【正文】 換能夠充分突出問題某些方面的特征，因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功 地 應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。 1986 年 ，由 發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成希爾伯特空間的規(guī)范正交基，從而證明了小波正交系的存在。之后，他與 共同研究，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個信號可分解成對空間和尺度的貢獻(xiàn)。二是在進(jìn)行數(shù)值計算時，為了便于計算，需對基函數(shù)進(jìn)行離散化，但 Gabor 基無論怎樣離散都不能組 成一組正交基，因此會給計算帶來不便。其變換如下： ? ? ? ? ? ? dtetgtfwGf wtj ??? 2, ????? ?? (31) 由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關(guān)而保持不變，在實際應(yīng)用中也存在其局限性。窗口傅立葉變換 (STFT)克服了傅立葉變換不能同時進(jìn)行時間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號的分析中起到了很好的作用。 但是，在實際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨 著時間的變化而改變，這時傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。當(dāng)觀察一個信號的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時發(fā)生； （ 2） 為了從模擬信號中提取頻譜信息，需要取無限的時間量，使用過去的和將來的信號信息只是為了計算單個頻率的頻譜； （ 3） 因為一個信號的頻率與它的周期長度成反比 ， 對于高頻譜的信息，時間間隔要相對較小以給出比較好的精度 。通過傅立葉變換，在時域中連續(xù)變化的信號可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號，因此傅立葉變換反映的是整個信號在全部時間下的整體頻域特征，但不能反映信號的局部特征。傅立葉變換用在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅24 立葉 級數(shù)，把非周期函數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函數(shù)作頻譜分析，反映了整個信號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號的特征。 第 三 章 小波變換理論基礎(chǔ) 從傅里葉變換到小波變換 傅立葉變換是一個強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號 ??xf的傅立葉變換 ? ? ? ? dxexfwF iwx???????表示信號的頻譜。歸結(jié)起來主要有三類 :模極大值檢測法、 閾值 去噪 法和屏蔽 (相關(guān) )去噪法。 Elwood 等在處理斷層攝影圖像時，提出了三種基于小波相位去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動閾值法 [32]；學(xué)者 Kozaitis 結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點(diǎn)，提出對一維信號進(jìn)行去噪和信號重建的基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法 [33]； 等利用原圖像和小波域圖像的相關(guān)性用GCV(general cross validation)法對圖像進(jìn)行去噪 [34]. 和 Woolsey 等提出結(jié)合維納濾波器和小波閾值的方法對信號進(jìn)行去噪 [35],VasilyStrela 等人將一類新的特性良好多小波 (約束對 )應(yīng)用于圖像去噪的方法 [34]，這些方法均取得了良好的效果，對發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。奇異點(diǎn)重建信號分為過零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小波變換，其缺點(diǎn) :用過零點(diǎn)或極大值來重建信號只是一種逼近，結(jié)果不太精確。 22 1992 年，由 和 Zhong 提出了小波模極大值方法 [40]，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計算機(jī)自動實現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號的模極大值重構(gòu) 小波，模極大值方法可使信噪比提高 47dB。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號處 理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。在這一點(diǎn)上，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因為小波變換的多分辨率特性，小波變化后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 ) 處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。由此可見，小波實際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等 效框圖如圖 22 所示。這個問題可以表述為： ? ?? ?sopt ff ?? ?? m ina r g 21 ? ?? ?代表最優(yōu)解o p tff optopt ?? 為噪聲圖像為原圖像 nsns fffff ,?? ? ? ? ?? ?Jj Jjs pa nWffI 212 ,?? ??? ，為實際圖像 ? ?的函數(shù)空間影射為 WIT ?? ?? 由此可見，小波去噪方法也就是尋找實際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。 另外，除了 閾 值收縮方法外， Kivnac， John 和 Xu 等人還提出了不同的 去噪方法 [l9]，例如利用 LiPschitz 指數(shù)的方法和基于最大后驗概率 MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。對此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的 閾值 選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更 嚴(yán)重 的噪聲情況下的小波去噪問題，并給出了顯式的 閾值 公式 [17]。另外，由于Donoho 和 Johnstone 給出的閾值有很嚴(yán)重的 “ 過扼殺 ” 小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對 閾 值的選擇進(jìn)行了研究 [20一 30]，并提出了多種不同的閾值確定方法。以上小波收縮算法的一個嚴(yán)重的缺陷是 :在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。 小波去噪 近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。各種低通濾波器的性能比較如表 21所示 : 表 21 各種低通濾波器的性能比較 振鈴程度 圖像模糊程度 噪聲平滑程度 理想低通濾波器 嚴(yán)重 嚴(yán)重 最好 巴特沃斯濾波器 無 很輕 一般 指數(shù)低通濾波器 無 較輕 一般 由上述經(jīng)典去噪方法要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開。如果要噪聲平滑效果好，必然會引起圖像模糊，要圖像輪廓清晰，噪聲平滑效果必然不好。而圖像19 的像素灰度一般是光滑的，只有在圖像輪廓細(xì)節(jié)處像素才會突變，所以可以用具有低通的濾波對圖像進(jìn)行平滑，不過在平滑的同時亦會使圖像變得模糊。 基于頻域的處理方法主要是用濾波器，把有用的信號和干擾信號分開，它在有用信號和干擾信號的頻譜沒有重疊的前提下，才能把有用 信號和干擾信號完全區(qū)別開來 。但對于脈沖干擾來講，特別是脈沖寬度小于濾波器的窗口寬度一半，中值濾波還是很有效的。 基于空域的平均濾波法和非線性的中值濾波都是通過對圖像像素的灰度值進(jìn)行運(yùn)算，達(dá)到平滑圖像的效果。除了上述濾波方法外，學(xué)者們還提出了其它的基于頻域濾波的圖像去噪方法，如 Wiener 濾波 [8]等。 (ELPF) ELPF 的傳遞函數(shù) ? ?vuH , 表示為 : ? ? ? ? ?????????? ???????? nD vuDvuH0,e x p, （ 210）或 ? ? ? ??????????? ??????? nD vuDvuH0,21lne x p, （ 211） 當(dāng) ? ? 0, DvuD ? 、 1?n 時，以上兩式的 傳遞函數(shù) 分別為 ? ? evuH 1, ? 和? ? 21, ?vuH H，所以兩者的衰減特性仍有 不同。 一個 n 階巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為 : ? ? ? ?? ? nDvuDvuH 20,1 1, ?? （ 28） 或 ? ? ? ? ? ?? ?nDvuDvuH 20,121 1, ??? （ 29） 與理想低通相比，它保留有較多的高頻分量，所以對噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。 巴特沃思低通濾波器 (BLPF)又稱作最大平坦濾波器。 0D 越 小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。 ? ?vuD, 代表從頻率平面的原點(diǎn)到 ? ?vu, 點(diǎn)的距離，即 : ? ? ? ? 2122, vuvuD ?? (27) 理想低通濾波器平滑處理的概念是清楚的，但它在處理過程中會產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。 ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ?? yxgvuGvuFyxf , 傅里葉反變換線性低通濾波器傅里葉變換 圖 21 頻域空間濾波框圖 17 下面介紹幾種常用的低通濾波器。利用 ? ?vuH , 使 ? ?vuF , 的高頻分量得到衰減，得到 ? ?vuG, 后再經(jīng)過反變換就得到所希望的圖像 ? ?yxg , 了。 頻域低通濾波法 在分析圖像信號的頻率特性時，一幅圖像的邊緣，跳躍部分以及 顆粒聲代表圖像信號的高頻分量，而大面積的背景區(qū)則代表圖像信號的低頻分量。使用二維中值濾波最值得注意的是保持圖像中有效的細(xì)線狀物體。二維數(shù)據(jù)的中值濾波可以表示為： 為濾波窗口AXM edY ijAji },{, ? (24) 在實際使用窗口時，窗口的尺寸一般先用 33? 再取 55? 逐漸增大，直到其濾波效果滿意為止。此例若用平均濾波，窗口也是取 5，那么平均濾波輸16 出為 ? ? ????? 。 設(shè)有一個一維序列 1f ， 2f ， ? ， nf ， 取窗口長度為 m(m 為奇數(shù) )，對此序列進(jìn)行中值濾波，就是從輸入序列中相繼抽出 m 個數(shù)， vif? ， ? ， 1?if ， ? ， 1f ， ? ，1?if ， ? ， vif? ，其中 i 為窗口的中心位置， 21??mv ，再將這 m個點(diǎn)按其數(shù)值大小排列，取其序號為正 中間的那作為出。但是對一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號處理技術(shù)中，后來被二維圖像信號處理技術(shù)所應(yīng)用。另外，圖像鄰域平均法算法簡單，計算速度快，但它的主要 缺點(diǎn) 是在降低噪聲的同時使圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模越厲害。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)。 空域濾波 1 均 值濾波 15 鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對像素的灰度值進(jìn)行處理。時域描述信號強(qiáng)度隨時間的變化，頻域描述在一定時間范圍內(nèi)信號的頻率分布。一種折衷的方法是在衡量圖像 “ 去噪 ” 算法的優(yōu)劣時，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮。峰值信噪比能夠?qū)D像質(zhì)量給出定量的描述。 峰值均方誤差 PMSE 也被表示成等效的峰值信噪 PSNR: ? ?P M S EP S N R 10lo g10?? （ 16） 主觀評價和客觀評價這兩種圖像質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。實用中還常采用簡單的形式 ? ? ffQ ? 。如對數(shù)處理、冪處理等，常用的 ???Q 為 ? ?? ?kjfKKK b ,lo g 321 ? , 1K 、 2K 、 3K 、 b 均為常數(shù)。合理的測量方法應(yīng)和主觀實驗結(jié)果一致，而且要求簡單易行。對于彩色圖像逼真度的定量表示是一個十分復(fù)雜的問題 [4]。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評判方法來盡 量減少主觀因素的影響，實現(xiàn)對圖像質(zhì)量近似定量的評價，不過它仍然沒有完全消除主觀不確定性13 的影響，其定量計算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗確定。 主觀評價 主觀評價通常有兩種 [3]:一種是作為觀察者的主觀評價，這是由選定的一組人對圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對所觀察的圖像的質(zhì)量作好或壞的評價，再綜合全組人的意見給出一個綜合結(jié)論。 圖像質(zhì)量的評價 如何評價一個圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對于我們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。 在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。 感光片顆粒噪聲。 光電子噪聲。人們對其生成原因及相應(yīng)的模型作了大量研究 [3]: 電子噪聲。去除或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去噪[1,2],在圖像去