【正文】 (32) 時(shí)，我們稱 ??w? 為一個(gè)基本小波或母小波 (Mother Wavelet)。小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功 地 應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。 1986年 ，由 發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成希爾伯特空間的規(guī)范正交基，從而證明了小波正交系的存在。之后，他與 ，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個(gè)信號(hào)可分解成對(duì)空間和尺度的貢獻(xiàn)。二是在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，為了便于計(jì)算，需對(duì)基函數(shù)進(jìn)行離散化，但 Gabor基無論怎樣離散都不能組成一組正交基，因此會(huì)給計(jì)算帶來不便。其變換如下： ? ? ? ? ? ? dtetgtfwGf wtj ??? 2, ????? ?? (31) 由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持不變，在實(shí)際應(yīng)用中也存在其局限性。窗口傅立葉變換 (STFT)克服了傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中起到了很好的作用。 但是，在實(shí)際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂、語(yǔ)音信號(hào)等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，這時(shí)傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。當(dāng)觀察一個(gè)信號(hào)的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時(shí)發(fā)生； （ 2） 為了從模擬信號(hào)中提取頻譜信息，需要取無限的時(shí)間量，使用過去的和將來的信號(hào)信息只是為了計(jì)算單個(gè)頻率的頻譜； （ 3） 因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)的頻率與它的周期長(zhǎng)度成反比 ， 對(duì)于高頻譜的信息，時(shí)間間隔 要相對(duì)較小以給出比較好的精度 。通過傅立葉變換，在時(shí)域中連續(xù)變化的信號(hào)可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號(hào)，因此傅立葉變換反映的是整個(gè)信號(hào)在全部時(shí)間下的整體頻域特征，但不能反映信號(hào)的局部特征。傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅24 立葉級(jí)數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對(duì)函數(shù)作頻譜分析，反映了整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號(hào)的特征。 第 三 章 小波變換理論基礎(chǔ) 從傅里葉變換到小波變換 傅立葉變換是 一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號(hào) ??xf的傅立葉變換 ? ? ? ? dxexfwF iwx???????表示信號(hào)的頻譜。歸結(jié)起來主要有三類 :模極大值檢測(cè)法、 閾值 去噪法和屏蔽 (相關(guān) )去噪法。 Elwood ，提出了三種基于小波相位去噪方 法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動(dòng)閾值法 [32]；學(xué)者 Kozaitis 結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，提出對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行去噪和信號(hào)重建的基于高階統(tǒng)計(jì)量的小波閾值去噪方法 [33]； GCV(general cross validation)法對(duì)圖像進(jìn)行去噪 [34]. Woolsey等提出結(jié)合維納濾波器和小波閾值的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪 [35],VasilyStrela 等人將一類新的特性良好多小波 (約束對(duì) )應(yīng)用于圖像去噪的方法 [34]，這 些方法均取得了良好的效果，對(duì)發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非 線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。奇異點(diǎn)重建信號(hào)分為過零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小 波變換，其缺點(diǎn) :用過零點(diǎn)或極大值來重建信號(hào)只是一種逼近，結(jié)果不太精確。 22 1992年，由 和 Zhong提出了小波模極大值方法 [40]，具體來說，就是利用有用信號(hào)與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號(hào)的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高 47dB。在許多國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號(hào)處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。在這一點(diǎn)上，雖然這種方法同小波去噪很相似， 但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性，小波變化后，由于對(duì)應(yīng)圖像特征 (邊緣等 ) 處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。由此可見，小波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖 22所示。這個(gè)問題可以表述為： ? ?? ?sopt ff ?? ?? m ina r g 21 ? ?? ?代表最優(yōu)解o p tff optopt ?? 為噪聲圖像為原圖像 nsns fffff ,?? ? ? ? ?? ?Jj Jjs pa nWffI 212 ,?? ??? ，為實(shí)際圖像 ? ?的函數(shù)空間影射為 WIT ?? ?? 由此可見，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。 另外，除了 閾 值收縮方法外， Kivnac， John和 Xu等人還提出了不同的去噪方法 [l9]，例如利用 LiPschitz指數(shù)的方法和基于最大后驗(yàn)概率 MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。對(duì)此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的 閾值 選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更 嚴(yán)重 的噪聲情 況下的小波去噪問題，并給出了顯式的 閾值 公式 [17]。另外，由于Donoho和 Johnstone 給出的閾值有很嚴(yán)重的 “ 過扼殺 ” 小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對(duì) 閾 值的選擇進(jìn)行了研究 [20 一 30]，并提出了多種不同的閾值 確定方法。以上小波收縮算法的一個(gè)嚴(yán)重的缺陷是 :在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。 小波去噪 近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。各種低通濾波器的性能比較如表 21所示 : 表 21 各種低通濾波器的性能比較 振鈴程度 圖像模糊程度 噪聲平滑程度 理想低通濾波器 嚴(yán)重 嚴(yán)重 最好 巴特沃斯濾波器 無 很輕 一般 指數(shù)低通濾波 器 無 較輕 一般 由上述經(jīng)典去噪方法要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開。如果要噪聲平滑效果好，必然會(huì)引起圖像模糊，要圖像輪廓清晰，噪聲平滑效果必然不好。而圖像19 的 像素灰度一般是光滑的，只有在圖像輪廓細(xì)節(jié)處像素才會(huì)突變，所以可以用具有低通的濾波對(duì)圖像進(jìn)行平滑，不過在平滑的同時(shí)亦會(huì)使圖像變得模糊。 基于頻域的處理方法主要是用濾波器，把有用的信號(hào)和干擾信號(hào)分開，它在有用信號(hào)和干擾信號(hào)的頻譜沒有重疊的前提下，才能把有用信號(hào)和干擾信號(hào)完全區(qū)別開來 。但對(duì)于脈沖干擾來講，特別是脈沖寬 度小于濾波器的窗口寬度一半，中值濾波還是很有效的。 基于空域的平均濾波法和非線性的中值濾波都是通過對(duì)圖像像素的灰度值進(jìn)行運(yùn)算，達(dá)到平滑圖像的效果。除了上述濾波方法外，學(xué)者們還提出了其它的基于頻域?yàn)V波的圖像去噪方法，如 Wiener濾波 [8]等。 (ELPF) ELPF的傳遞函數(shù) ? ?vuH , 表示為 : ? ? ? ? ?????????? ???????? nD vuDvuH0,e x p, （ 210）或 ? ? ? ??????????? ??????? nD vuDvuH0,21lne x p, （ 211） 當(dāng) ? ? 0, DvuD ? 、 1?n 時(shí)，以上兩式的 傳遞函數(shù) 分別為 ? ? evuH 1, ? 和? ? 21, ?vuH H，所以兩者的衰減特性仍有不同。 一個(gè) n階巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為 : ? ? ? ?? ? nDvuDvuH 20,1 1, ?? （ 28） 或 ? ? ? ? ? ?? ?nDvuDvuH 20,121 1, ??? （ 29） 與理想低通相比，它 保留有較多的高頻分量，所以對(duì)噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。 巴特沃思低通濾波 器 (BLPF)又稱作最大平坦濾波器。 0D 越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。 ? ?vuD, 代表從頻率平面的原點(diǎn)到 ? ?vu, 點(diǎn)的距離，即 : ? ? ? ? 2122, vuvuD ?? (27) 理想低通濾波器平滑處理的概念是清楚的，但它在處理過程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn) 象。 ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ?? yxgvuGvuFyxf , 傅里葉反變換線性低通濾波器傅里葉變換 圖 21 頻域空間濾波框圖 17 下面介紹幾種常用的低通濾波器。利用 ? ?vuH , 使 ? ?vuF , 的高頻分量得到衰減，得到 ? ?vuG, 后再經(jīng)過反變換就得到所希望的圖像 ? ?yxg , 了。 頻域低通濾波法 在分析圖像信號(hào)的頻率特性時(shí)，一幅圖像的邊緣，跳躍部分以及顆粒聲代表圖像信號(hào)的高頻分量，而大面積的背景區(qū)則代表圖像信號(hào)的低頻分量。使用二維中值濾波最值得注意的是保持圖像中有效的細(xì)線狀物體。二維數(shù)據(jù)的中值濾波可以表示為： 為濾波窗口AXM edY ijAji },{, ? (24) 在實(shí)際使用窗口時(shí)，窗口的尺寸一般先用 33? 再取 55? 逐漸增大，直到其濾波效果滿意為止。此例若用平均濾波，窗口也是取 5，那么平均濾波輸16 出為 ? ? ????? 。 設(shè)有一個(gè)一維序列 1f ， 2f ， ? ， nf ， 取窗口長(zhǎng)度為 m(m 為奇數(shù) )，對(duì)此序列進(jìn)行中值濾波， 就是從輸入序列中相繼抽出 m個(gè)數(shù)， vif? ， ? ， 1?if ， ? ， 1f ， ? ，1?if ， ? ， vif? ，其中 i 為窗口的中心位置， 21??mv ，再將這 m個(gè)點(diǎn)按其數(shù)值大小排列，取其序號(hào)為正中間的那作為出。但是對(duì)一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號(hào)處 理技術(shù)中，后來被二維圖像信號(hào)處理技術(shù)所應(yīng)用。另外，圖像鄰域平均法算法簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但它的主要 缺點(diǎn) 是在降低噪聲的同時(shí)使圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模越厲害。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)。 空域?yàn)V 波 1 均 值濾波 15 鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化，頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻率分布。一種折 衷的方法是在衡量圖像 “ 去噪 ” 算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮。峰值信噪比能夠?qū)D像質(zhì)量給出定量的描述。 峰值均 方誤差 PMSE 也被表示成等效的峰值信噪 PSNR: ? ?P M S EP S N R 10lo g10?? （ 16） 主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)這兩種圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。實(shí)用中還常采用簡(jiǎn)單的形式 ? ? ffQ ? 。如對(duì)數(shù)處理、冪處理等，常用的 ???Q 為 ? ?? ?kjfKKK b ,lo g 321 ? , 1K 、 2K 、 3K 、 b均為常數(shù)。合理的測(cè)量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問題 [4]。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評(píng)判方法來盡量減少主 觀因素的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像質(zhì)量近似定量的評(píng)價(jià)，不過它仍然沒有完全消除主觀不確定性13 的影響，其定量計(jì)算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗(yàn)確定。 主觀評(píng)價(jià) 主觀評(píng)價(jià)通常有兩種 [3]:一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是由選定的一組人對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對(duì)所觀察的圖像的質(zhì)量作好或壞的評(píng)價(jià)，再綜合全組人的意見給出一個(gè)綜合結(jié)論。 圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià) 如何評(píng)價(jià)一個(gè)圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對(duì)于我們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。 在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。 感光片顆粒噪聲。 光電子噪聲。人們對(duì)其生成原因及相應(yīng)的模型作了大量研究 [3]: 電