【正文】 域的計(jì)算 即矩陣是下的在基偶若,:。的矩陣是可逆，并且，矩陣可逆 ??? AfAf其實(shí)，對(duì)線性映射的矩陣有類似的性質(zhì)。.2 BAgf ?? 的矩陣是。( ) , ( ) [ ]( ) 1 3 , ( ) 1 , ( ) 1 2.f F x F xf p x p x p x F xp x x x p x x p x x x??? ?? ? ? ?? ?? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求線性變換在基下的矩陣106 定理 10 下，則在基設(shè)下的矩陣分別是的基在假設(shè)ssFkBAVVVH omgf??????,),(,2121????。239。1 ?????? ?? ?下的矩陣是 APQB 1??12, ( , ) , , , ,sf H o m V V Af? ? ??特別是 若 在基 下的矩陣是則 在新的基 Pss ),(),( 2139。39。239。下的矩陣是 A 在新的基偶則 fPss ),(),( 2139。 : , , , , , , ,( ) , , , .snsnf H o m V UVUA V Xf A X? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????????若 在基偶下的矩陣是 在 的坐標(biāo)是則 在基 下的坐標(biāo)是104 定理 9 在選定基偶：設(shè) ),( UVH o mf ?。 2 ．定義33: [ ] [ ]f R x R x?為 ()( ( ) ) dxfxdx?? ? 。且如 ,VU ?Afff ss ),())(,),(),(( 2121 ?????? ?? ?Af則稱 是線性變換 在所選 基下的矩陣 。)(.2 fhfghgf ???3 . ( ) .f g h fh g h? ? ?100 線性映射（變換）的矩陣： 選定基偶：設(shè) ).,( UVH o mf ?。 99 線性變換的運(yùn)算的性質(zhì)： 則：假設(shè) ).,(, VVH o mhgf ?)。 ( , ) , ( , ) , ,39。 ) ( ) ( ) 39。))(( xpxpf ?97 例 25 .:( ) ,snnsnA F ff F Ff x A x x F???? ? ?設(shè) 求線性映射 的值域及核子空間的基和維數(shù)，其中： 定義為：) . )(),(( AKARf 記為的值域及核子空間分別98 線性變換的運(yùn)算 : ( ) ( ) ( )k f V U k f x k f x?? 39。ssV L fR f L f f f? ? ?? ? ???? ?若 則 的值域? ?5 . ( ) | ( ) K f x V f x Vf?? ? ? 是 的子空間， 稱為 的核子空間。ssssi i i iiiV k k k Ff k k f? ? ??????????? ???若則12123 . , ,( ) , ( ) , ( ) 。)(.1:?? ??fUVf 是線性映射。上的線性空間，是數(shù)域假設(shè) VFV ?0 ?.0)(,.1 ???? xfVx.0)(,.2 ????? xxfVx93 注 換：下述變換肯定是線性變。90 例 21 1 . , :, ( ) .s n n snA F f F Fx F f x A x??????? ? ?假設(shè) 映射 定義為2 . : [ ] [ ] :( ) [ ] , ( ( ) ) 39。,.f S Tf S T ff a f b a b fff?? ??????????? ??????????? ? ??????????? ??定義 假設(shè)映射若 則稱 是若由 必能推得 則稱 是若滿射單射既是滿射又是單射 則 是 雙射稱::( : , ) .7STf S Tf g T Sgf I f g I????????????? ? ??????????????????? ? ?定理 是雙射是可逆映射 存在映射使得89 定義： ,.::1. , , ( ) ( ) 。 88 . : .( ) , 。.1 21 直和sVVV ??? ?:, 21 則下述條件是等價(jià)的設(shè) VVVV s ??86 問(wèn)題： 1. 當(dāng)? ?12 sV V V ?? ? ? ?時(shí)，是否 12 sV V V? ? ?是直和？ 2. 當(dāng)? ?ijV V i j?? ? ? ?, 時(shí)，是否 12 sV V V? ? ?是直和？ 87 第四節(jié) 線性映射 稱集合 S 到自身的映射 :f S S? 為 S 上的 變換 。.2 的表示方式是唯一的?? ?。84 多個(gè)子空間的直和 1 2 1 211 2 1 2. , , , ., 1 , 2 , , ,sssi i iissV V V V V V VV i sV V V V V V?? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??定義設(shè) 若 ，惟一的 使得 ，則稱是 ，記為直和 。d i md i m)d i m (.4 2121 VVVV ???.,.5 2121 的基的基合在一起就是將 VVVV ?82 例 19 ? ? ? ?1212| , |nnTTnnFV A A A V A A AF V V??? ? ? ? ?? ? ?已知 的子空間，證明： 。.2 的表示方式是唯一的?? ?。81 定理 5 :, 21 則下述條件是等價(jià)的設(shè) VVV ?。 .),(1111,1111,2112,1221,22的一組基求中在DCBALWDCBAF????????????????????????????????????????問(wèn)題：為什么 1 1 1 2 2 1 2 2, , ,E E E E 不是 W 的基？ 70 例 14 .,|22 的一組基中子空間求?????? ????????????? FyxxyyxWF71 例 15 ? ?222210,:21|,.AW X F A X X AFW????? ????????? ? ? ?設(shè) 證明是 的子空間并求 的一組基72 定理 2 222 1 1 1,.1 2 1 1,.ABA B F ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????????例：已知將 擴(kuò)充成 的一組基.VV有限維線性空間 的子空間的基均可擴(kuò)充成 的一組基73 子空間的交與和 .21 V，VV ?假設(shè)? ?? ?212211212121||:??????????????????????使得且定義V，VVVVVVVVV74 子空間的交與和 1 2 1 2:.3 V V V V V??? ? ?， 都是定 的子空間理75 注：交與并的區(qū)別 則若命題 ，LVLV ts ),(),(: 212211 ?????? ?? ??),( 212121 tsLVV ?????? ????76 定理 4（維數(shù)定理） 121 2 1 2 1 2,d i m ( ) d i m d i m d i mV V VV V V V V V?? ? ? ? ?假設(shè) 有77 例 16 .,|,|2121212122的及維數(shù)及求子空間設(shè)VVVVVVFyxxyyxVFyxyyxxVF?????????????????????????????????????78 例 17 12121 1 2 2 1 241 2 1 2( 1 , 2 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ,( 2 , 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 3 , 7 )( , ) , ( , ),.V L V LF V V V V????? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??? ?? ? ???設(shè)。FV?????????????????????????????記是其生成元生成的子空間是由稱集合上的線性空間是設(shè)67 命題： 。，F(xiàn)的過(guò)渡矩陣到基從基求中在)1,2,2(),2,1,2(),2,2,1()2,1,1(),1,2,1(),1,1,2(3213213????????????62 定理 3(坐標(biāo)變換公式 ) , 21 XV n 下的坐標(biāo)是在基設(shè) ???? ??n??? , 21 ?在基 ,Y下的坐標(biāo)是的過(guò)到基而從基 nn ?????? , 2121 ??則,A渡矩陣是,AYX ? 或 XAY1??63 例 11 在基求中在 23 1)(,][ xxxfxF ???222 , , 2 3x x x x x? ??? ? ??? ?下的坐標(biāo)。.1 ??? ??? X。 。 121 2 1 1 2 21212., , , ,.,.ss s sssVk k k k k k? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??????????????? ? ? ????????????? ????????????? ??定義：設(shè) ， ， ， 若 不全為零的數(shù)使得則稱向量組 ， ， ，否線性相關(guān)線則 稱 ， ， 性無(wú)關(guān)，41 一些重要結(jié)論 121 . 2 , , , , 1 .sjsjs? ? ??????? ? ?若 則 線性相關(guān)使 可由其余 個(gè)向量線性表示1 2 1 2122. , , , , , , , , , , , .,.sss? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???????若 線性無(wú)關(guān) 但 線性相關(guān)則 可由 線性表示而且 線性表示的方法是惟一的42 1 2 1 2123 . , , , , , , , , , , .tstts ? ? ? ? ? ?? ? ?????若 可由 線性表示則 線性相關(guān)1 2 1 2121 . , , , , , , , , , , .tst ts? ? ? ? ? ?? ? ???????????? ?推論 若 可由 線性表示且 線性無(wú)關(guān) 則1 2 1 22 . , , , , , , ,.tsst? ? ? ? ? ???????????? ?推論 若 與 等價(jià) 且均線性無(wú)關(guān) 則43 例 2 ?????????????????????????????????????100001000010002221121122 ，E，E，E，EF 中在2322213 243,31,32][.2 xxxxxx，xF ????????? ???中在123 . , , 1 , 1V C F R i??? ? ???? ? ? ? ?124 . , , 1 , 1V C F C i??? ? ?????? ? ? ? ?44 定義（基，維數(shù)） 121212121.2..nnnnVVV? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ??????????若 ， ， ， 滿足條件（） ， ， ， 線性無(wú)關(guān)；（ ） 均可由 ， ， ， 線性表示,則，稱 ， ， 是 的一組 基，, ( ) d i mVVnV ??稱 是 的 記為 或維數(shù) 維 。Vxxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?對(duì) 向量方程 有惟一解記。,.2 ??? ??? 記為的負(fù)元