【正文】 ()(5)旋轉(zhuǎn)不變性若引入極坐標(biāo)： ()則和分別變?yōu)楹?在極坐標(biāo)系中，存在以下變換對： ()此式表明，如果在時間域中旋轉(zhuǎn)角度后，相應(yīng)的傅立葉變換在頻域中也旋轉(zhuǎn)同一角，反之，如果在頻域中旋轉(zhuǎn)角，其反變換在空間域中也旋轉(zhuǎn)角。設(shè)和分別為二維離散函數(shù)和的離散傅立葉變換，則 ()其中是常數(shù)。 二維離散傅立葉變換 二維離散傅立葉變換的概念 二維離散函數(shù)的傅立葉變換為： () 傅立葉反變換為： ()其中：在數(shù)字圖像處理中，圖像取樣一般是方陣，即，則二維離散傅立葉變換公式為： () () 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)，下面說明它的幾種常用性質(zhì)。頻率域低通濾波是基于傅立葉變換的去噪方法。5 頻率域低通濾波頻率域?yàn)V波是圖像在頻率域中進(jìn)行的一種非常重要的處理手段。 （a）含有椒鹽噪聲的圖片 （b）處理后的圖像 多幅圖像平均法去噪的效果 小結(jié)本章介紹了圖像空間域常用的去噪方法，主要包括平均值濾波、中值濾波、空間域低通濾波和多幅圖像平均法。和 多幅圖像平均法常用于處理攝像機(jī)的視頻圖像，用以減少光電攝像管或CCD器件所引起的噪聲。設(shè)原圖像為,圖像噪聲為加性噪聲,則有噪聲的圖像可表示為： ()若圖像噪聲是互不相關(guān)的加性噪聲，且均值為0，則 ()其中是的期望值，對M幅有噪聲的圖像經(jīng)平均后有： ()和 () 式中和是和n在點(diǎn)處的方差。如何能夠選擇恰當(dāng)?shù)牡屯ň矸e模板，那么就會得到很好的去噪效果。MATLAB實(shí)現(xiàn)空間域低通濾波的示例程序見附錄[12]。假定是含有噪聲或假輪廓的圖像，或稱待處理的數(shù)字圖像，為經(jīng)去噪處理后的圖像，則圖像去噪可用下式表示： ()其中h為LL低通濾波陣列。圖像平滑可以在頻率域進(jìn)行，也可以在空間域(一般以模板卷積方式)進(jìn)行。對圖像而言，它的邊緣、跳躍以及噪聲等灰度變化劇烈的部分代表圖像的高頻分量，而大面積背景區(qū)和灰度變化緩慢的區(qū)域代表圖像的低頻分量。對于一些內(nèi)容復(fù)雜點(diǎn)的圖像，可以使用復(fù)合型中值濾波，如中值線性濾波組合，高階中值濾波組合，加權(quán)中值濾波以及迭代中值濾波等。所以中值濾波對濾除脈沖干擾和圖像掃描噪聲最為有效。MATLAB實(shí)現(xiàn)中值濾波的示例程序見附錄[6]。利用中值濾波要經(jīng)過如下過程(1)輸入圖像，(2)加入模擬噪聲，(3)中值濾波。在有很強(qiáng)的胡椒粉式(或脈沖)干擾的情況下，因?yàn)檫@些灰度值的干擾值與其鄰近像素的灰度值有很大差異，因此經(jīng)排序后取中值的結(jié)果是強(qiáng)迫將此干擾點(diǎn)變成與其鄰近的某些像素的灰度值一樣，從而達(dá)到去除干擾的效果。(3) 中值濾波頻譜特性起伏不大，可以認(rèn)為中值濾波后，信號頻譜基本不變。對于高斯噪聲，中值濾波效果不如平均值濾波。 采用33十字形窗口進(jìn)行二維中值濾波 中值濾波的特性中值濾波具有許多重要性質(zhì)：(1) 不影響階躍信號、斜坡信號，連續(xù)個數(shù)小于窗口長度一半的脈沖受到抑制，三角波信號頂部變平。MATLAB中可通過medfilt2函數(shù)來實(shí)現(xiàn)中值濾波[4]。窗口的大小則以不超過圖像中最小有效物體的尺寸為宜。就一般經(jīng)驗(yàn)來講，對于有緩變的較長輪廓線物體的圖像，采用方形或圓形窗口為宜。濾波窗口為A，為窗口是A在點(diǎn)的中值，則 ()中值濾波的窗口形狀和尺寸對濾波效果影響較大，往往應(yīng)根據(jù)不同的圖像內(nèi)容和不同的要求加以選擇，二維中值濾波的窗口可以取方形，也可以取近似圓形或十字形。例如有一組序列{80,90,200,100,110},采用一維中值濾波后序列變?yōu)閧80，90，100，110，200}。(1) 一維中值濾波若為一組序列，先把其按大小排列為則該序列的中值y為 ()上式中，若把一個點(diǎn)的特點(diǎn)長度或形狀的鄰域作為窗口，在一維情況下，中值濾波器是一個含有奇數(shù)個像素的窗口。若取最大值，則為最大值濾波器，可用于檢測圖像中最亮的點(diǎn)。中值濾波器只是統(tǒng)計排序?yàn)V波器的一種。其基本原理是把以某像素為中心的小窗口內(nèi)所有像素的灰度按從小到大排序，取排序結(jié)果的中間值作為該元素的灰度值。 (a)含有高斯噪聲的圖像 (b)平均值濾波處理的結(jié)果 (c)含有椒鹽噪聲的圖像 (d)平均值濾波處理的結(jié)果 平均值濾波的濾波效果 ，采用平均值濾波雖然使噪聲得到了抑制，但是圖像變得模糊，該濾波方法對高斯噪聲的濾除有良好的效果，但對椒鹽噪聲的濾除，效果不是很理想。 MATLAB如何實(shí)現(xiàn)平均值濾波 (a)和(c)分別是含有高斯噪聲和椒鹽噪聲的lenna圖像，圖(b)和圖(d)分別對圖(a)和圖(c)進(jìn)行平均值濾波的結(jié)果。 為了克服簡單局部平均的弊病，目前已提出了許多保留邊緣細(xì)節(jié)的局部平滑算法。當(dāng)某些點(diǎn)的灰度值與各鄰點(diǎn)灰度的均值的差值超過規(guī)定的閾值T時，它很可能是噪聲，則取其鄰域平均值作為該點(diǎn)的灰度值。為了盡可能地減少模糊失真，可采用閾值法減少由于鄰域平均而產(chǎn)生的模糊效應(yīng)，其公式如下： ()T為規(guī)定的閾值。 平均值濾波法存在的問題和解決方法采用平均值濾波法去除圖像噪聲時，雖然圖像噪聲得到了抑制，但是圖像變得模糊，特別是邊緣和細(xì)節(jié)處，而且平滑的效果與采用的鄰域半徑有關(guān)。 (a)33Box模板 （b）33高斯模板 常用的兩個鄰域平均模板平均值濾波法的主要優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，速度快，但它在降低噪聲的同時會使圖像變得模糊，特別是在邊緣和細(xì)節(jié)處。從平滑效果來看，高斯模板比同尺寸的Box模板清晰一些。Box模板中加權(quán)系數(shù)相同，鄰域中各像素對平滑結(jié)果的影響相同。4 空間域?yàn)V波 平均值濾波 平均值濾波的基本原理平均值濾波又叫做線性濾波，其基本思想是用像素及其指定鄰域內(nèi)像素的平均值或加權(quán)平均值作為該像素的新值，以便去除突變的像素點(diǎn)，從而濾除噪聲。由此可見，當(dāng)圖像較大時，模板分解將使運(yùn)算大為簡化[2]。因此，模板卷積時模板不宜太大，一般用33或55的模板就可以了，另外，可以設(shè)法將二維模板分解為多個一維模板，這對減少運(yùn)算量也是很有效的。與一幅nn的圖像進(jìn)行模板卷積時，就需要個乘法，個加法和個除法，算法復(fù)雜度為O()。555588855558885555888555①788555688833888883388888(a)輸入圖像模板010101010 (b)卷積核 003300012004③7124103038200 模板卷積結(jié)果(c)輸出圖像 模板卷積示例 模板卷積是一種非常耗時的運(yùn)算，尤其是模板尺寸較大時。模板在輸入圖像中逐像素移動并進(jìn)行類似運(yùn)算，即可得模板卷積結(jié)果(如圖(c)所示)。假設(shè)模板h有m個加權(quán)系數(shù)，模板系數(shù)對應(yīng)的圖像像素為，則模板卷積可表示為 () ，模板原點(diǎn)在模板中間。模板卷積中的模板又稱為卷積核,卷積核中的元素稱為卷積系數(shù)或模板系數(shù)或加權(quán)系數(shù)，其大小及排列順序決定了對圖像進(jìn)行鄰域處理的類型。解決方法，可以簡單地將其值置為0或255。解決這個問題的方法可以采用兩種簡單方法：一種方法是當(dāng)模板超出圖像邊界時不作處理；另一種方法是擴(kuò)充圖像，可以復(fù)制原圖像邊界元素或用常數(shù)來填充擴(kuò)充圖像邊界，使得卷積在圖像邊界也可計算。對于33box模板，是將原圖像中一個像素的灰度值和它周圍鄰近八個像素的灰度值相加，然后求得的平均值(除以9)作為該新圖中該像素的灰度值，用如下方法表示該操作：在模板操作中，需要注意兩個問題：(1) 圖像邊界問題。模板操作是數(shù)字圖像處理中經(jīng)常用到的一種運(yùn)算方法，圖像的平滑、銳化以及細(xì)化、邊緣檢測都要用到模板操作。3 模板操作與卷積運(yùn)算模板可以是一幅小圖像，也可以是一個濾波器，或者說是一個窗口，通常用矩陣來表示。本設(shè)計主要介紹平均值濾波和中值濾波的基本原理和適用范圍，以及空間域低通濾波，頻率域低通濾波和多幅圖像求平均算法的基本原理。圖像去噪可以在頻率域進(jìn)行，也可以在空間域進(jìn)行。對圖像而言，它的邊緣、跳躍以及噪聲等灰度變化劇烈的部分代表圖像的高頻分量，而大面積背景區(qū)和灰度變化緩慢的區(qū)域代表圖像的低頻分量。 pepper’，D) 在圖像I中添加強(qiáng)度為D的椒鹽噪聲，.J=imnoise(I,‘speckle’，V) 使用公式J=I+n*I，向圖像I中添加乘性噪聲，其中n是均值為0，方差為V的均勻分布隨機(jī)噪聲。缺省均值為0。根據(jù)類型再確定其他參數(shù)。type為下列字符串之一： ‘gaussian’ 添加gauss白噪聲； ‘salt amp。 MATLAB中如何產(chǎn)生噪聲MATLAB中可以用imnoise這個函數(shù)對圖像添加噪聲。(3) 噪聲具有疊加性。例如，攝像機(jī)的信號和噪聲有關(guān)，黑暗部分噪聲大，明亮部分噪聲小。 圖像噪聲的特點(diǎn)圖像噪聲一般具有以下特點(diǎn)：(1) 噪聲在圖像中的分布和大小不規(guī)則，即具有隨機(jī)性。為了分析處理方便，往往將乘性噪聲近似認(rèn)為是加性噪聲，而且總是假定信號與噪聲是相互獨(dú)立的。假定信號為,噪聲為,如果混合疊加波形是的形式，則稱其為加性噪聲；如果疊加波形為的形式，則稱其為乘性噪聲。2) 非平穩(wěn)噪聲，即是統(tǒng)計特性隨時間變化的噪聲。按照統(tǒng)計特性分，圖像噪聲可以分為平穩(wěn)噪聲和非平穩(wěn)噪聲。 ④系統(tǒng)內(nèi)部設(shè)備電路所引起的噪聲。如正片和負(fù)片的表面顆粒性和磁帶磁盤表面缺陷所產(chǎn)生的噪聲。如各種接頭因抖動引起電流變化所產(chǎn)生的噪聲；磁頭、磁帶等抖動引起的噪聲。因這些粒子運(yùn)動的隨機(jī)性而形成的散粒噪聲；導(dǎo)體中自由電子運(yùn)動所形成的熱噪聲；根據(jù)光的粒子性，圖像是由光量子所傳輸，而光量子密度隨時間和空間變化所形成的光量子噪聲等。內(nèi)部噪聲一般可以分為4種：①由光和電的基本性質(zhì)所引起的噪聲。(1) 外部噪聲，即是由外部干擾引起的噪聲，如外部電氣設(shè)備產(chǎn)生的電磁波干擾、天體放電產(chǎn)生的脈沖干擾等。因此，噪聲可以借用隨機(jī)過程及其概率密度函數(shù)來描述，通常用其數(shù)字特征，如均值、方差等。噪聲可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接受的信源信息理解的因素”。2 圖像噪聲 圖像噪聲的概念圖像在獲取獲取、存儲、處理、傳輸過程中，會受到電氣系統(tǒng)和外界干擾而存在一定程度的噪聲。第7章是本文整體工作的一個總結(jié)。第5章介紹了頻率域低通濾波，包括二維離散傅里葉變換的性質(zhì)和實(shí)現(xiàn)過程，以及幾種常用的低通濾波器，最后用MATLAB程序進(jìn)行仿真。第4章介紹了幾種空間域圖像去噪算法，包括平均值濾波，中值濾波，空間域低通濾波和多幅圖像平均法。并介紹了在MATLAB中如何給圖像添加噪聲，最后介紹了去除圖像噪聲的一些常用方法。本文的章節(jié)安排如下：第1章是本文的緒論，主演介紹數(shù)字圖像的定義和類型，還有研究圖像去噪技術(shù)的意義，以及圖像去噪技術(shù)的背景和國內(nèi)外研究狀況?，F(xiàn)在國內(nèi)外很多大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)都設(shè)有專門的機(jī)器視覺實(shí)驗(yàn)室對這方面的技術(shù)進(jìn)行更加深入的研究，相信隨著這方面研究的不斷深入，更新更好的方法將會不斷被提出和應(yīng)用。近年來，小波分析已經(jīng)深入到了非線性逼近、統(tǒng)計信號處理等領(lǐng)域，其特殊的時頻分辨能力已經(jīng)使它基本取代昔日傳統(tǒng)頻域分析方法。小波分析的概念是由法國從事石油勘測信號處理的地球物理學(xué)家Morlet在1984年提出來的。 對機(jī)器視覺研究的不斷深入使人們開始重視偏微分方程的數(shù)學(xué)理論，Perona和Malik提出了一種具有非線性濾波能力的偏微分方程，在圖像去噪和邊緣保護(hù)上獲得良好效果，后來Weickert基于他們的理論將這種方程發(fā)展成為各向異性擴(kuò)散方程，進(jìn)一步提升了去噪能力，并且具有圖像邊緣保護(hù)功效，后來被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、遙感圖像的濾波去噪處理之中，獲得了令人滿意的結(jié)果。非線性濾波大多考慮到了人們的視覺標(biāo)準(zhǔn)和最佳濾波原則，提高了圖像分辨率和邊緣保護(hù)能力。 圖像去噪技術(shù)的背景和國內(nèi)外研究現(xiàn)狀圖像去噪的方法從不同處理域的角度可以劃分空域和頻域兩種處理方法；前者是在圖像本身存在的二維空間里對其進(jìn)行處理，根據(jù)不同的性質(zhì)又可以劃分為線性處理方法和非線性處理方法；后者則是用一組正交函數(shù)系來逼近原信號函數(shù)，獲得相應(yīng)的系數(shù)，將對原信號的分析轉(zhuǎn)化到了系數(shù)空間域，即頻域中進(jìn)行。圖像去噪處理從整個圖像分析的流程上來講屬于圖像的預(yù)處理階段，由于圖像噪聲