【正文】 ～ 1 400 20 1 400 ～ 1 500 10 合 計(jì) 2 400 第六節(jié) 應(yīng)用平均指標(biāo)需要 注意的問題 一、注意社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性 二、注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù) 三、注意用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù) 第七節(jié) 標(biāo)志變異指標(biāo) 一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用 （一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念 標(biāo)志變異指標(biāo)是指反映總體中各單位志值差異程度的綜合指標(biāo)，又稱標(biāo)志變動(dòng)。 2?f230 一般用以下兩個(gè)公式估算中位數(shù)值： 下限公式： 上限公式： ifsfLMmme??????12ifsfUMmme??????12 式中， Me —— 中位數(shù)； L —— 中位數(shù)所在組的下限； U —— 中位數(shù)所在組的上限； Sm1—— 中位數(shù)所在組下一組的向上 累計(jì)次數(shù)； Sm+1—— 中位數(shù)所在組上一組的向下 累計(jì)次數(shù)； fm —— 中位數(shù)所在的次數(shù)； i —— 中位數(shù)所在組的組距； ∑f —— 總次數(shù)。 第二步，結(jié)合向上 (向下 )累計(jì)次數(shù)確定了中位數(shù)所在的組。 表 57 按餐飲收入分組 (萬元 ) 城市數(shù) (個(gè) ) 累計(jì)城市數(shù) (個(gè) ) 向上累計(jì) 向下累計(jì) 5 000以下 5 000～ 15 000 15 000～ 25 000 25 000～ 35 000 35 000以上 4 9 8 5 4 4 13 21 26 30 30 26 17 9 4 合計(jì) 30 — — 確定中位數(shù)的基本步驟如下： 第一步，確定中位數(shù)所在的組。上表中的17和 21符合這一要求，它們對(duì)應(yīng)的都是第三組，即800元 /人就是中位數(shù)。 2=15，即中位數(shù)在第 15人位置上。 【 例 57】 某學(xué)院 2021～ 2021學(xué)年共有30名同學(xué)獲得獎(jiǎng)學(xué)金，其分布情況見表 56。此時(shí)中位數(shù)的位置為第 [(8+1)/2]，則中位數(shù)為 19件 [(18+20)/2]，即第 4位和第 5位所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)。 如果標(biāo)志值的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置左右兩邊的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，就是中位數(shù)。 21?n 例如：某班組有 7名工人，日生產(chǎn)零件數(shù)分別為16， 17， 18， 20， 21， 22， 23件，則中位數(shù)所在位置為第 4位 [(7+1)/2]，第 4位所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值，即 20件就是中位數(shù)，它代表了這 7名工人日生產(chǎn)零件數(shù)的一般水平。 ①將標(biāo)志值按大小排序 ②確定中位數(shù)所在的位置 與中位數(shù)所在位置相對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。由于它的位置居中，其數(shù)值不受極端數(shù)值的影響，也能表明總體各單位標(biāo)志值的一般水平。 第三，在一個(gè)次數(shù)分布中有幾個(gè)眾數(shù)，稱為多眾數(shù)；有兩個(gè)眾數(shù)，稱為雙重眾數(shù)，說明總體內(nèi)存在不同性質(zhì)的事物。 根據(jù)表中的資料，將有關(guān)數(shù)字代入下限公式，得到眾數(shù)的近似值： 0MUL1?2?i1202140014005000?????M 眾數(shù)具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： 第一，由于眾數(shù)是根據(jù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)確定的，不需要通過全部變量值來計(jì)算，因此它不受極端值的影響。因此， 500～ 600元這一人均月收入組就是眾數(shù)組，它反映了人均收入的一般水平。 【 例 56】 2021年某地區(qū)職工家庭人均月收入資料見表 55。 (2)根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù) 根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù)，需采用插補(bǔ)法。 （二）眾數(shù)的確定 確定眾數(shù)，首先要將數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分組，編制變量數(shù)列；然后，根據(jù)變量數(shù)列的不同種類采用不同的方法。 車間制品平均合格率 ＝ ＝ ＝ % Gx4 %97%95%93%96 ???n x?第五節(jié) 眾數(shù)和中位數(shù) 一、眾數(shù) （一）眾數(shù)的概念 眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。 分析：由于全廠產(chǎn)品的總合格率并不等于各車間制品的合格率總和，后續(xù)車間的合格率是在前一車間制品全部合格的基礎(chǔ)上計(jì)算的。 【 例 55】 某機(jī)械廠生產(chǎn)機(jī)器 ,設(shè)有毛坯、粗加工、精加工、裝配四個(gè)連續(xù)作業(yè)的車間，各車間某批產(chǎn)品的合格率分別為 96%， 93%， 95%， 97%。 二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 由于掌握資料差異，幾何平均數(shù)也分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)。如果在變量值中有一項(xiàng)為 0，則無法求其確定的調(diào)和平均數(shù)。這是因?yàn)檎{(diào)和平均數(shù)中變量值采用的是倒數(shù)，小數(shù)字的倒數(shù)值大于大數(shù)字的倒數(shù)值。當(dāng)資料不完整時(shí)，無法計(jì)算。當(dāng)已知各組標(biāo)志值之和 xf 和各組標(biāo)志值（或組中值） x，而不知道各組的次數(shù) f時(shí)，設(shè) m＝ xf，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式可做如下變形： ＝ ＝ ＝ x??fxf ??xmmHx 練習(xí)：某車間資料如表 55所示，計(jì)算平均日產(chǎn)量。其計(jì)算公式為： = = nnnxmxmxmxmmmmm??????????332211321??xmmHx式中： m —— 總體各組標(biāo)志總量； x —— 總體各組標(biāo)志值； —— 總體標(biāo)志總量。 = = = =(元 ) 1401116110013?? 025 3?xn1Hx三、加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是各個(gè)標(biāo)志值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 其計(jì)算公式為： = = 式中： —— 調(diào)和平均數(shù)； x —— 各變量值 (即標(biāo)志值 )； n —— 變量值的個(gè)數(shù)。 二、簡單調(diào)和平均數(shù) 簡單調(diào)和平均數(shù)是各個(gè)標(biāo)志值倒數(shù)的簡單算術(shù)平均的倒數(shù)。 (1)早、中、晚各買一公斤蔬菜，則平均價(jià)格為： ＝ ＝ ＝ （元 /公斤） xnx? 3 ?? （ 2）如果早、午、晚各買一元錢的蔬菜，則一天中所買蔬菜平均價(jià)格是用一天中所買蔬菜所花的金額 3元錢除以該種數(shù)量 ,即（ )公斤，因此 ＝ ＝