【正文】 問題有限元分析 總剛 2 (10－ 6)＝ 10 整體剛度矩陣的特點 B = 2 (10－ 4)=14 2 (10－ 2)＝ 18 4. 是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣 K 無約束的彈性體 （ 或結(jié)構(gòu)物 ） 的整體剛度矩陣是奇異的 ，不存在逆矩陣 ， 即關于位移的解不唯一 。 把半個斜帶形區(qū)域中各行所具有的非零元素的最大個數(shù)叫做剛度矩陣的半帶寬 （ 包括主對角元 ） ， 用 B表示 ， 如下 B=2(D+1) 通常的有限元程序 ， 一般都利用剛度矩陣的對稱和稀疏帶狀的特點 ， 在計算求解中 ， 只存儲上半帶的元素 ， 即所謂的半帶存儲 。 rsKK 以下圖所示的單元網(wǎng)格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個子塊為 2行 2列）的分布情況如下圖所示，圖中陰影部分表示該子塊不為零，其它子塊部位均為零。 整體剛度矩陣中的子矩陣 只有當下標 s等于 r或者 s與 r同屬于一個單元時才不為零 ， 這就說明 ， 在第 r雙行中非零子矩陣的塊數(shù) ， 應該等于節(jié)點 r周圍直接相鄰的節(jié)點數(shù)目加 1。 很顯然在此情況下力的方向應該與位移方向一致 ， 故應為正號 。 利用對稱性 ， 在計算機編寫程序時 ， 只存儲整體剛度矩陣上三角或下三角部分即可 。 如果根據(jù)整體剛度矩陣的特點進行編寫程序 ，可以大大節(jié)省資源 、 并提高計算效率 。 t 0??E2021/11/12 24 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 每個班由負責人壓縮成一個壓縮包后發(fā)到 每個人提交的文件名為： 班級 姓名 序號（ 1） 比如： 機自 10（ 1）班 某某 12（ 1） 4. 是奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣 K3. 是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布 K 用有限元方法分析復雜工程問題時 ， 節(jié)點的數(shù)目比較多 ，整體剛度矩陣的階數(shù)通常也是很高的 。 t0??E xy1 a 2 3 a 5 6 4 ① ② ③ ④ a a 2021/11/12 16 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 單元編號 ① ② ③ ④ 整體編碼 3 5 2 6 局部編碼 i、 j、 m i、 j、 m i、 j、 m i、 j、 m 以整體編碼表示的單元剛度矩陣子塊 解： 該模型中共有 6個節(jié)點， 4個單元，各單元的信息如表所示。正是因為有了這種組裝規(guī)律，使得有限元法能夠很 方便地應用電子計算機進行計算 。 如節(jié)點 r＝ 1和 s＝ 5不同屬于任何單元 ， 此時 =0。 如 應該是單元 ① － ④ 中對應子矩陣的集成 ， 即 rsKrsKersK 33K( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3? ? ? ?K K K K K oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 2021/11/12 13 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 3） 當 中 時 ， 若 rs邊是組合體的內(nèi)邊 ， 則 就是共用該邊的兩相鄰單元剛度矩陣中的子矩陣 的相加 。 注意有些書籍中將局部編碼表示為 3或 1， 2， 3等； 2） 將全部單元的擴大矩陣相加得到整體剛度矩陣 。 將單元剛度矩陣中的每個子塊按總體編碼順序重新排列后 ， 可以得到單元的擴大矩陣 。 注意對于單元剛度矩陣是按照局部編碼排列的 ， 即對應單元剛度矩陣中的 i、 j、 m；對于整體剛度矩陣是按照整體編碼排列的 ， 即按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列 。 將各單元剛度方程左邊相加 ， 即將各節(jié)點所受力相加 ，由于對于整體而言 ， 單元給予節(jié)點的反作用力屬于內(nèi)力 ，在相加過程中相互抵消 ， 所以各節(jié)點所受力相加的結(jié)果只有外力 ， 即等效節(jié)點力 ， 從而得到整體節(jié)點荷載列陣 ， 如下 ( 1 ) ( 2 )1 11( 3 )( 1 )222( 3 ) ( 4 )( 1 ) ( 2 )3 3 333( 4 )( 2 )44 4( 3 ) ( 4 )5 5 5? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?00000000F FFFFFF = F F FFFFF FF F F oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 2021/11/12 9 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 將各單元剛度方程右邊相加，從而得到整體剛度矩陣，如下 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )1 1 1 2 1 3 1 4 1 52 1 2 2 2 3 2 4 2 53 1 3 2 3 3 3 4 3 54 1 4 2 4 3 4 4 4 55 1 5 2 5 3 5 4 5 5( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 4( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 )2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 5( 1 )31? ? ? ??????????????????????? ?00K K K K KK K K K KK K K K KK K K K KK K K K KK K K K KK K K K K KK K K K K KKK( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 )3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 5 3 5( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 4 )4 1 4 3 4 3 4 4 4 4 4 5( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 )5 2 5 3 5 3 5 4 5 5 5 5????? ? ? ? ? ?????????00K K K K K K K K K KK K K K K KK K K K K K oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 2021/11/12 10 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 通過以上分析得，整體節(jié)點載荷與整體節(jié)點位移之間的關系式，即結(jié)構(gòu)整體有限元方程，如下 ?FK?式中： K —— 整體剛度矩陣。 oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 2021/11/12 8 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 對于任意一個節(jié)點 ， 可能承受兩種力的作用 ， 一種是其它單元給予該節(jié)點的反作用力 ； 另一種是作用在節(jié)點上的等效節(jié)點力 。 oxy① ② ③ ④ 3 2 4 5 1 2021/11/12 6 平面問題有限元分析 總剛 整體剛度矩陣 對于 3單元，有 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 2 2 2 3 2 5 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )3 3 2 3 3 3 5 34( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )5 5 2 5 3 5 5 500