【正文】 例5計(jì)算242。0e1y2y2212=(1). 66e注：在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。0xeD1y2y2dx=242。edxdy=242。22yx242。xedxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)的三角形.D2解: Q242。2xydx=D1y2y+245 8 例4求2y242。xyds=242。y+2 , 242。2,y2163。14xx245xyds=8(法二)D:1163。01xxxyds+242。xydsDD1D2=242。xyds+242。xyds=242。x242。4,x2163。x , D2:1163。1,x163。D解：(法一)D1:0163。 xyds242。dy242。1dx242。dx242。dy242。dx242。2p0dq242。242。r163。則238。q163。abj(q) f(rcosq,rsinq)rdr236。Df(rcosq,rsinq)rdrdq=242。242。r163。b⑵D：237。a163。dq242。242。j2(q)236。j1(q)163。q163。 5. 極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算: ⑴D：237。dy242。[242。242。x163。dd238。c163。j2(x)②同理，若積分區(qū)域D為Y型區(qū)域，即D：237。j1(x)163。242。242。，則也有：f(x,y)ds=[f(x,y)dy]dx； 237。x163。242。242。Ms （s是D的面積）性質(zhì)（中值定理）若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在(x,h)206。242。D，則ms163。f(x,y)163。242。Df(x,y)ds|163。0； 242。242。242。0，(x,y)206。g(x,y)，(x,y)206。242。D1D2f(x,y)dsf(x,y)ds179。f(x,y)ds+242。Df(x,y)ds=242。g(x,y)ds； DD性質(zhì)若D=D1+D2，且D1ID2=f（除邊沿部分外），則242。242。242。f(x,y)ds，k為非零常數(shù)； DD{f(x,y)177。Dkf(x,y)ds=k242。242。第一、二節(jié) 二重積分 一、主要內(nèi)容1．二重積分的幾何與物理意義：2．二重積分的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)242。，掌握三重積分在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。 第十章 重積分【本章重要知識(shí)點(diǎn)】、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分中值定理。第七節(jié)：方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度公式；二者之間的關(guān)系（梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值，梯度方向?yàn)楹瘮?shù)變化最快的方向）；梯度的幾何意義為為等值線（面）上某點(diǎn)的法線方向（參見(jiàn)例6）。z=y(x)T記切線和法平面方程。y=j(x)以及一般形式）的切向量237。以對(duì)求導(dǎo)為例，前者把xz看成常數(shù)，后者把z看成函數(shù)z=z(x,y)。a1x+b1y=c1解的公式238。第三節(jié)：全微分全微分公式，可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系（小題）第四節(jié)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ‘‘的意義（見(jiàn)P79，例4）重要 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，注意記號(hào)f1’,f12 全微分公式： dz=fu(u,v)du+fv(u,v)dv第五節(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)公式方程或方程組的隱函數(shù)求導(dǎo)方法： （1）.公式法；（2）兩邊求導(dǎo)法； 附：二元線性代數(shù)方程組237。 討論多元函數(shù)在一點(diǎn)處的極限、連續(xù)、可導(dǎo)性。y0limf(x,y)第二節(jié)：偏導(dǎo)數(shù)會(huì)求二階以下的偏導(dǎo)數(shù)；注意在界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義來(lái)求（見(jiàn)P67）。y0沿直線 y=y0+k(xx0) 方向：x174。(l)的方程為(x+2yz6)+l(x2y+z)=0,即(1+l)x+2(1l)y+(l1)z6=0.現(xiàn)要在上述平面束中找出一個(gè)平面圖P,使它垂直于題設(shè)平面P1,因平面垂直于平面P1,故rrrv平面P的法向量n(l)垂直于平面P1的法向量n1={1,2,1}.于是n(l)n1=0,即1(1+l)x+4(1l)+(l1)=0.解得l=2,故所求平面方程為p:3x2y+z6=，平面x2y+z=0不是所求平面.第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念 會(huì)求多元函數(shù)的定義域、極限（重要） 知道證明極限不存在的方法沿不同路徑趨近定點(diǎn)時(shí)，極限不相等?。ㄍǔ？紤]三條路徑：lim沿平行x軸方向：limf(x,y)；沿平行y軸方向：x=xx174。作平面P, 使它垂直于平面P1:x+2y+z=0. x2y+z=0238。7所求直線方程為 平面束236。777254。, 77254。=237。2=237。12624252。133252。,取所求直線得方向向量為, 7232。,交點(diǎn)N231。代入平面方程得t=3230。y=2t+1. 令321239。x=3t1x+1y1z239。例2 求過(guò)點(diǎn)(3,2,5)且與兩平面x4z=3和2xy5z =1的交線平行于的直線方程.vvrvr解 設(shè)所求直線的方向向量為s={m,n,p},根據(jù)題意知s^n1,s^n2, rrvijkrvv取s=n1180。y=t239。x=1+4t239。0得點(diǎn)坐標(biāo)(1,0,2),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,rvrijkrrr可取s=n1180。0222。y+z0+2=0取x0=1222。2xy+3z+4=0238。Ax+By+Cz+D=則方程(A1x+B1y+C1z+D1)+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,稱為過(guò)直線L的平面束方程, 其中l(wèi)為參數(shù).注: 上述平面束包含了除平面A2x+B2y+C2z+D2=0之外的過(guò)直線L的所有平面.236。 mnp（3）L//P的充要條件是Am+Bn+Cp=0.五、平面束通過(guò)空間一直線可作無(wú)窮多個(gè)平面, 236。A2x+B2y+C2z+D2=0.xx0yy0zz0== mnp 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程：三、兩直線的夾角設(shè)s1={m1,n1,p1}，s2={m2,n2,p2}分別是直線L1，L2的方向向量，則L1與L2的夾角j應(yīng)是(s1,s2)和(s1,s2)=p (s1,s2)兩者中的銳角. 因此cosj=|cos(s1,s2)|. 仿照對(duì)于平面夾角的討論可以得到下列結(jié)果. vvvvvvvvvvvv|s1s2||m1m2+n1n2+p1p2|（1） cosj=； =222222|s1||s2|m1+n1+p1m2+n2+p2（2）L1^L2的充要條件是m1m2+n1n2+p1p2=0；（3）L1//L2的充要條件是四、直線與平面的夾角（1）設(shè)直線的方向向量為s={m,n,p}，平面的法向量n={A,B,C},直線與平面的夾角r217。236。1.考大題一般集中在下面兩節(jié)：即平面和直線部分。. z=0238。z=3(x+y)236。, 22239。239。x=02238。z=2,|y|163。y=02238。z=2,|x|163。238。4。2239。在坐標(biāo)面上的投影方程. 238。=2p時(shí)h=2bp, 螺距.236。 w248。231。當(dāng)qv246。z=bq238。y=asinq239。解 237。x=acosq239。236。H(x,y)=0237。238。 H(x,y)=0222。般方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程）三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影236。239。x=x(t)239。 G(x,y,z)=0238。=0x2z2例3 將xOz坐標(biāo)面上的曲線22=1分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生 ac成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為x2+y2z22=1, 2ac這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)單頁(yè)雙曲面. 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為x2y2+z2=1. a2c2這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)雙頁(yè)雙曲面.例4 直線L繞另一條與L相交的定直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為叫圓錐面. 兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn), 兩直線的夾角a(0ap2)稱為圓錐面的半頂角. 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面方程.z2=a2(x2+y2)(a=cota).柱面：一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 其他類似常見(jiàn)柱面：圓柱面、橢圓柱面、拋物柱面，雙曲柱面、平面二次曲面：會(huì)根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷二次曲面的類型（填空或選擇）第四節(jié) 空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程 236。2．已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.例1建立球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面方程.2222(xx)+(yy)+(zz)=R解 000例2 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )222A(x+y+z)表示一個(gè)圓、點(diǎn)或圓的虛軌跡.旋轉(zhuǎn)曲面（重要）: 曲線+Dx+Ey+Fz+G=0f(y,z)=0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： f(177。a//b，又等價(jià)于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例。 rr向量積的幾何意義：a180。b=b180。a=0；rrrrrr（2）設(shè)a、b為兩非零向量，則 a//b的充分必要條件是 a180。 rrr2rrrrrra（3） 設(shè)、b為兩非零向量，則 a^b的充分必要條件是 ab=0.二、兩向量的向量積rrv定義2 若由向量a與b所確定的一個(gè)向量c滿足下列條件：rrrrrr（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定；rrrrrrc|c|=|a||b|sinq（2）的模 ，(其中q為a與b的夾角)，rrv則稱向量c為向量a與b的向量積（或稱外積、叉積），記為rrrc=a180。第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積（填空、選擇、判斷）一、兩向量的數(shù)量積rrrrrraqab，定義1設(shè)有向量、它們的夾角為，乘積|a||b|cosq稱為向量與b的數(shù)量積（或rr稱為 （1） ab=|b|Prjba=|a|Prjab。(y)=2， 22y積分，得 c(y)=1+C， 2y所以，方程的通解為 x=12y+Cy3． 2第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算（填空、選擇、判斷）向量的線性運(yùn)算：向量的加減法, 向量與數(shù)的乘法rrrr設(shè)向量a185。+2y=0的通解；解 分離變量，得 dy2y=， dx6xy2dx6xy2x1取倒數(shù)，有==3y，是x關(guān)于y一階線性微分方程．求此方程的通解． dy2yy2dxx=3， dyydxdy=3， xy對(duì)應(yīng)的齊次方程為