【正文】 保人處于兩種狀態(tài)的概率，例如健康人占 3/4，病人占 1/4，即 則同樣可計(jì)算出 ? ? ? ?001 3 / 4 , 2 1 / 4 ,????? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ??? 由上面的分析可以看出，對于給定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 時的狀態(tài)概率， 趨向于穩(wěn)定值，該 值與初始值無關(guān)，這是馬氏鏈的重要性質(zhì)。 1 , 2 , 3 ,n ?以 表示第 年?duì)顟B(tài)為 的概率。 問題的提出 設(shè) 表示年齡的時段，假定在一年中，今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年轉(zhuǎn)為健 康的概率為 假設(shè)一個人在投保時處于健康狀態(tài)，我 們來研究若干年之后他分別處于這兩種狀態(tài)的概率。 N⑷ 若她想在 8周后減輕到 , 每天攝入量應(yīng) 如何限制 . 模型分析 我們不考慮由于吸入氧氣而產(chǎn)生的熱量 . 由于新陳代 謝及鍛煉所需的熱量為 故每天能轉(zhuǎn)化成脂 肪的熱量為 因而相應(yīng)的脂肪增加值為 12 00 16 .nW?13 00 16 .nW?? ?1 3 0 0 1 6 / 1 0 0 0 0 0 .1 3 0 .0 0 1 6 ,nnWW? ? ?從而第 的體重為 1n?1 0. 00 16 0. 13 0. 99 84 0. 13 .n n n nW W W W? ? ? ? ? ? ⑴ 設(shè)周六的體重為 則在下周二的 體重為 但當(dāng)天多攝入了 1000卡的 熱量 , 故周三的實(shí)際體重為 ? ?0 56 kg .W ?? ?2 5 7 .2 6 8 1 9 4 k g .W ?? ?430 .9 9 8 4 0 .2 3 5 7 .4 0 6 4 9 k g .WW? ? ?以它為初始值 ,可計(jì)算出周六的體重為 ? ?7 5 7 .4 8 2 7 2 8 k g .W ?⑵ 設(shè)每天的攝入量為常數(shù) 則模型為 , 欲使體重不變 , 即有 ,a若要維持體重不變 , 則 卡 . 2114a ?? ?1 1 2 0 0 1 6 / 1 0 0 0 0 .n n nW W a W? ? ? ? ? ⑶ 若完全拒絕飲食 , 但基本的新陳代謝需要維持及鍛 煉照常 , 因而有 1 984 ? ??從而有關(guān)系 ? ?100 .9 9 8 4 0 .1 2 1 0 .9 9 8 4 / 0 .0 0 1 6 .nnnWW? ? ? ?代入 周所需要的天數(shù) , 則可得到那時的體重 . N ⑷ 使用⑵中的模型 , ? ?1 12 00 16 / 10 00 0n n nW W a W? ? ? ? ?40 .9 9 8 4 1 0 0 .1 2 .nWa ?? ? ?或改寫成另一個形式 ? ? ? ? ? ?14 10 1 / 1 .nnnWWa? ?? ? ? ?欲使體重 8周后成為 代入上式 , 得 1 2344 ,nW ? ?? ?? ? ? ?12 00 16 50 .8 02 34 4 0. 99 84 57 .1 52 6 / 1 0. 99 84 .nna ?? ? ?代入 即可得到每天應(yīng)攝入的熱量數(shù) . 8 7 ,n ??下表給出了當(dāng) 時體重在第 周時的情況 . 第三列 表示希望在第 周時體重為某值的熱量攝入量變化值 表 . 0a? NN 周 （卡） 5 250 10 1156 20 1609 30 1759 40 1833 50 1877 N ? ?? ?0 k gNWa ?a 問題 5 數(shù)列與黃金分割 F ibo nac c i 問題的提出 提出了這樣一個問題 : 一對 小兔子二個月后可以生兔子 , 而成熟兔子每月可生一對 小兔子 . 假如去年 12月底養(yǎng)一對小兔子 , 問到今年年底 共有多少對兔子 . F ibo nac c i121234 13個月份中的兔子的對數(shù)如下表 所示 : 12 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 5 8 13 7 8 9 10 11 12 21 33 55 89 144 233 13個月份中的兔子的對數(shù) 以 表示各月份中兔子的對數(shù) , 則 有關(guān)系 ? ?0 , 1 , 2 , , 1 2iFi ?0 1 2 4 51 , 1 , 3 , 5 , 8 ,F F F F F? ? ? ? ?定義 稱數(shù)列為 為 數(shù)列 , 若數(shù)列有關(guān)系 : ? ?nF F ibo nac c i? ?2101 0 , 1 , 2 , 3 , ,1.n n nF F F nFF??? ? ? ??????? 法國數(shù)學(xué)家奇拉特在 死后 400年時證明了 F ibo nac c i111 1 5 1 5.225nnnF????? ? ? ??????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 從而證明了 11l im 0 . 6 1 8 , l im 1 . 6 1 8 ,nnnnFF ?? ? ? ???? 黃金分割與斐氏數(shù)列 黃金分割據(jù)說是由達(dá)芬奇首先提出的 . 所謂黃金分割 指的是按中外比割的 . 即在下圖中滿足關(guān)系 A M B.M B A MA M A B?記 , , ,AB a AM X M B a x? ? ? ?則有 ,a x xxa? ?即有 解此方程得 22 0,x ax a? ? ?224 5 10. 61 8 .22a a ax a a? ? ? ?? ? ?三、馬氏鏈及其應(yīng)用 我們知道，人壽保險公司最為關(guān)心的是投保人的健康 與疾病以及相應(yīng)的風(fēng)險。 :nC不同年齡段的此種生物的繁殖和死亡率有下表所示 : 組別 繁殖率 死亡率 0 BAC由此得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及關(guān)系表達(dá)式 1110 0 .3 0 .10 .9 0 0 .0 0 .8 0 .7nnnnBBAACC???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?是否進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài) , 看矩陣的最大特征值 若 則 總數(shù)將無限制增長 , 總數(shù)將趨于穩(wěn)定 , 總數(shù) 將逐漸減少 . .? 1,? ?1,? ? 1,?? 在 Matlab下 , 求出特征值 , 值為 0 .8 5 7 , 0 .4 5 5 7 , 0 .3 .?此說明基本進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài) . , , ,?造成這一現(xiàn)象的主要原因是繁殖率偏低 . 事實(shí)上 , 若將 繁殖率改為 則特征值為 , , 問題 1 定期存款的計(jì)算 某人在銀行存款 , 設(shè)期初為 之后在每年的年底再存 入定額為 的錢 . 年息為 若 是存款 年后的總額 , 則有 0,Pa %,rnPn? ?101 % .P r P a? ? ?記 則有 ? ?1 % ,Rr??1 .nnP RP a? ??此方程為一階線性差分方程 , 其數(shù)值解為 ? ? ? ?0 1 / 1 .nnnP R P a R R? ? ? ? 在 Matlab下 , 編寫如下程序 , 運(yùn)行后得 : 15年后存款總 額為 元 . 113384例如 : 某人期初存入 2萬元 , 計(jì)劃每年年底再存入 5000, 年利息為 求 15年后在銀行的存錢總額 . 2%, 如果要讓存款達(dá)到 20萬元 , 求出年數(shù) . 存款曲線圖示 問題 2 貸款還款計(jì)劃 問題的提出 當(dāng)今人們消費(fèi) , 經(jīng)常會遇到分期付款消 費(fèi)等現(xiàn)象 . 對實(shí)際貸款額和銀行利率 , 該如何制定相應(yīng) 的還款計(jì)劃 . 模型分析 設(shè) 為 年后所欠的錢數(shù) , 為每月償還 的錢數(shù) , 為還清所需的年數(shù) , 是與欠款有關(guān)的年利息 率 . 則 表示欠款總額 , nX n mN r ?0X 由條件 , 知下一年的欠款錢數(shù)為 1 12 .n n n nX X r X m R X a? ? ? ? ? ?其中 : 1 , 1 2 .R r a m? ? ? ? 模型建立 由上式 , 得 0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) .nnnX R X m R R? ? ? ?當(dāng) 時則有 , 即 nN? 0.NX ?0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) 0 .NNR X m R R? ? ? ?? ?0 1 / 1 2 ( 1 ) .Nm X R R ?? ? ?由此得 應(yīng)用 : 設(shè)某人貸款 20萬元 , 年利率為 計(jì)劃 15年還清 , 求 每月應(yīng)還的錢額 . 6%,解 將數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 元 . m =1716還貸曲線圖 討論 : 當(dāng)利率改變時 , 還貸計(jì)劃應(yīng)該做怎么樣的調(diào)整 . 例如當(dāng)利率下降 還款是否也下降 當(dāng)利率上升 而你又不想改變每月支付的金額 , 則還款年數(shù)將 增加到多少 ? 1%, 1%.1%,解 在求解公式中 , 將年利率改為 得 元 , 降幅為 若利率上升 則每月的還款額為 漲幅為 若不想增加還款額的話 , 則 還款期限為 18年 . 5%, m =1606% . 1%,1830. % . 進(jìn)一步的討論 : 是否存在一輩子都還不清的可能 ? 在上面的情況下 , 假設(shè)貸款者仍然每月還款 元 , 則當(dāng)年利率上升到多少 , 還款者要永遠(yuǎn)還下去 ? 1716? ?0 1 / 1 2 ( 1 )Nm X R R ?? ? ? 在關(guān)系式 取 則有 ,N ? ?? ? 問題 3 生物種群的生長問題 某種生物群種的增長情況遵從著名的 Logistic方程 : ? ?1 1,n n np k p p? ??其中 是該種第 代的個體總量與該群體所能達(dá)到的 最大個體容量之比 . 為比例系 數(shù) . np n? ?0 1 0 , 1 , 2 , ,np n k? ? ? 注意到該方程是一個一階的非線性差分方程 . 在 Matlab下 , 對初始值 的不同取值 , 得到如下的結(jié) 果 : 0,kp⑴ k= 1. 5, p0 = 0. 5.⑵ k= 2. 5, p0 = 0. 5.⑶ k= 3. 2, p0 = 0. 5.⑷ k= 3. 4, p0 = 0. 5. 問題 4 減肥與飲食問題 一個女子每天攝入 2500卡的食物 ,其中 1200卡用于基 本的新陳代謝 , 并用每公斤體重 16卡為每日鍛煉的消耗 , 其它剩余的轉(zhuǎn)換成脂肪 .