【正文】 勢(shì)一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。它與平均指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用，可以達(dá)到對(duì)現(xiàn)象總體的全面認(rèn)識(shí)。 分配數(shù)列補(bǔ)充說(shuō)明平均數(shù) 例 59 第四節(jié) 變易指標(biāo) ? 一、 變異指標(biāo)的概念 ：反映總體各單位標(biāo)志值的差別大小程度的綜合指標(biāo)，又稱為標(biāo)志變動(dòng)度。 (同質(zhì)異量） 組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)。（例：印染廠對(duì)顏色的排列） m i n m i n即 ： 或eeX M X M f? ? ? ???50 ? 四、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的比較 ? （一）算術(shù)平均數(shù)是數(shù)值平均數(shù)； ? （二）算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在而且具有唯一性； ? （三）算術(shù)平均數(shù)只能用于定量數(shù)據(jù)，中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)與定量數(shù)據(jù)，眾數(shù)適用于所有數(shù)據(jù)類型； ? （四）算術(shù)平均數(shù)受極端值的影響，而眾數(shù)、中位數(shù)則不受； ? （五）算術(shù)平均數(shù)可以推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，眾數(shù)、中位數(shù)則不宜； f 如圖： 0MMX e ??0eX M M、(六） 三者的關(guān)系 0即 eX M M?? 總體分布呈對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一 , 0( 1 ) . 如 果 分 布 右 偏 ， 則 eX M M??如圖： f X X0M eM2. 當(dāng) 總體分布呈非對(duì)稱狀態(tài)時(shí)（ P58） 0( 2 ) . 如 果 分 布 左 偏 ， 則 eX M M??如圖： f X X 0MeM所以 0 ( X M ) 0 ( )如 果 ， 則 說(shuō) 明 分 布 右 偏 或 上 偏?0 ( X M ) 0 ( )如 果 ， 則 說(shuō) 明 分 布 左 偏 或 下 偏?0 ( X M ) 0 如 果 ， 則 說(shuō) 明 分 布 對(duì) 稱?000321( 2 )31( 3 )2根 據(jù) 卡 爾 皮 爾 遜 經(jīng) 驗(yàn) 公 式 ， 還 可 以 推 算 出 ：eeeM M XM M XX M M???????所以分布右偏。（同眾數(shù)同） 各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對(duì)值之和為最小值（相對(duì)于中位數(shù)和任一標(biāo)志值而言）。 看哪一組的累積次數(shù)先達(dá)到 ：不論是由低到高還是由高到低，中位數(shù)都在第 3組，即標(biāo)志值 167件為產(chǎn)量中位數(shù)； 某車間工人按產(chǎn)量分組表 累積次數(shù) 按產(chǎn)量分組（件） x 工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 159 2 2 21 162 4 6 19 167 5 11 15 169 6 17 10 171 3 20 4 173 1 21 1 合計(jì) 21 — — 44 ? （ 3）組距式分組資料 ：前兩步驟同上，找到中位數(shù)所在位置 根據(jù)公式(下限或上限 )求出中位數(shù)的近似值。 例：有 5個(gè)同學(xué)的年齡依次為 1 1 1 1 21，則中位數(shù)的項(xiàng)次為（ 5+1） /2=3，則中位數(shù)是第三位上的標(biāo)志值 18歲；如果 5位同學(xué)的年齡分別依次為 1 1 12 24，則中位數(shù)是多少？ 如果有 6個(gè)同學(xué)的年齡依次為 1 1 1 2 23，則中位數(shù)的項(xiàng)次為（ 6+1） /2=，則中位數(shù)是中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即（ 19+20） /2=； 21?nx ( n 為奇數(shù) ) 2122?? nn xx ( n 為偶數(shù) ) ?eM42 ? （ 2）單項(xiàng)式分組資料 ： 累計(jì)次數(shù)（可以向下也可以向上累積，結(jié)果一樣） 確定中位數(shù)位置，當(dāng)某一組的累積頻數(shù)最先達(dá)到總頻數(shù)的一半，即（ ∑f/2)， 找出中位數(shù)：該組所對(duì)應(yīng)的變量值即為中位數(shù)。 ? 確定方法 ：根據(jù)資料的分組情況不同，確定中位數(shù)可分為：未分組資料、單項(xiàng)式分組資料和組距式分組資料三種情況。 40 ? 三、 中位數(shù) ? 含義： 把某種觀察值按大小順序排隊(duì)后，處在該數(shù)列中點(diǎn)位置的觀察值，通常以 Me表示。不受極端值和開(kāi)口組數(shù)列的影響。 35 （ 2）組距式分組資料： 先找出 眾數(shù)所在組 , 然后再用比例插值法推算眾數(shù)的 近似值；計(jì)算公式為： ? 下限公式為： ? 上限公式為： ? 式中： L代表眾數(shù)所在組下限， U代表眾數(shù)所在組上限， d代表組距， 代表眾數(shù)所在組次數(shù)與其下限的鄰組次數(shù)之差， 代表眾數(shù)所在組次數(shù)與其上限的鄰組次數(shù)之差； dLM ???????2110dUM ???????21201?2?G E F D C A B f X f3 f2 f1 d XL XU M0 Δ 1 Δ 2 得到證明。如果分布曲線沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)或最高峰，則該變量無(wú)眾數(shù)；如果分布曲線明顯地存在一個(gè)眾數(shù)，則稱為單峰分布；如果有兩個(gè)不鄰近的數(shù)據(jù)具有相對(duì)較高的頻數(shù)（即使頻數(shù)不相等），則稱為雙峰分布；也有可能出現(xiàn)多峰分布的情形； ? 適用條件 ： n 較多且有明顯集中趨勢(shì)時(shí)適合用眾數(shù)作為總體一般水平。中位數(shù)和眾數(shù)不是根據(jù)全部標(biāo)志值計(jì)算的，而是根據(jù)其在總體中所處的 特殊位置 確定或根據(jù) 部分標(biāo)志值（實(shí)際上也是處于特殊位置的一些標(biāo)志值） 計(jì)算的，因此叫位置平均數(shù)。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95%、 92%、 90%、 85%、 80%，整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的合格率為： %55???????GX29 ? （ 2）加權(quán)幾何平均數(shù)，計(jì)算公式為： ? 式中的 fi代表各個(gè)變量值出現(xiàn)的次數(shù)； ? 例：將一筆錢(qián)存入銀行，存期為 10年，按復(fù)利計(jì)息。最典型的兩種現(xiàn)象是流水作業(yè)線和銀行存款。當(dāng)某些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象存在“總比率等于各個(gè)比率的連乘積”這種關(guān)系時(shí)，需要計(jì)算幾何平均數(shù)。 ? 某公司所屬三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品資料表 工廠 單位成本（元 / 件） x 總成本（萬(wàn)元） m 總產(chǎn)量（萬(wàn)件） m/ x 甲 10 10 1 乙 8 32 4 丙 36 5 合計(jì) ( ) 78 10 平均單位成本 = 總成本 / 總產(chǎn)量 =??mxm1=1078= 23 ? 注意兩點(diǎn) ： ? （ 1） 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例；當(dāng) m1=m2=m3=…=m n=1時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)； ? （ 2）從上例可以看出，調(diào)和平均數(shù)仍然是以總體標(biāo)志總量除以總體單位總數(shù)計(jì)算的，在經(jīng)濟(jì)內(nèi)容和計(jì)算結(jié)果上與算術(shù)平均數(shù)一致，只是由于計(jì)算時(shí)依據(jù)的資料不同，而在計(jì)算公式和計(jì)算過(guò)程方面有別于算術(shù)平均數(shù)；如當(dāng) m=xf時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)； ?????? ???fxfxfxxfmxmx h1124 ? 例： 某公司員工工資情況如下表，請(qǐng)分別計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)； 月工資 x （元） 工資總額 m （元） 員工人數(shù) f = m/ x （人） 800 48000 60 1000 70000 70 1600 32021 20 合計(jì) 150000 150 首先計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，按照公式： 10 0015 015 00 0016 0032 00 010 0070 00 080 048 00 032 00 070 00 048 00 0332211321????????????xmxmxmmmmx h 再計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，按照公式： 10001501 5 0 0 0 020706020*160070*100060*800321332211????????????ffffxfxfxx 25 ? 調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn) ? 如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于 0，則無(wú)法計(jì)算； ? 調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)比較： 方法和資料不同，調(diào)和平均數(shù)一般是分子項(xiàng)已知，分母項(xiàng)未知；算術(shù)平均數(shù)一般是分母項(xiàng)已知，分子項(xiàng)未知。那么那種價(jià)格更具有代表性呢？在銷售量不同的情況下，應(yīng)考慮銷售量這個(gè)因素對(duì)平均價(jià)格的影響，因此第二種價(jià)格更具有代表性； 20 ? 再看一個(gè)例子： 某市場(chǎng)上三種不同蔬菜的價(jià)格分別是 /斤， /斤， /斤，如果每種蔬菜各買(mǎi)一元錢(qián)的，則平均價(jià)格是多少？ ? 即各買(mǎi)一元錢(qián)的蔬菜的平均價(jià)格為 ； ? 注意： 從這個(gè)例子我們可以體會(huì)調(diào)和平均數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。 ? 計(jì)算方法 ：分為 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和 加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 。0)()(2)(])[()]([)(???????????????????????????xxxxncncxxncxxcxxcxxcxxxx 17 二、調(diào)和平均數(shù)（ harmonic mean) ? 含義 ： 是算術(shù)平均數(shù)的變形。 ??????????fxfffffxfxfxxnnn. . . . . .. . . . . .212211 ? ?? ffxx ? ff12 ? 例： 權(quán)數(shù)是絕對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 各組貸款額（萬(wàn)元） xf 10 以下 ？？？？ 20 ？？？？ 10 20 15 10 150 20 30 25 22 550 30 40 35 34 1 190 40 以上 ？？？？ 14 ？？？？ 合計(jì) — 或 …… 100 2620 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款額為： 1002620?????fxfx 13 ? 例： 權(quán)數(shù)是相對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 比重（ % ） ? ff ? ffx （萬(wàn)元） 10 以下 5 20 20 10 20 15 10 10 0 20 30 25 22 22 0 30 40 35 34 34 1 0 40 以上 45 14 14 0 合計(jì) — 100 100 26 .20 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款 額為： ?? ?? f