【正文】 現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表面力（右下圖）。 qVx qVy i j m x y ? ? ? ?? ?dvBDBkvT??][（ 233） （ 1） 體積力勢(shì)能 單位體積中的體積力 如式（ 22）所示。自重屬于體積力范疇 。它適合于各種類型的單元。 ? ???? A TT h dxd yBDBU ?? ]][[][}{21 [k]的力學(xué)意義是單元?jiǎng)偠染仃?。注意到其?hdxdy的實(shí)質(zhì)是任意的微體積 dv，于是得 [k]的一般式。 但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分 ， 這種突變將會(huì)迅速減小 ， 平衡被滿足 。 也就是說(shuō) ， 三角形三節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量 。 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題 ，只要將上式中的 E換成 ， ?換成 即得 。 其中 [S]稱為單元應(yīng)力矩陣 ， 并有： （ 229） ]][[][ BDS ? [D]是 3 3 彈性矩陣 ， [B]是 3 6應(yīng)變矩陣 ，因此 [S]也是3 6 矩陣。 因此 ， 這種單元被稱為常應(yīng)變單元 。 它的分塊形式為： ]][][][[][ mji BBBB ?子矩陣 : ),(0021][ mjibccbABiiiii??????????? （ 226） 由于 與 x、 y無(wú)關(guān) ， 都是常量 ， 因此[B]矩陣也是常量 。 xvyuyvxu???????? ,}]{[}{ ?? B? （ 225） 式中 , [B]—— 單元應(yīng)變矩陣 。 ij ij相鄰單元的位移在公共邊上是連續(xù)的 i j p m 0),(),(1),( ???????? yxNxx xxyxNxx xxyxN mijijijiix xi xj x y N i(xi， yi) j (xj， yj) m (xm， ym) Ni(x、 y) 1 Ni =1 i j m 單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 式 （ 26） 給出了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變和位移之間關(guān)系 。對(duì)于本單元，有 : mmjjiimmjjii NNNyxuNuNuNyxu ???? ?????? ),(),(0),(0),(1),( ??? mmijjiiii yxNyxNyxN（ i、 j、 m） 性質(zhì) 2 在單元中任一點(diǎn)，所有形函數(shù)之和等于 1。了解它的一些基本性質(zhì)是有益的。 [N]為形函數(shù)矩陣 ， 進(jìn)一步寫(xiě)成分塊形式： ]][][][[][ mji NNNN ? （ 221） 其中子矩陣 ),(][00][ mjiINNNN iiii ???????? （ 222） [I]是 2 2的單位矩陣。數(shù)學(xué)上它反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)位移對(duì)單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值，又稱插值函數(shù)。 式（ 217）表明： ai、 bi、 ci～ am、 bm、 cm是單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。 i j m x y （ 2） （ 1） （ 7） 將式 （ 214） 代入式 （ 212） 的第一式 ， 整理后得 ])()()[(21mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu ?????????同理 : ])()()[(21mmmmjjjjiiii ycxbaycxbaycxbaA ???? ?????????（ 216） 式中 : ),( mjijmmji yxyxa ??mji yyb ??mji xxc ???（ 217） i j m 式（ 217）中（ i、 j、 m）意指：按 i、 j、 m依次輪換下標(biāo)，可得到 aj、 bj、 cj～ am、 bm、 cm。 將它們代入式（ 212），有 : )122(654321 ??????? yaxaayaxaau ?iiiiii yaxaayaxaau 654321 ?????? ?jjjjjj yaxaayaxaau 654321 ?????? ?mmmmmm yaxaayaxaau 654321 ?????? ?（ 213） 從式（ 213）左邊 3個(gè)方程中解出待定系數(shù) a a a3為 : mmmjjjiiiyxuyxuyxuAa211 ?mmjjiiyuyuyuAa111212 ?mmjjiiuxuxuxAa111213 ?（ 214） 式中， A為三角形單元的面積，有 : mmjjiiyxyxyxA11121? （ 215） 特別指出： 為使求得面積的值為正值，本單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖所示。 （ 1）形函數(shù)定義 現(xiàn)在，通過(guò)單元位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù) aa … 、 a6 。 以③、④的邊界 26為例 : 2 5 6 ③ 2 6 3 ④ ③ ④ 5 6 2 3 x y u u6 u2 u u6 u2 兩條直線上有兩個(gè)點(diǎn)重合，此兩條直線必全重合。 位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。容易證明，三角形三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元滿足以上必要與充分條件。 條件（ 4）、（ 5）構(gòu)成單元的 完備性準(zhǔn)則 ，條件（ 6）是單元的 協(xié)調(diào)性條件 。 （ 6） 位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù) 。 （ 2） 位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù) 本單元的坐標(biāo)系為： X、 Y； （ 4） 位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。以便用單元位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。 u v 2 6 3 5,x y x yuva a a axy? ? ???? ? ? ? ? ?選取位移函數(shù)應(yīng)考慮的問(wèn)題 （ 1）單元 有幾個(gè)位移函數(shù) 單元中任意一點(diǎn)有幾個(gè)位移分量就有幾個(gè)位移函數(shù)。 式（ 212）位移函數(shù)中， a a4代表剛體位移， a a3 、 a5 、 a6 代表單元中有常應(yīng)變，且位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)分量： ),(][}{ mjiu Tiii ?? ?（ 210） 圖 22 i j m ui uj um vi vj vm x y 位移函數(shù)設(shè)定舉例 一個(gè)三角形單元有 3個(gè)節(jié)點(diǎn)（以 i、 j、 m為 序），共有 6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量。這里，仍以平面問(wèn)題三角形單元（圖 22）為例，說(shuō)明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。這正是有限單元法具有的重要優(yōu)勢(shì)之一。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情。有限元法采用能量原理進(jìn)行單元分析，因而必須事先給出（設(shè)定）位移函數(shù)。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài) (應(yīng)力分量、應(yīng)變分量 )有區(qū)別， 彈性矩陣 [D]的體積和元素是不同的。 式 （ 29） 給出的彈性矩陣 [D]的矩陣元素是按照平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程得出的； 對(duì)于 平面應(yīng)變問(wèn)題 ， 需將式 （ 29） 中的 E 換為 ， ? 換為 。 ??? Txyyx ][}{ ???? ? （ 24） 物理方程矩陣式 ???????????????????????????????????xyyxxyyxE?????????21001112稱對(duì)（ 27） 式中 E、 ?—— 彈性模量、泊松比。 u v 單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列陣 ?f? Tuf ][}{ ?? （ 23） 單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變列陣 ? ?? Txyyx ][}{ ???? ?（ 24） i j m x y qs 必須指出：盡管說(shuō)明、演引中具有明顯的針對(duì)性（平面問(wèn)題三角形單元），但原理、方法和主要矩陣公式都具有普遍性。 本章主要講單元分析的一般理論、方法。有限元思路框圖 解綜合方程 [K]{⊿ }= {P} 求結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移 {⊿ } 計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力 系統(tǒng)分析 (把單元?jiǎng)偠染仃嚰铣山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣 [K] 形成等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載 {P} ) 離散（剖分）結(jié)構(gòu) 為若干單元 單元分析 (建立單元?jiǎng)偠染仃?[k]e 形成單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ) （ 1） 剖分結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)對(duì)單元、節(jié)點(diǎn)分別用連續(xù)正整數(shù)編號(hào)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ z x y ux uy uz ② （ 2） 從結(jié)構(gòu)中取出單元，進(jìn)行 單元分析 ⑦ 5 2 6 2 3 ② 桿件單元 板單元 ? ????????????????????mmjjiivuvuvu? ? ????????????????????????ymxmyjxjyixiFFFFFFF? ??????