理論力學(xué)18—?jiǎng)幽芏ɡ?文庫吧資料
2025-01-22 10:46本頁面
【正文】 理是標(biāo)量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 x y O C D (e)(e)(e)()CxCyCCm x Fm y FJMj? ?????????? F投影式： 動(dòng)力學(xué)普遍定理 (動(dòng)量定理 、 動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)量(動(dòng)量 、 動(dòng)量矩 、 動(dòng)能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 (e)d ()dCCit ??LMF質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 2( e )2ddCmt??r F2(e)2d ()dCCJMtj ?? F剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 jy39。 動(dòng)量矩守恒定理 當(dāng)外力對于某定點(diǎn) (或某定軸 )的主矩等于零時(shí) ， 質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn) (或該軸 )的動(dòng)量矩保持不變 。 在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理時(shí)，取投影式 (e)(e)(e)d()dd()dd()dx x iy y iz z iLMtLMtLMt??????FFF 質(zhì)點(diǎn)系對某固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù) ， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和 。 以上結(jié)論，稱為 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理 。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理直角坐標(biāo)投影式 ( e )( e )( e )C x xC y yC z zm a Fm a Fm a F??????自然軸上的投影式 2( e ) ( e ) ( e )t n bd , , 0dCCvvm F m F Ft ?? ? ? ? ? ? 如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢恒等于零 ，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若系統(tǒng)開始靜止 ，則質(zhì)心位置始終保持不變 。 ( e )ddCmt ??v F 形式上 ， 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程完全相似 ，因此質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理也可敘述如下： 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) ， 可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) ， 設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量及其所受的外力 。 如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零 ， 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變 。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式 普遍定理綜合應(yīng)用 普遍定理： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式 ( e ) ( e ) ( e )dd dd d dyx zx y zpp pF F Ft t t? ? ? ? ? ?0(e)0ddptp t????pF或 ( e )0? ? ?p p I質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式 在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和 。 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT(e)dddd mtt? ? ? ?p vF質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和 （ 或外力的主矢 ） 。 ● 機(jī)械能 — 系統(tǒng)所具有的動(dòng)能與勢能的總稱。 2. 勢 能 在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn) M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn) M相對于點(diǎn) M0的勢能，以 V 表示為 ?? ????? 00 )(MMMM Z d zY d yXd xdV rFa. 重力場中的勢能 b. 彈性力場中的勢能 取 M0為零勢能點(diǎn)，則點(diǎn) M 的勢能為： )( 00 zzmgm g d zV zz ???? ?)(2 202 dd ?? kV取彈簧自然位置為零勢能點(diǎn)，則有： 22 dkV ?c. 萬有引力場中的勢能 )11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr 21AAAA1??????????? rrrF取無窮遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn)，則有： rmmfV 1 2??★ 有勢力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程的初始與終了位置的勢能的差。機(jī)械能守恒定律 1. 勢 力 場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為 —— 力場。 在此過程中 ， 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 勢力場 繩索不能伸長 ， 其質(zhì)量忽略不計(jì) 。 設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m， 滑輪 D和 C的質(zhì)量均為M， 且為均質(zhì)圓盤 。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動(dòng)力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動(dòng)能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對時(shí)間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)分析 ， 則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為 例 12 如圖 ， 重物 A和 B通過動(dòng)滑輪 D和定滑輪而運(yùn)動(dòng) 。 系統(tǒng)此時(shí)的動(dòng)能為 2222 2 2 2 2 211221 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。 設(shè)連桿長均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動(dòng) 。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9
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