分解到以為正交基的空間上去；而小波變換的實質(zhì)是把能量有限的信號分解到由小波函數(shù)所構(gòu)成的空間上去。自產(chǎn)生以來，就一直與傅里葉分析密切相關(guān)。關(guān)于雙正交小波濾波器的構(gòu)造設(shè)計方法、完全重構(gòu)條件等問題，文獻[1719]等均作了詳細闡述。雙正交小波對正交作出了“讓步”，以求得對稱性和緊支性，并且使用FIR濾波器可以進行精確重構(gòu)。與之對應(yīng)，雙正交小波分解和重構(gòu)的濾波器可以有四個：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構(gòu)低通濾波器和重構(gòu)高通濾波器。和彼此對偶且相互正交（雙正交）。為了彌補這一缺點，于是就出現(xiàn)了雙正交小波的理論。盡管用正交濾波器實現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的引用，并在圖像處理（如圖像降噪、圖像邊緣檢測、圖像紋理分析、圖像壓縮編碼等）中取得了良好的效果；同時正交濾波器組也有許多優(yōu)點，例如分解的正交性、實現(xiàn)簡單——分解和重構(gòu)濾波器相同等；但是由于用于正交小波變換的正交濾波器不具有線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會引起圖像中邊緣的失真。然而Haar小波過于簡單，多數(shù)應(yīng)用場合其性能不佳。我們知道，在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的FIR濾波器，那么對稱和精確重建是不可能同時滿足的（Haar小波除外）。CQF濾波器具有很強的正交性，所以也叫正交濾波器。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波變換。f (x , y)LL11LL2LH2HL2HH2LH1HL1HH1(a) 圖像的小波樹形分解LL2 HL2 LH2 HH2 HL1 LH1 HH1(b) 圖像小波分解的塔型結(jié)構(gòu) 二維圖像的小波分解按照Mallat的快速算法，：GHGHGHX與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器從兩列中取一列從兩行中取一行 圖像的小波分解算法，可以看到：二維圖像的小波分解可以對圖像依次按行、按列與一維的低通(H)和高通(G)濾波器作卷積來實現(xiàn)，在卷積之后進行相應(yīng)的降2采樣。圖中符號的上標表示圖像的小波分解層數(shù)，圖中示意了圖像的2級小波分解。具體來說，函數(shù)系 ， 是 的正交歸一基，其中均為整數(shù)，=1,2,3分別對應(yīng)于水平、垂直和對角三個方向。因此以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的 或 ，所以它們都是帶通的。如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個小波函數(shù)為： （）對于每一個，它們的整數(shù)平移系為： （）注意這里的上標只是索引而不是指數(shù)。對于每一個,函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標j，n，m的含義是： （）我們將稱為的可分離多分辨率分析。設(shè)是的一個多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構(gòu)成的一個多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為 ()式中：是尺度函數(shù)(一維)。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關(guān)系。 上述信號經(jīng)過分解后也可得以重建，其重建過程是分解過程的逆過程：每一支路先進行升采樣（即在輸入序列的每兩個相鄰樣本間補一個零，使數(shù)據(jù)長度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對相應(yīng)級上濾波后的兩支路進行求和。樹形分解適應(yīng)由粗到精的多分辨率分析的過程。如果直接采用若干個帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號x(n)分解到多個不同的頻帶、…，因各個濾波器均不相同，因此其設(shè)計和計算量都較大，而且，隨著分解級數(shù)的增加計算量將成比例增加。第二級H0的真實頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因為第二級輸入的采樣間隔是2Ts，所以有。這是因為前一級的輸出經(jīng)過了降采樣，而濾波器的設(shè)計是根據(jù)歸一頻率進行的。信號經(jīng)H0和H1，濾波后兩支路輸出必定正交（因為頻帶不交疊），同時由于兩支路輸出的帶寬均減半，因此采樣率可以減半而不會引起信息的丟失。0 V3 W3 W2 W1V2V1V0 多分辨率頻帶的逐級剖分 基于上述考慮，我們可以用一對FIR濾波器去實現(xiàn)上述的多分辨率分解。這種子空間的分解過程可以記為： （）其中符號表示兩個子空間的“正交和”；代表與分辨率對應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間是的正交補空間；各是反映空間信號細節(jié)的高頻子空間，是反映空間信號概貌的低頻子空間。多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（）。這樣利用尺度函數(shù)和小波函數(shù)構(gòu)造信號的低通濾波器和高通濾波器。多分辨率分析具有如下性質(zhì)[16]：(1) 單調(diào)性，； （）(2) 逼近性，； （）(3) 伸縮性； （）(4) 平移不變性； （）(5) Riesz基存在函數(shù)，使得構(gòu)成的Riesz基，即對任一，存在唯一的，使在均方收斂意義下成立 （）且存在，使 （）由以上可以看出，所有的閉子空間都是由同一尺度的函數(shù)伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱為多分辨率分析的尺度函數(shù)。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。離散小波變換為： （）離散二進小波變換為： （）二維離散小波變換：我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： （）設(shè)是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： （） （） （）以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。在離散化時通常對尺度因子和平移因子按冪級數(shù)進行離散化，即取（為整數(shù)，但一般都假定），得到離散小波函數(shù)為： （）其對應(yīng)系數(shù)為： （）（2）二進制小波變換二進小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，則有。這兒限制尺度因子總是正數(shù)。而最基本的離散化方法就是二進制離散，一般將這種經(jīng)過離散化的小波及其變換叫做二進小波和二進變換。若是一個二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是： （）其中，表示在兩個維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： （）同樣的方法可以推廣到兩個或兩個以上的變量函數(shù)上。一個一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。另外，它還要滿足平均值為零。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應(yīng)的。④ 自相似性：對應(yīng)于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。② 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現(xiàn)對信號的局部化分析。另外，在小波變換過程中必須保持能量成比例，即: （）由CWT的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為小波變換系數(shù)。將不同、值下的時頻窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（）。由于和均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。另一方面，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足： （）時，則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應(yīng)用。Mallat算法的提出標志著小波理論獲得突破性進展，從此，小波分析從理論研究走向了應(yīng)用研究。1986年Meyer和Lemarie提出了多尺度分析的思想。隨后，Grossman對Morlet的方法進行了研究。1981年，Stromberg對Haar系進行了改造，為小波分析奠定了基礎(chǔ)。1974年，Calfmann對Hardy空間給出了原子分解。后來Calderon,Zygmund,Stein和Weiss等人將LP理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論。20世紀30年代，Littlewood和Paley對Fourier級數(shù)建立了二進制頻率分量分組理論（LP理論），即最早的多尺度分析思想。尤其在工程應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘測、流體力學(xué)、電磁場、CT成像、機器視覺、機械狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、分形、數(shù)值計算等領(lǐng)域被認為近年來在工具和方法上的重大突破。在信號低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(空)間分辨率，在信號的高頻部分具有較低的頻率分辨率和較高的時(空)間分辨率，所以小波分析主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，被譽為數(shù)學(xué)上的顯微鏡。信號的頻率和周期是成反比的，要獲取信號高頻成份的細致分辨應(yīng)該使用較窄的時(空)間窗，要獲取信號低頻成份的粗疏分辨，應(yīng)該使用較寬的(空)間窗，顯然窗口傅立葉變換不具備這種“彈性”。窗口傅立葉變換實質(zhì)上是信號分析窗口面積和形狀均固定的時頻局部化分析，一定程度上克服了傅立葉變換不能同時進行時間—頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。這種情況下，就暴露出經(jīng)典傅立葉分析的局限性，時、頻兩域不能截然分開，同時在任何有限頻段上信息無法刻畫任意小范圍內(nèi)的空域信號[11]。傅立葉變換將時、頻兩域截然分開是以信號的的頻率特性時不變和統(tǒng)計特性平穩(wěn)為前提條件的。2 小波分析理論基礎(chǔ)傅立葉分析是19世紀20年代法國數(shù)學(xué)家Fourier提出的一種經(jīng)典時頻分析理論，1965年Cooley，Turkey提出的快速傅立葉變換算法推動傅立葉分析從理論走向?qū)嵺`，使其在信號處理等諸多領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。第四章介紹了小波去噪的發(fā)展歷程和小波去噪的分類，在此基礎(chǔ)上對傳統(tǒng)的小波去噪技術(shù)進行了一定的改進，提出基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法，用實驗驗證了該方法的可行性，并對小波變換的圖像去噪有關(guān)問題進行了分析，提出在去噪過程中應(yīng)注意的一些事項。并介紹了圖像小波變換情況，為以后幾個章節(jié)中圖像小波去噪奠定一定的理論基礎(chǔ)。然后，介紹全文的結(jié)構(gòu)安排和本文所取得的研究成果。首先對傳統(tǒng)的去噪技術(shù)進行了一定的介紹；然后在此基礎(chǔ)上，本文提出了基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法，通過實驗結(jié)果表明該方法的正確性，其去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波圖像去噪。但小波分析的應(yīng)用潛力仍然很大，仍舊存在著一些需要解決問題。目前，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)已成為圖像去噪的一個重要方法?？傊?，由于小波具有低墑性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等特點，小波理論在去噪領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的重視，并獲得了良好的效果。影響比較大的方法有以下這么幾種：Eero [6]；Elwood ：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值法以及尺度相位變動閾值法；學(xué)者Kozaitis結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點提出了基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法[7]；(general crossvalidation)法對圖像進行去噪；[8]，Vasily Strela等人將一類新的特性良好的小波(約束對)應(yīng)用于圖像去噪的方法[9]；同時，在19世紀60年代發(fā)展的隱馬爾科夫模型(Hidden Markov Model)，是通過對小波系數(shù)建立模型以得到不同的系數(shù)處理方法；后又有人提出了雙變量模型方法[10]，它是利用觀察相鄰尺度間父系數(shù)與子系數(shù)的統(tǒng)計聯(lián)合分布來選擇一種與之匹配的二維概率密度函數(shù)。1995年，[5]。1992年，Donoho和Johnstone提出了“小波收縮”，它較傳統(tǒng)的去噪方法效率更高。上個世紀八十年代Mallet 提出了 MRA(Multi_Resolution Analysis)，并首先把小波理論運用于信號和圖像的分解與重構(gòu)，利用小波變換模極大值原理進行信號的奇異性檢測，提出了交替投影算法用于信號重構(gòu)，為小波變換用于圖像處理奠定了基礎(chǔ)[4]。 基于小波變換的圖像去噪技術(shù)研究現(xiàn)狀小波分析與傅立葉分析有著密切的聯(lián)系，是傅立葉分析劃時代發(fā)展的結(jié)果。單位為dB。（1）均方誤差： （）（2）信噪比： （）其中表示重建恢復(fù)后圖像像素的灰度值，表示原始圖像各點的灰度值；表示重建恢復(fù)后圖像灰度值的方差。目前應(yīng)用得較多的是對黑白圖像逼真度的定量表示。圖像質(zhì)量的客觀評價由于著眼點不同而有多種方法，這里介紹的是一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測量。一般來說，對非專業(yè)人員多采用質(zhì)量尺度，對專業(yè)人員則使用妨礙尺度為宜。 圖像主觀評價尺度評分表效果得分質(zhì)量尺度妨礙尺度5非常好絲毫看不出圖像質(zhì)量變壞4好能看出圖像質(zhì)量變壞，不妨礙觀看3一般能清楚地看出圖像質(zhì)量變壞，對觀看稍有妨礙2差對觀看有妨礙1非常差非常嚴重地妨礙觀看注：這些都是由觀察者根據(jù)自己的經(jīng)驗來對被評價圖像做出質(zhì)量判斷。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評判方法來盡量減少主觀因素的影響，實現(xiàn)對圖像質(zhì)量近似定量的