【正文】 代表眾數(shù)所在組次數(shù)與其下限的鄰組次數(shù)之差， 代表眾數(shù)所在組次數(shù)與其上限的鄰組次數(shù)之差； dLM ???????2110dUM ???????21201?2?G E F D C A B f X f3 f2 f1 d XL XU M0 Δ 1 Δ 2 得到證明。 40 ? 三、 中位數(shù) ? 含義： 把某種觀察值按大小順序排隊(duì)后，處在該數(shù)列中點(diǎn)位置的觀察值，通常以 Me表示。 例：有 5個(gè)同學(xué)的年齡依次為 1 1 1 1 21，則中位數(shù)的項(xiàng)次為（ 5+1） /2=3，則中位數(shù)是第三位上的標(biāo)志值 18歲；如果 5位同學(xué)的年齡分別依次為 1 1 12 24，則中位數(shù)是多少？ 如果有 6個(gè)同學(xué)的年齡依次為 1 1 1 2 23，則中位數(shù)的項(xiàng)次為（ 6+1） /2=，則中位數(shù)是中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即（ 19+20） /2=； 21?nx ( n 為奇數(shù) ) 2122?? nn xx ( n 為偶數(shù) ) ?eM42 ? （ 2）單項(xiàng)式分組資料 ： 累計(jì)次數(shù)（可以向下也可以向上累積，結(jié)果一樣） 確定中位數(shù)位置，當(dāng)某一組的累積頻數(shù)最先達(dá)到總頻數(shù)的一半，即（ ∑f/2)， 找出中位數(shù)：該組所對(duì)應(yīng)的變量值即為中位數(shù)。（同眾數(shù)同） 各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對(duì)值之和為最小值（相對(duì)于中位數(shù)和任一標(biāo)志值而言）。 (同質(zhì)異量） 組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)。它與平均指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用，可以達(dá)到對(duì)現(xiàn)象總體的全面認(rèn)識(shí)。 例 61 ? 四、種類： 極差、四分位差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)； 全 距 R 四分位差 . 平 均 差 . 標(biāo) 準(zhǔn) 差 .(σ) 離散系數(shù) Vσ 62 ? 五、極差 ? 含義： 極差（ R） 又稱全距，是總體單位各標(biāo)志值中最大值與最小值之差。 對(duì)于開(kāi)口組，無(wú)法計(jì)算全距。 例 ① 四 分位差不受兩端各 25%數(shù)值的影響，能對(duì)開(kāi)口組數(shù)列的差異程度進(jìn)行測(cè)定； ② 用 四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；該數(shù)值越大，表明 Q1Q2之間變量值分布越遠(yuǎn)離它們的重點(diǎn) Q2， 即遠(yuǎn)離中位數(shù)，則說(shuō)明中位數(shù)的代表性越差；該數(shù)值越小，則說(shuō)明中位數(shù)的代表性越好； ③ 四 分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個(gè)比較粗略的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差 （ σ ） 是方差 的平方根，故又稱 均方差 。 84 ? B、 成數(shù)： 在總體中，是非標(biāo)志只具有兩種表現(xiàn)，把具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比重稱為 成數(shù) 。 ? 練習(xí)：某公司進(jìn)口一批彩電共 1000臺(tái)，其中合格品 980臺(tái)，不合格 20臺(tái)，合格品占全部產(chǎn)品的 98%，不合格產(chǎn)品占全部產(chǎn)品的 2%。 ? 作用：變異系數(shù)消除了計(jì)量單位不同與平均水平高低的影響，具有廣泛的可比性，其數(shù)值的大小與平均數(shù)的代表性成反比。 試計(jì)算偏態(tài)系數(shù) 1997年 農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù) 按純收入分組（元） 戶數(shù)比重（ %） 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2021 2021~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 103 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計(jì)算表 按純收入分組 （百元） 組中值 Xi 戶數(shù)比重 (%) Fi (Xi X ) Fi3 (Xi X ) Fi4 5以下 5— 10 10— 15 15— 20 20— 25 25— 30 30— 35 35— 40 40— 45 45— 50 50以上 合計(jì) — 100 104 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算得 將計(jì)算結(jié)果代入公式得 結(jié)論： 偏態(tài)系數(shù)為正值，而且數(shù)值較大，說(shuō)明農(nóng)村居民家庭純收入的分布為右偏分布，即收入較少的家庭占據(jù)多數(shù)，而收入較高的家庭則占少數(shù)，而且偏斜的程度較大 ? ? ? ?? ? 311133133 ??????????? iiiKiii FXNFXX??（百元）4 2 11????????? KiiiKiiFFXX （百元）0 8 11????????? KiiiKiiFFX?105 二、 峰度及其測(cè)度指標(biāo) （一）概念要點(diǎn) 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測(cè)度；如果峰度系數(shù) =3，則 扁平程度適中；偏態(tài)系數(shù) 3為扁平分布 ；偏態(tài)系數(shù) 3為尖峰分布 （二）計(jì)算公式 ? ?4144??NFXXKiii????106 二、 峰度及其測(cè)度指標(biāo) 代入公式得 【 例 】 根據(jù)表中的計(jì)算結(jié)果 ， 計(jì)算農(nóng)村居民家庭純收入分布的峰度系數(shù) 。 92 ? 種類：全距系數(shù)、平均差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，其中，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是最常用的變異系數(shù)； ? 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算： ? 總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)計(jì)算公式為： %100??xV ??93 ? 練習(xí) 1：某地區(qū)連續(xù) 100天的交通事故次數(shù)統(tǒng)計(jì)資料如下表，計(jì)算該地區(qū)日交通事故的極差、標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)； 交通事故次數(shù)統(tǒng)計(jì)表 日交通事故次數(shù)（次） 0 1 2 3 4 合計(jì) 天數(shù)（天） 10 14 26 30 20 100 94 ? 解： 日交通事故次數(shù)（次） x 天數(shù)（天） f xf ?xx 2)( xx ? fxx2)( ? 0 10 0 1 14 14 2 26 52 3 30 90 1 4 20 80 合計(jì) 100 236 — — 151 .08 1 0 02 3 6?????fxfx（次） 10 0 1)(2??????ffxx? （次） ???xV? 95 ? 練習(xí) 2：某工廠對(duì)某日生產(chǎn)的 100袋奶粉進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如下表。 一般我們將所研究、關(guān)注的標(biāo)志的標(biāo)志表現(xiàn)賦值為 1（這點(diǎn)將在計(jì)算成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)應(yīng)用）； 是非標(biāo)志平均數(shù)計(jì)算表 是非標(biāo)志 標(biāo)志值 單位數(shù) 成數(shù) 是（合格） 1 980 （ N 1 ） 98% （ P ） 非（不合格） 0 20 （ N 0 ） 2% （ Q ） 合計(jì) — 1000 （ N ） 1 根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式來(lái)計(jì)算其平均數(shù)： 1 0 0 02021 8 01010101?????????????NNNNfxfx 87 ? D、 成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差：其計(jì)算根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式： ? 注意 ： 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為具有被研究的標(biāo)志表現(xiàn)的成數(shù) P與不具有該標(biāo)志表現(xiàn)的成數(shù)（ 1P） 乘積的平方根；在上面公式的推導(dǎo)中，平均數(shù)取的是 P， 而在上例中 Q是不合格產(chǎn)品的平均數(shù)，也是平均數(shù)之一，如果平均數(shù)取 Q， 請(qǐng)大家試著計(jì)算？ ? 例：對(duì)前面那個(gè)例子，其是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為 ?? ??ffxx2)(?010212)0()1(NNNPNP????? = QPPPNNPNNP220212)1()1( ????? = PQPPPPPPPPPP ?????????? )1()1)(1()1()1(22 )1( ????? PP?88 ? 方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì) ? （ 1）常數(shù)的方差等于 0； ? （ 2）變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。在這里， 98%、 2%都是成數(shù)，98%+2%=1； 85 ? C、 成數(shù)的平均數(shù) ? 是非標(biāo)志表現(xiàn)了現(xiàn)象質(zhì)的區(qū)別，因此計(jì)算平均數(shù)首先要把 是非標(biāo)志的兩種標(biāo)志表現(xiàn)進(jìn)行量化處理 。 計(jì)算公式為： ???? ????ffxxffxx 222 )( )(??82 ? 例： 連鎖店商品銷售額標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表 按銷售額分組（千美元） 頻數(shù)（個(gè)） f 組中值 x xf xx ? 2)( xx ? fxx2)( ? 80 100 20 90 1800 123 15129 302580 100 150 50 125 6250 88 7744 387200 150 200 120 175 21000 38 1444 173280 200 250 180 225 63000 12 144 40320 250 以上 130 275 35750 62 3844 499720 合計(jì) 600 — 127800 — — 1403100 2 1 36 0 01 2 7 8 0 0?????fxfx（千美元） 6 001 40 3 1 00)(2??????ffxx? （千美元） 83 ? 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差 ? A、 什么是 是非標(biāo)志 ：在對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)，常把其全部單位劃分為具有某種屬性和不具有某種屬性的兩組，例如，將學(xué)生按性別劃分為“男”、“女”，將產(chǎn)品劃分為“合格”、“不合格”兩組，由于這些反映單位屬性或性質(zhì)的標(biāo)志不是數(shù)量標(biāo)志，而是質(zhì)量標(biāo)志，且只有“是”與“非”兩種表現(xiàn)，所以稱之為“ 是非標(biāo)志 ”，有時(shí)也稱為“ 交替標(biāo)志 ”。平均差是各標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的平均距離，其數(shù)值越大，說(shuō)明標(biāo)志值的差異程度越大，各標(biāo)志值的分布也越分散； ? 請(qǐng)大家根據(jù)定義來(lái)計(jì)算下列一組數(shù)據(jù)的平均差： 5， 7， 8， 10， 20； ??? 75 ? 計(jì)算： （ 1）未分組資料： 采用簡(jiǎn)單平均差方法，計(jì)算公式為： 以上面所給數(shù)據(jù) 5， 7， 8，