【正文】 2 300( 1 ) 00nnnnn n na a aa a aa a aa a a?? ? ?? ? ?Pro. 3 ( 1) n D??因為 n 為奇 數(shù)， D = D, 所以 D = 0 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 36 Example 12 計算 1 2 3 11 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 1 ( 1 )nnnDnn??? ?? ? ?Solution: 方法一 將各列加到第一列，得 ( 1 )22 3 10 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 1 ( 1 )nnnnnDnn???? ?? ? ?1 0 0 02 2 0 0( 1 )20 0 1 ( 1 )nnnn????? ? ?1 ( 1 ) !( 1 )2n n? ???方法二 Dn cj+cj+1 j=n1,…,1 ( 1 ) ( 1 )221 2 10 1 0 00 0 0 ( 1 )n n n nnnn???????1 ( 1 ) !( 1 )2n n? ???三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 37 Example 13 計算 12121 1 11 1 1( 0)1 1 1nnnaaD a a aa?????Solution: 方法一 每行減去第一行，得 11211 1 100nnaaaDaa????11ja jacc?2,3,...,jn?111221 1 10000jnajnaaaa??? ?11 1(1 )jnnjaj ja? ??? ? ?方法二 （添加一行一列） 121 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1nnaDaa????1irr?2 ~ 1in??121 1 1 11 0 01 0 01 0 0 naaa???11jjcca?2 ~ 1jn??11121 1 1 10 0 00 0 00 0 0jnajnaaa?? ?11 1(1 )jnnjaj ja? ??? ? ?三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 38 Example 14 計算 012211 0 0 01 0 00 0 00 0 10 0 0nnnaaxaxDaxax??????Solution: 方法一 從第二行起，前行乘以 x 加到后一 行，得 00120 1 2230 1 2120 1 11 0 0 00 1 0 00 0 0 0.. . 0 0 0 1.. . 0 0 0 0nnnnnnnaa x aa x a x aDa x a x aa x a x a????????????? ? ? ?? ? ?1 1 20 1 11( 1 ) ( .. . )1n n nna x a x a? ? ???? ? ? ? ??( 1 ) ( 1 ) 1 20 1 1( 1 ) ( 1 ) ( ... )n n n n na x a x a? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?120 1 1...nnna x a x a???? ? ? ?三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 39 012211 0 0 01 0 00 0 00 0 10 0 0nnnaaxaxDaxax??????按最后一行展開，得： Dn = xDn1+ an1 Dn1 = xDn2+ an2 方法二 ( 遞推法 ) ….. …… D2 = xa0 + a1 Dn = xDn1 + an1 = x2Dn2 + an2x + an1 所以 = x3Dn3 + an3x2 + an2x + an1 = … = = xn2D2 + a2xn1 + … + an3x2 + an2x + an1 Dn2 = xDn3+ an3 = a0xn1 + a1xn2 + … + an2x + an1 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 40 Example 15 設(shè) 11 1111 1 11 1110000mm m mmnn nm n nnaaaaDc c b bc c b b?11 111mm m maaDaa?1 1 121nn n nbbDbb?證明： D = D1D2 . 對 m 用數(shù)學(xué)歸納法即可證明（ （ B） 1(2)。 證畢 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng) 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 推論 .,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?2022/6/4 25 綜上，得公式 ???? inknikik AaAaAa ?2211 ?????），（當）（當ikikD0 ,???? njnljljl AaAaAa ?2211?????），（當）（當jljlD0 ,注： 直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計算， 因為把一個 n階行列式換成 n個（ n－ 1）階行列 式的計算并不減少計算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零 時，應(yīng)用展開定理才有意義。 Bi1 = (1)i+1 (1)(ji)1 Mj1 由歸納假設(shè) = (1)j+1Mj1 = Aj1 同理可得： Bj1 = Ai1 D* = b11B11 + … + bi1Bi1 + … + bj1Bj1 + … + bn1Bn1 = a11(A11)+…+ aj1(Aj1)+…+ ai1(Ai1)+…+ an1(An1) = (a11A11 + … + ai1Ai1 + … + aj1Aj1 + … + an1An1) = D 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 22 Corollary 1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此 行列式為零 . 只需把這相同的兩行（列）互換，得 DD?? 0D?? Corollary 2 1 1 2 2 0k i k i k n inD k ia A a A a Aki??? ? ? ?? ??1 1 2 2 0k j k j nk njD k ja A a A a Akj??? ? ? ?? ?? 行列式某行（列）的元素乘另一行（列） 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即 2 3 2 42 1 8 63 5 6 61 1 1 1D ?3 1 3 2 3 3 3 43 5 6 6A A A A? ? ? ?3 1 3 2 3 3 3 4 ?A A A A? ? ? ?2 3 2 42 1 8 601 1 1 11 1 1 1? 0 k ≠ i 0 k ≠ j 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 23 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng) 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 .,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?推論 證明： 由前面的定理，行列式等于某一行的元素分別與它們 代數(shù)余子式的乘積之和。 k ≠ i， j) 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 21 對 D* 按第一列展開，得： * 1 1 1 1 1