【正文】 作 ri←→ rj，交換行列式 i， j兩列，記作 ci←→ cj 證：由條件有 D＝－ D 故可得 D＝ 0 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 性質(zhì) 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個(gè)數(shù) k，等于用數(shù) k乘以此行列式。 證 交換第 p、 q兩列，得行列式 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 對(duì)于 D中任一項(xiàng) 其中 J為排列 的逆序數(shù) 在 D1中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng) 其中 J1為排列 的逆序數(shù) 與 只經(jīng)過(guò)一次對(duì)換 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 所以對(duì)于 D中任一項(xiàng)， D1中必定有一項(xiàng)與它的符號(hào)相反而絕對(duì)值相等，又 D與 D1的項(xiàng)數(shù)相同。 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 。 記 行列式 D39。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?解： (1) 根據(jù)行列式的定義， nD 中的一般項(xiàng)為 ? ? ? ?12 12121,n nj j j j j n ja a a??其中，僅當(dāng) 1 2 12 , 3 , , , 1nnj j j n j?? ? ? ?時(shí)，該項(xiàng)不為零． 所以， ? ? ? ?( 23 1 ) 11 1 2 1 ! .nD n n? ?? ? ? ? ? ? ?(2) 根據(jù)行列式的定義，該５階行列式的一般項(xiàng)為 ? ? ? ?1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 51 j j j j j j j j j ja a a a a??我們注意到：當(dāng) 3 4 5,j j j等于 3,4,5 時(shí)， ? ?0 , 3 , 4 , 5 .iijai??由于 3 4 5,j j j為 1, 2 , 3, 4 , 5中的三個(gè)不同的數(shù)，所以，無(wú) 論如何取，至少要取到 3,4,5 中的一個(gè)數(shù)．故一般項(xiàng)中 至少有一個(gè)因子等于零，于是，該行列式的每一項(xiàng)都 是零，從而該行列式等于 0． ? ?1 1 1 1 12 2 2 1 13344550 0 020 0 00 0 0..a b c d ea b c d eababab1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 . 階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 的 個(gè)元素的乘積 ,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定 . nn!n小結(jié) 行列式的性質(zhì) 研究行列式性質(zhì)的主要目的是 : 一、簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算 . 二、為進(jìn)一步在理論上研究行列式做準(zhǔn)備。 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 練習(xí)： ． ? ?0 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 . 。 主對(duì)角線以下的元素全為 0（即 ij時(shí)元素 aij＝ 0）的行列式稱為 上三角行列式 ，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積。21 n??? ??n????21一般地，對(duì)角行列式 n????21? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnn aaa ?? ???? ?? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????證明 第一式是顯然的 ,下面證第二式 . 若記 ,1, ??? inii a? 則依行列式定義 11,21nnnaaa???證畢 例 2 計(jì)算上三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分 析 展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 112( . . . ) 12( 1 ) .nnpp p p n pa a a??所以不為零的項(xiàng)只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnn aaa ?? 2211121 ???.2211 nnaaa?解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.1608541 ?????同理可得下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??主對(duì)角線以上的元素全為零（即 ij時(shí)元素 aij＝ 0）的行列式稱為 下三角行列式 ，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積。 1 2 1 2( ) , ( )nni i i j j j是兩個(gè) n級(jí)排列。對(duì) n級(jí)行列式 ? ?121212( . . . )12...( 1 ) . . .nnnp p pp p p np p pD a a a????ijaD ? ,有 推論 對(duì) n級(jí)行列式 ijaD ? ,有 證明： 將 重排，使其行標(biāo)成為自然順序 , 行標(biāo)，列標(biāo)同時(shí)作了一次對(duì)換，總逆序數(shù)之和不改變奇偶性。 可將給定的項(xiàng)改為行標(biāo)按自然順序，即 53432251 aaaaa ki則 ? (1 5 2 4 3) = 4，是 偶排列 ， 該項(xiàng)則帶正號(hào)， 對(duì)換 1， 4的位置， 則 4 5 2 1 3是 奇排列 。就不是三階行列式中的332312 aaa 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆 。 n !n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積 。 (132 ) 1? ?( 12 3 ) ( 23 1 ) ( 31 2 )11 22 33 12 23 31 13 21 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?( 32 1 ) ( 21 3 ) ( 13 2 )13 22 31 12 21 33 11 23 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?13 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a a? ? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ?? ? ?1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a????11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a???? n 階行列式的定義 12122()1211 12 121 22 212( 1 ) .nnp p pp p npnnn n nnnnna a aa a aa a aDa a a????由 個(gè) 數(shù) 組 成 的 階 行 列 式 等 于 所 有取 自 不 同 行 不 同 列 的 個(gè) 元 素 的 乘 積的 代 數(shù) 和記 作定義 ).d e t ( ija簡(jiǎn)記作 的元素．稱為行列式數(shù) )d e t ( ijij aa121212()nnp p p np p p?其 中 為 自 然 數(shù) ， ， ， 的 一 個(gè) 排 列 ，為 這 個(gè) 排 列 的 逆 序 數(shù) ．? ?? ?12121211 12 121 22 212121nnnnnn n n np p pp p n pp p pa a aa a aDa a aa a a?????說(shuō) 明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的 。 ( 231 ) 2,? ? ( 312 ) 2? ?答案：行排列為自然序時(shí)，符號(hào)由該項(xiàng)列排列的逆序數(shù)決定。 ( 3 1 2 4 )?3124 365124 12…(n 1)n n(n1)…321 解： 3 1 2 4 2 3 6 5 1 2 4 2 2 0 0 0 2? ? ? ? ?( 365124 )? 2 4 3 0 0 0 9? ? ? ? ? ? ?偶排列 奇排列 0 0 0 4 3 0 0 0 ( 1 2 ) 0n? ? n (n1) (n2) … 3 2 1 n1 n2 n3 2 1 0 ( ( 1 ) 321 )nn? ?( 1 )2nn ??4 對(duì)換 在一個(gè)排列 i1… is…i t …i n中，若將 is和 it 位置互換 , 而其余各數(shù)位置不變得到另一排列 i1…i t