【正文】 16 16 160 ? 15— 25 35 20 6 6 210 ? 25— 35 40 30 4 4 160 ? 35— 45 15 40 14 14 210 ? 合計(jì) 100 — — — 740 ? —————————————————————————————————— ? 平均數(shù) A=∑xf/∑f=2600/100=26(件） ? 平均差 =740/100=（ 件） 79 ? 八、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? （ 1） 含義： 方差（ ） 是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù)。 一般以 1表示具有某種標(biāo)志表現(xiàn)，以 0表示另外相對(duì)的那種標(biāo)志表現(xiàn) ，然后再根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。按照該工廠(chǎng)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，每袋奶粉的重量不足 99克為不合格產(chǎn)品，請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算 ： ? （ 1）計(jì)算奶粉的平均重量，并計(jì)算重量極差、及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；（ 2）計(jì)算奶粉的不合格品率及不合格品率的標(biāo)準(zhǔn)差； 奶粉重量檢測(cè)結(jié)果 實(shí)測(cè)重量（克） 98 99 99 100 100 101 101 102 合計(jì) 數(shù)量（袋） 10 20 50 20 100 96 ? 解： 按重量分組 組中值（克） x 頻數(shù)（袋）f xf xx ? 2)( xx ? fxx2)( ? 98 99 10 985 324 99 100 20 1990 100 101 100 .5 50 5025 2 101 102 101 .5 20 2030 合計(jì) — 100 10030 — — 76 10076)(10010 0302???????????ffxxfxfx? 0 0 8 6 0 0???xV? P = 10% * ??? PQ? 97 ? 練習(xí) 1：某機(jī)械廠(chǎng)鑄造車(chē)間生產(chǎn) 900噸鑄件，合格品 810噸，試求平均合格率、標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)； 98 第五節(jié) 分布偏態(tài)與峰度的測(cè)度指標(biāo) 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 二、峰度及其測(cè)度指標(biāo) 99 偏態(tài)與峰度分布的形狀 扁平分布 尖峰分布 偏態(tài) 峰度 左偏分布 右偏分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！ 100 戶(hù)數(shù)比重 (%) 25 20 15 10 5 農(nóng)村居民家庭村收入數(shù)據(jù)的直方圖 偏態(tài)與峰度 (從直方圖上觀察 ) 按純收入分組 (元 ) 1000 500 ← 1500 2021 2500 3000 3500 4000 4500 5000 → 結(jié)論 ： 1. 為右偏分布 2. 峰度適中 101 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) （一）偏態(tài) 概念要點(diǎn) （ 1）數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度 （ 2）偏態(tài)系數(shù) =0為對(duì)稱(chēng)分布 （ 3）偏態(tài)系數(shù) 0為右偏分布 （ 4）偏態(tài)系數(shù) 0為左偏分布 計(jì)算公式 ? ?3133??NFXXKiii????102 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 【 例 】 已知 1997年我國(guó)農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表 。設(shè) a、 b為常數(shù)， y=a+bx， 則有 ? （ 3）分組條件下，總體方差等于組間方差與各組組內(nèi)方差的平均數(shù)之和； 222xy b ?? ?89 標(biāo)準(zhǔn)化值 也稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，給出某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中的相對(duì)位置，可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)；計(jì)算公式為 ?XXZ ii??① σ 與 R的關(guān)系 ② σ 與 經(jīng) 驗(yàn)表明，當(dāng)分布數(shù)列接近于正態(tài)分布時(shí)， R和 σ 之間 存在以下經(jīng)驗(yàn)公式： R為 4至 6個(gè) σ : 當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較少時(shí)， R≈4 σ 當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較多時(shí)， R≈6 σ 對(duì) 同一資料，所求的平均差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小， 即 .≤ σ 標(biāo) 準(zhǔn)差與全距、平均差的關(guān)系 91 ? 九、離散系數(shù)（變異系數(shù)） ? 含義 ：是指用變異指標(biāo)與其相應(yīng)的平均指標(biāo)對(duì)比，反映總體各單位標(biāo)志值之間離散程度的相對(duì)指標(biāo)，一般用 V表示。在進(jìn)行抽樣推斷時(shí)，是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差有著重要的意義。且他們之間最大差異為歲之間，至人的年齡集中在這表明，該小組有一半歲歲則的位置歲則的位置，為：歲人年齡某外語(yǔ)補(bǔ)習(xí)小組92819)9(1928Q .D . )28(Q ,64)17(3Q )19(Q ,2417Q 34 28 25 24 22 19 17)(7133311?????????????例 69 ? 當(dāng) n+1不能被 4整除時(shí)的處理方法： ? 如一列數(shù)： 1， 1， 2， 7， 9， 11， 16， 21； ? Q1的位置 =（ 8+1） /4=； ? 這時(shí) Q1的計(jì)算方法為：整數(shù)部分即第 2的數(shù) 1+第 3個(gè)數(shù)與第 2個(gè)數(shù)的差的 ， Q1為 ；同理計(jì)算 Q3； ② 根 據(jù)分組資料求 . 13f 3f1 ) Q , Q44的 位 置 的 位 置 ????2) 若單項(xiàng)數(shù)列，則 Q1與 Q3所在組的標(biāo)志值就是 Q1與 Q3的數(shù)值； 若組距數(shù)列，確定了 Q1與 Q3所在組后，還要用以下公式求近似值： 13111 1 1 3 3 313344 ffSSQ L d Q L dff????? ? ? ? ? ???131 3 1 31 3 1 31 3 1 3Q 1 Q 1 1 3 f f d d S S f式 中 ： 、 分 別 為 與 所 在 組 的 下 限、 分 別 為 與 所 在 組 的 次 數(shù)、 分 別 為 與 所 在 組 的 組 距、 分 別 為 與 所 在 組 的 以 下 一 組 的 累 計(jì) 次 數(shù)為 總 次 數(shù)L L Q Q?根據(jù)某車(chē)間工人日產(chǎn)零件分組資料，求 . 按日產(chǎn)零件分組 (件 ) 工人數(shù) (人 ) 累計(jì)工人數(shù) (人 )(較小制 ) 510 12 12 1015 46 58 1520 36 94 2025 6 100 合 計(jì) 100 ..)(36584100315Q )(4612410010 ,7541003 ,254100 13313311???????????????????????D件件在第三組則的位置在第二組則的位置這表明有一半工人的日產(chǎn)量分布在 ，且相差 。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。元 )(900)10 002700(31)2(3100MMXXMMee?????????一組工人的月收入眾數(shù)為 700元，月收入的算術(shù)平均數(shù) 為 1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是： 例 均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體。 41 ? （ 1）未分組資料 ：排序 確定位置（ n +1)/2 （ 其中 n為標(biāo)志值的個(gè)數(shù)或總體單位數(shù)） ? 若 n為奇數(shù)項(xiàng)，則居中點(diǎn)位置的數(shù)值即為中位數(shù)； 若 n為偶數(shù)項(xiàng)，則居中的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。 ? 確定方法： （ 1）對(duì)于原始數(shù)據(jù)或單項(xiàng)式分組資料： 可以 直接觀察 ，即出現(xiàn) 次數(shù)最多 的數(shù)值； 34 ? 例： 某商場(chǎng)某季度男皮鞋銷(xiāo)售情況 男皮鞋號(hào)碼（厘米） 銷(xiāo)售量（雙） 12 84 1 18 541 320 104 52 合計(jì) 1231 從上表可以看出： 厘米的鞋號(hào)銷(xiāo)售量最多，即為眾數(shù)。 ? 凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象都適用于計(jì)算幾何平均數(shù)。是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱(chēng) 倒數(shù)平均數(shù) ，通常用 表示。 ??? ??fxfx ? ?? ffxx ? ff8 ? 注意 ：權(quán)數(shù)為絕對(duì)數(shù)或相對(duì)數(shù)，計(jì)算結(jié)果是一致的；仍以上例為例： 某生產(chǎn)班組按日產(chǎn)量分組表 按日產(chǎn)量分組（件） x 工人人數(shù)（人） f 比重（ % ）? ff ? ffx （件） 17 1 10 18 2 20 19 4 40 20 3 30 合計(jì) 10 100 9 ? ②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：與單項(xiàng)數(shù)列條件下計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的方法相同，只需要以各組的實(shí)際平均數(shù)乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)即可；但是，在編制組距數(shù)列時(shí)，由于原始數(shù)據(jù)量很大或原始數(shù)據(jù)根本沒(méi)有給出來(lái)等原因，無(wú)法計(jì)算實(shí)際的組平均數(shù)， 此時(shí)，只能用 組中值 來(lái)代替。 如：某企業(yè)的工人的平均工資可以代表這個(gè)企業(yè)工人工資收入的一般水平；全國(guó)糧食平均畝產(chǎn)量可以代表我國(guó)糧食生產(chǎn)的一般水平； 3 ? 二、特點(diǎn) ? 平均指標(biāo)把總體各單位數(shù)量標(biāo)志值之間的差異抽象化了。 ??????????fxfffffxfxfxxnnn. . . . . .. . . . . .212211 ? ?? ffxx ? ff12 ? 例： 權(quán)數(shù)是絕對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款