【正文】 項式 g(x),必須是一個常數項不為 “ 0” (nk)次多項式 ,而且 ,這個 g(x)還是 (n, k)碼中次數為 (nk)的惟一的一個多項式 。g(x)、 … 、 xk1 在循環(huán)碼中 ,一個 (n, k)碼有 2k個不同的碼組 ,若用 g(x)表示其中前 (k1)位皆為 “ 0”的碼組 ,則 g(x)、 x 由上述分析可以得到結論： 一個長為 n的循環(huán)碼 ,它必為按模 (xn+1)運算的一個余式 。(xn+1)+ A（ i） (x) (448) 這里 ,Q(x)表示 xi 為了利用代數理論研究循環(huán)碼 ,可以將碼組用代數多項式來表示 ,這個多項式被稱為碼多項式 ,對于許用循環(huán)碼A=(an1an2 … a1 a0),可以將它的碼多項式表示為 A(x)=an1xn1+an2xn2+… +a1x+a0 (445) 第 4章 信道編碼技術 對于二進制碼組 ,多項式的每個系數不是 0就是 1,x僅是碼元位置的標志 ,因此 ,我們這里并不關心 x 設上述循環(huán)許用碼組 A左循環(huán)一位得到的碼組記作 A（ 1） = (an2an3 … a0 an1 ),其碼多項式可以表示為 A (1) (x)=an2xn1+an3xn2+… +a0x+an1 (446) 同理 ,左移 i位的碼組 A（ i） =(ani1 ani2 … ani+1 ani),其碼多項式為 A (i) (x)=ani1xn1+ani2xn2+… +ani+1x+ani (447) 第 4章 信道編碼技術 利用代數理論知識 ,A（ i） (x)也可以用下式求得： xi 若 (an1 an2 … a1 a0)為一循環(huán)碼組 ,則 (an2an3… a0 an1)、 (an3an4 … an1an2)… 還是許用碼組 。 它有許多特殊的代數性質 ,這些性質有助于按所要求的糾錯能力系統(tǒng)地構造這類碼 ,且易于實現(xiàn)； 同時循環(huán)碼的性能也較好 ,具有較強的檢錯和糾錯能力 。 因此 ,哈達碼的長度n=2m,k=lb2n =lb2m+1=m+1, d0 =n/2=2m1,這里 m為正整數 。 ??????1000第 4章 信道編碼技術 (443) 式中 , Mn為 Mn的互補矩陣 ,按上述規(guī)律 M4和 就可以分別表示為 ???????nnnnn MMMMM2?????????????????????????????????1001001101011111,0110110010100000422222MMMMMMn(444) 4M第 4章 信道編碼技術 至此 ,可以利用 M4和 的行構成一個碼長 n=4的二進制線性分組碼 ,該碼由 8個碼組構成 ,最小碼距為 d0=2。 第 4章 信道編碼技術 2. 哈達碼 (Hadamard) 哈達碼矩陣 Mn是一個由 “ 0”和 “ 1”構成的 n n維矩陣 （ n是偶數 ） ,矩陣中任意兩行相比較 ,都存在 n/2個不同的元素 ,矩陣中有一行是全 0行 ,其他行都包含 n/2個 “ 0”和n/2個 “ 1”。 二進制漢明碼可以表示為 (n, k)=(2m1, 2m1m) (441) 這里 m可取大于等于 2的任意整數 ,因此 ,漢明碼的特點如下： 碼長 n=2m1,信息位 k=2m1m， 監(jiān)督位 r=m,最小碼距 d0=3,糾錯能力 t=1。 基于這樣的原則 ,接收端利用接收到的碼組 B計算校正子： S=BHT=(A+E)HT=AHT+EHT =EHT (440) 因此 ,校正子僅與 E有關 ,即錯誤圖樣與校正子之間有確定的關系 。G=［ a6 a5a4 a3］ G (438) 由式 (437)表示的生成矩陣形式被稱為典型生成矩陣 ,利用式 (438)產生的分組碼必為系統(tǒng)碼 ,也就是信息碼元保持不變 ,監(jiān)督碼元附加在其后 。 當然對于上述 (7, 4)碼而言 ,最小碼距 d0=3,因此 ,它可以糾正一個錯誤或檢測兩個錯誤 ,如果超出這個范圍 ,糾錯功能就要失敗 。 第 4章 信道編碼技術 表 41 第 4章 信道編碼技術 根據表 41的對應關系 ,可以得到下列邏輯關系式： S1=a6+a5+a4+a2 S2=a6+a5+a3+a1 (431) S3=a6+a4+a3+a0 在進行編碼時 ,設 a a a a3為信息碼元 ,從表41中可以看到 ,當 S3S2S1=000時 ,就表明碼組在傳輸過程中沒有發(fā)生錯誤 ,基于這一約束 ,利用式 (431),可以得到下面兩種形式的線性方程組： a6+a5+a4+a2 =0 a6+a5+a3+a1 =0 a6+a4+a3+a0 =0 (432) 第 4章 信道編碼技術 a6+a5+a4 =a2 a6+a5+a3 =a1 (433) a6+a4+a3 =a0 根據上面兩個線性關系式 ,可以得到 16個許用碼組 ,如表 42所示 。 設分組碼 (n, k)中 k=4,為了能夠糾正一位錯誤 ,要求 r≥3,取 r=3,則 n=k+r=7。 線性分組碼是建立在代數群論基礎之上的 ,各許用碼的集合構成了代數學中的群 ,它們的主要性質如下： (1) 任意兩許用碼之和 （ 對于二進制碼這個和的含義是模 2和 ） 仍為一許用碼 ,也就是說 ,線性分組碼具有封閉性； (2) 碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。 在實際設計過程中 ,需要根據具體指標要求 ,盡量簡化編碼實際的復雜度 ,節(jié)省設計費用 。 第 4章 信道編碼技術 圖 46 糾（檢）錯能力的幾何解釋 A Bed0( a )A Btd0t1( b )A Btd0e1( c )第 4章 信道編碼技術 通常 ,在信道編碼過程中 ,監(jiān)督位越多糾錯能力就越強 ,但編碼效率就越低 。 第 4章 信道編碼技術 （ 3） 如果碼組用于糾 t個錯 ,同時檢 e個錯時 ,那么 d0≥t+e+ 1 (429) 這個關系可以利用圖 46(c)予以說明 。 在圖中用 A和 B分別表示兩個碼距為 d0的碼組 ,若 A發(fā)生 t個錯誤 ,則 A就變成以 A為球心 ,t為半徑的球面上的碼組； 若 B發(fā)生 t個錯誤 ,則 B就變成以 B為球心 ,t為半徑的球面上的碼組 。 在圖中用 A和 B分別表示兩個碼距為 d0的碼組 ， 若 A發(fā)生 e個錯誤 ， 則 A就變成以 A為球心 ， e為半徑的球面上的碼組 ， 為了能將這些碼組分辨出來 ， 它們必須距離其最近的碼組 B有一位的差別 ， 即 A和 B之間最小距離為 d0≥ e+1。 碼組之間的最小距離是衡量該碼組檢錯和糾錯能力的重要依據 ， 因此 ， 最小碼距是信道編碼的一個重要的參數 。 第 4章 信道編碼技術 最小碼距： 在碼組集合中全體碼組之間距離的最小數值 。 對于二進制碼來講 ， 碼重W就是碼元中 1的數目 ， 例如碼組 10100的碼長 n=5， 碼重W=2。 下面我們將介紹幾個與信道編碼有關的基本概念 。 同時 ， 隨著數字通信系統(tǒng)的發(fā)展 ， 可以將信道編碼器和調制器統(tǒng)一起來綜合設計 ， 這就是所謂 的網格編碼調制 ( TCM， Trellis Coded Modulation)。 其中代數碼是目前發(fā)展最為完善的編碼 ， 線性碼就是代數碼的一個重要的分支 。 前者主要用于發(fā)生零星獨立錯誤的信道 ， 而后者用于對付以突發(fā)錯誤為主的信道 。 除了個別情況 ， 系統(tǒng)碼的性能大體上與非系統(tǒng)碼相同 ， 同時非系統(tǒng)碼的譯碼較為復雜 ， 因此 ， 系統(tǒng)碼得到了廣泛的應用 。 （ 4） 按照信息碼元在編碼后是否保持原來的形式 ， 可以將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼 。 監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關 。 第 4章 信道編碼技術 （ 3） 按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同 ， 可以將它分為分組碼和卷積碼 。 （ 2） 按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗關系 ， 可以將它分為線性和非線性碼 。 （ 1） 按照信道編碼的不同功能 ， 可以將它分為檢錯碼和糾錯碼 。 混和糾錯方式在實時性和譯碼復雜性方面是前向糾錯和檢錯重發(fā)方式的折衷 。 在這種系統(tǒng)中接收端不但具有糾正錯誤的能力 ， 而且對超出糾錯能力的錯誤有檢測能力 。 同時 ARQ也存在某些不足 ， 主要表現(xiàn)在： （ 1） 需要反向信道 ， 故不能用于單向傳輸系統(tǒng) ， 并且實現(xiàn)重發(fā)控制