【正文】 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???注意到 解二：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 系統(tǒng)動(dòng)能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動(dòng)能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質(zhì)心坐標(biāo)公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (或動(dòng)量定理 )。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為 212121()21 ( 2 2 )2OL m v r m v r mrm m m v r?? ? ?? ? ?1 2 1 2d1 ( 2 2 ) ( )2 dvm m m r m m g rt? ? ? ?然后按解二的方法即可求得軸承 O的約束反力 。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 17 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí) ， 求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力 。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落 。 桿運(yùn)動(dòng)到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時(shí)的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時(shí)桿的動(dòng)能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動(dòng)能為零 ， 此過(guò)程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當(dāng) ?＝ 0176。 時(shí)解出 glv C 321? lg3??2 1 1 2T T W? ? ?P A C ? ? vC vA 桿剛剛達(dá)到地面時(shí)受力及加速度如圖所示 ， 由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 ， 得 ( 1 )ACmg F ma??21 ( 2 )2 1 2AClF J m lee?? 桿作平面運(yùn)動(dòng) ， 以 A為基點(diǎn) ， 則 C點(diǎn)的加速度為 tnC A CA CA? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 t ( 3 )2C C Alaa a??聯(lián)立求解方程 (1)~(3)， 得 14AF m g?A C a aC mg FA A C aC a ? an CA aA at CA O D (b) 例 18 圖示三棱柱體 ABC的質(zhì)量為 m1， 放在光滑的水平面上 ， 可以無(wú)摩擦地滑動(dòng) 。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng) 。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒 。 設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn) D為基點(diǎn) ，分析圓柱體中心 O點(diǎn)的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心 O為動(dòng)點(diǎn) ， 動(dòng)系與三棱柱固連 ， 則 O點(diǎn)的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動(dòng)量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 y39。 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????功率 功率方程 機(jī)械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點(diǎn)速度的標(biāo)積。 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 —— 功率方程 無(wú)用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無(wú)用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無(wú)用功率，損耗功率 3. 機(jī) 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 19 車床電動(dòng)機(jī)的功率 P輸入＝ kW 。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。工件的直徑 d＝ 100 mm。求：轉(zhuǎn)速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無(wú)變化 0dd ＝tT 無(wú)用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無(wú)用 ＝ PP其中 kW783 .?無(wú)用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ????