【正文】 2。 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為 穩(wěn)定性判據(jù) ST 作出在 Tτ和 Tτ二種情況下的曲線，如下圖所示。由于開(kāi)環(huán)系統(tǒng) P＝ 0，所以 Z＝ 2，表示該閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的 ,且其在 s的右半平面上有 2個(gè)極點(diǎn)。 解： 由于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有重極點(diǎn)，由上述的討論可知，逆時(shí)針圍繞原點(diǎn)的半徑為 ω的半圓在 GH平面上的映射曲線為一半徑無(wú)窮大的圓，它與乃氏曲線 G(jω)H(jω)相連接后的閉合曲線如下張圖所示。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 由圖可見(jiàn)，R＝ 0,而開(kāi)環(huán)系統(tǒng) P＝0,因而 Z＝0，即閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 解：由于該系統(tǒng)為 Ⅰ 型系統(tǒng)，它在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 例 某反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 K 0,T 0。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式分別為 穩(wěn)定性判據(jù) ST 由于系統(tǒng)的 P = 1，當(dāng)ω由 ∞→+∞ 變化時(shí) , G（ jω）曲線如按逆時(shí)針?lè)较驀@ (1,j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 1周，即 R = 1，則 Z =PR＝ 0，表示閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 例 8 已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí) K值的范圍。 由幅角原理可知，閉合曲線 Γ包圍函數(shù) F(s)=1+G(s)H(s) 的零點(diǎn)數(shù)即反饋控制系統(tǒng)正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)為 Z=PR=P2N 當(dāng) P≠R 時(shí)， Z≠0 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 閉合曲線 ΓF包圍原點(diǎn)圈數(shù) R的計(jì)算 根據(jù)半閉合曲線 ΓGH可獲得 ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù) R。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 按上述曲線 Γ， F(s)函數(shù)位于 s右半平面的極點(diǎn)數(shù)即G(s)H(s)位于 s右半平面的極點(diǎn)數(shù) P應(yīng)不包括 G(s)H(s)位于 s平面虛軸上的極點(diǎn)數(shù)。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 穩(wěn)定性判據(jù) ST s平面閉合曲線 Γ的選擇 系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)，即F(s)的零點(diǎn)的位置，因此當(dāng)選擇 s平面閉合曲線 Γ包圍 s平面的右半平面時(shí)，若 Z = 0，即閉環(huán)特征根均位于左半 s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 穩(wěn)定性判據(jù) ST 由此可得幅角原理：設(shè) s平面閉合曲線 Γ包圍的 Z 個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，則 s沿 Γ順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，在 F(s)平面上，閉合曲線 ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為： R = P – Z， R 0和 R 0分別表示 ΓF 順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍 F(s) 平面的原點(diǎn)， R = 0表示不包圍平面的原點(diǎn)。 若 s平面上的閉合曲線 Γ以順時(shí)針?lè)较驀@著的 P個(gè)極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則其在平面上的映射曲線 ΓF將按逆時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) P周。例如在本例中 本節(jié)結(jié)束 穩(wěn)定性判據(jù) ST 奈奎斯特 (Nyquist)穩(wěn)定判據(jù) 一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 輻角原理 設(shè) s為復(fù)數(shù)變量， F(s)為 s 的有理分式函數(shù)，且有 由復(fù)變函數(shù)理論知道，在 s平面上任選一條閉合曲線Γ，且不通過(guò) F（ s）的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)， s從閉合曲線 Γ上任一點(diǎn) A起，順時(shí)針沿 Γ運(yùn)動(dòng)一周，再回到 A點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)F(s)的平面上亦從 F(a)點(diǎn)起，到 F(a)點(diǎn)止形成一條閉合曲線 ΓF 。 2）繪制低頻段 (ωωmin)漸近特性曲線。 ST ST 二、舉例說(shuō)明 例 1 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。 1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解； 2）確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的 ω軸上； ST ST ST 注意： 當(dāng)系統(tǒng)的多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同交接頻率時(shí)，該交接頻率點(diǎn)處斜率的變化應(yīng)為各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。 ST （ 3）若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)，重?cái)?shù) 為正整數(shù)，即開(kāi)環(huán)傳遞函具有下述形式 ST 4． 對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制 一、繪制方法 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)作典型環(huán)節(jié)分解后，先作出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，然后采用疊加方法即可方便地繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。 解 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為 ST 開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)： 終點(diǎn)： 由開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式知 G(jω)H(jω) 的虛部不為零，故與實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)。開(kāi)環(huán)概略幅相曲線如圖所示。 單調(diào)減至 270176。 ST 例 4 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線。 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為 ST 變化范圍：τT1T2/(T1+T2)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線位于第 Ⅲ 象限或第 Ⅳ 與第 Ⅲ 象限，τT1T2/(T1+T2)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線位于第 Ⅲ 象限與第 Ⅱ 象限。 和 270176。本例中系統(tǒng)型次即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù) v=1，若 v分別取 3和 4，則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角，可將圖中曲線分別繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90176。 ，故該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線中： ST 起點(diǎn)為： 終點(diǎn)為： 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性： ST ST 例 2 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線。 解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為 0176。這里著重介紹結(jié)合工程需要，繪制概略開(kāi)環(huán)幅相曲線的方法。圖中在 ω處，斜率變化為 20dB/dec，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；在 ω處，斜率變化為 40dB/dec，且存在諧振，對(duì)應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)。 2）確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式。 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 解： 1）確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。 下面舉例說(shuō)明其方法和步驟。 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 八、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定 可以運(yùn)用頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)確定穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST B、振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 對(duì)于非最小相位振蕩環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線相同，二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線關(guān)于 0dB線對(duì)稱。 根據(jù)誤差曲線，可修正漸進(jìn)特性曲線，從而獲得準(zhǔn)確曲線。 下圖為誤差曲線圖。 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST A、慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻為 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ST 從上圖可知，低頻部分是零分貝線，高頻部分是斜率為－ 20dB/dec的直線，兩條直線交于 ω=1/t處，該頻率稱為交接頻率。 典型環(huán)節(jié)的頻率特