【正文】 ② 子程序 見 （ 3）線性分布面力 i j m 圖 211 x y s qs 表面力集度在 i點為 [qsx, qsy]T，而在 j點為 0。然而， 研究單元平衡時沒有引入約束 。 當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)任意角度時，由于公式（ 240）、（ 241）、（ 242）中已經(jīng)包含坐標(biāo)系的影響，它們?nèi)匀徽沼?。有極值條件 0}{ ?? ??? 能量原理和單元平衡方程 }{}{ dT FV ???（ 236） 式（ 238）是從能量原理導(dǎo)出的單元平衡方程。 ? ? ? ?? ?dvBDBkvT??][（ 233） 式（ 233）不僅適合于平面問題三角形單元，也是計算各種類型單元 [k]的一般式 。 ???????????????????????????????????????xvyuyvxuxyyx???? }{（ 26） 單元應(yīng)變矩陣 對位移函數(shù)（式（ 216）） 0 0 010 0 02iix i j mjy i j mji i j j m mxymmub b buc c cAc b c b c bu?????????????? ?????? ?? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ????????（ 224） ])()()[(21mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu ?????????])()()[(21mmmmjjjjiiii ycxbaycxbaycxbaA ???? ?????????（ 216） 求導(dǎo)后代入式（ 26），得到應(yīng)變和節(jié)點位移的關(guān)系式。設(shè)節(jié)點 i、 j、 m的坐標(biāo)分別為（ xi、 yi）、（ xj、 yj ）、（ xm、 ym ），節(jié)點位移分別為（ ui、 vi）、 （ uj、 vj） 、 （ um、 vm）。本單元中有 u和 v，與此相應(yīng)，有 2個位移函數(shù)； （ 3） 位移函數(shù)中待定常數(shù)個數(shù) 待定常數(shù)個數(shù)應(yīng)等于單元位移列陣中的位移分量數(shù)。 21 ??E???1}]{[}{ ?? D? （ 28） 各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式（ 28）描述。 本章主要講單元分析的一般理論、方法。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情。 （ 6） 位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù) 。 式（ 217）表明： ai、 bi、 ci～ am、 bm、 cm是單元三個節(jié)點坐標(biāo)的函數(shù)。 因此 ， 這種單元被稱為常應(yīng)變單元 。自重屬于體積力范疇 。單元剛度矩陣的體積為 nj nj， nj 是單元位移總數(shù)。 ?????????????????????srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbAEhhABDBk21212121)1(4]][[][][2 ???????第三步：形成 [k] 將 [kii]等按式（ 240）組集成 [k] 。 （ 5）單元剛度矩陣是常量矩陣 單元力和單元位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。 對于非線性位移模式的單元 ， 上述這種簡單的載荷移置方法一般是不成立的 ， 而應(yīng)當(dāng)采用公式 （ 235） 進(jìn)行計算 。單元單位體積自重為 ，自重指向 y軸的負(fù)方向。由于對稱性， 每一列元素之和也為零。 （ 242） 平面問題的單元剛度矩陣 [k]e不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動或作 n?角度（ n為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動而改變。 現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表面力（右下圖）。 也就是說 ， 三角形三節(jié)點單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量 。了解它的一些基本性質(zhì)是有益的。 位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。 每個節(jié)點位移在單元平面內(nèi)有兩個分量： ),(][}{ mjiu Tiii ?? ?（ 210） 圖 22 i j m ui uj um vi vj vm x y 位移函數(shù)設(shè)定舉例 一個三角形單元有 3個節(jié)點（以 i、 j、 m為 序），共有 6個節(jié)點位移分量。 u v 單元內(nèi)任意點的位移列陣 ?f? Tuf ][}{ ?? （ 23） 單元內(nèi)任意點的應(yīng)變列陣 ? ?? Txyyx ][}{ ???? ?（ 24） i j m x y 基本力學(xué)量矩陣 圖 21 i j m x y 圖 22是一個三節(jié)點三角形單元 ， 其節(jié)點 i、 j、 m按逆時針方向排列 。 yaxaayaxaau 654321 ?????? ?例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。 下面將會看到，形函數(shù)是有限單元法中的一個重要函數(shù)。 21 ??E???1),()1(221)1(22111)21)(1(2)1(][ mjibccbcbAESiiiiiii???????????????????????????????????????（ 232） 由于同一單元中的 [D]、 [B]矩陣都是常數(shù)矩陣 ， 所以 [S]矩陣也是常數(shù)矩陣 。 u v 注意到式（ 220） ???? ???? A VTTA VTv h d x d yqNh d x d yqNV }{][}{}{})]{([ ??有 }]{[}{ ?Nf ?（ 220） （ 2） 表面力勢能 面積力雖然包括單元之間公共邊上互相作用的分布力 ， 但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力 ， 成對出現(xiàn) ， 集合時互相抵消 ，在結(jié)構(gòu)整體分析時可以不加考慮 ， 因此單元分析時也就不予考慮 。寫成分塊形式，有 ???????????][][][][][][][][][][mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk （ 240） ???????????????2100111][2???稱對ED （ 29） ),(0021][ mjibccbABiiiii??????????? （ 226） 式中子矩陣為 2 2矩陣，有 （ 241） （ 2）平面應(yīng)變?nèi)切螁卧? 對于平面應(yīng)變問題 ， 須將上式中的 E換為 ， 換為 ， 于是有： 21 ??E ????1?????????????????????srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbAEhhABDBk21212121)1(4]][[][][2 ???????),( mjisr ? ，組合見式（ 240） 其中， bi(j,m)、 ci(j,m)是形函數(shù)式（ 216）中的系數(shù)。 所以有 即， [k]的每一行元素之 和為零。 }{}{}{}{ cSVd pFFF ??? （ 244） 把總等價節(jié)點力 ? Fd ?分解成體積力、表面力和集中力的等價節(jié)點力之和，有 ?FV?—— 單元上體積力的等價節(jié)點力 ?FS?—— 單元上表面力的等價節(jié)點力 ?pC?—— 單元上節(jié)點上的集中力 注意到式（ 235），得體積力等價節(jié)點力計算公式： P39 表面力的等價節(jié)點力計算公式： ??? A VTV hd x dyqNF }{][}{（ 245） h d lqNF STlS }{][}{ ??（ 246） 體積力的等價節(jié)點力 表面力的等價節(jié)點力 等價節(jié)點力計算舉例 （ 1）單元自重 圖 29所示平面應(yīng)力三角形單元，單元厚度為 h。 ? ???? ??? l CSTA VTd ph d lqNh d x d yqNF }{}{][}{][ （ 235） 本章小結(jié) ：單元分析的主要任務(wù)是： 一、組集單元剛度矩陣； 二、組集單元等價節(jié)點力矩陣。 等價節(jié)點力 從前面單元分析可以看出：單元平衡所用到的量均屬于節(jié)點的量，如單元位移、單元力。 ???????????][][][][][][][][][][mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk（ 240） （ 243a） ???????????????????????????