【正文】 16 16 160 ? 15— 25 35 20 6 6 210 ? 25— 35 40 30 4 4 160 ? 35— 45 15 40 14 14 210 ? 合計 100 — — — 740 ? —————————————————————————————————— ? 平均數 A=∑xf/∑f=2600/100=26(件） ? 平均差 =740/100=（ 件） 79 ? 八、方差與標準差 ? 方差與標準差 ? （ 1） 含義： 方差（ ） 是總體各單位標志值與其算術平均數離差的平方的算術平均數。 一般以 1表示具有某種標志表現，以 0表示另外相對的那種標志表現 ，然后再根據平均數計算公式進行計算。按照該工廠的質量標準，每袋奶粉的重量不足 99克為不合格產品，請根據所給數據計算 ： ? （ 1）計算奶粉的平均重量，并計算重量極差、及標準差系數；（ 2）計算奶粉的不合格品率及不合格品率的標準差； 奶粉重量檢測結果 實測重量（克） 98 99 99 100 100 101 101 102 合計 數量（袋） 10 20 50 20 100 96 ? 解： 按重量分組 組中值（克） x 頻數（袋）f xf xx ? 2)( xx ? fxx2)( ? 98 99 10 985 324 99 100 20 1990 100 101 100 .5 50 5025 2 101 102 101 .5 20 2030 合計 — 100 10030 — — 76 10076)(10010 0302???????????ffxxfxfx? 0 0 8 6 0 0???xV? P = 10% * ??? PQ? 97 ? 練習 1：某機械廠鑄造車間生產 900噸鑄件，合格品 810噸，試求平均合格率、標準差及標準差系數； 98 第五節(jié) 分布偏態(tài)與峰度的測度指標 一、偏態(tài)及其測度指標 二、峰度及其測度指標 99 偏態(tài)與峰度分布的形狀 扁平分布 尖峰分布 偏態(tài) 峰度 左偏分布 右偏分布 與標準正態(tài)分布比較！ 100 戶數比重 (%) 25 20 15 10 5 農村居民家庭村收入數據的直方圖 偏態(tài)與峰度 (從直方圖上觀察 ) 按純收入分組 (元 ) 1000 500 ← 1500 2021 2500 3000 3500 4000 4500 5000 → 結論 ： 1. 為右偏分布 2. 峰度適中 101 一、偏態(tài)及其測度指標 （一）偏態(tài) 概念要點 （ 1）數據分布偏斜程度的測度 （ 2）偏態(tài)系數 =0為對稱分布 （ 3）偏態(tài)系數 0為右偏分布 （ 4）偏態(tài)系數 0為左偏分布 計算公式 ? ?3133??NFXXKiii????102 一、偏態(tài)及其測度指標 【 例 】 已知 1997年我國農村居民家庭按純收入分組的有關數據如表 。設 a、 b為常數， y=a+bx， 則有 ? （ 3）分組條件下，總體方差等于組間方差與各組組內方差的平均數之和； 222xy b ?? ?89 標準化值 也稱標準分數，給出某一個值在一組數據中的相對位置，可用于判斷一組數據是否有離群點；計算公式為 ?XXZ ii??① σ 與 R的關系 ② σ 與 經 驗表明，當分布數列接近于正態(tài)分布時， R和 σ 之間 存在以下經驗公式： R為 4至 6個 σ : 當標志值項數較少時， R≈4 σ 當標志值項數較多時， R≈6 σ 對 同一資料，所求的平均差一般比標準差要小， 即 .≤ σ 標 準差與全距、平均差的關系 91 ? 九、離散系數（變異系數） ? 含義 ：是指用變異指標與其相應的平均指標對比，反映總體各單位標志值之間離散程度的相對指標，一般用 V表示。在進行抽樣推斷時，是非標志的標準差有著重要的意義。且他們之間最大差異為歲之間，至人的年齡集中在這表明，該小組有一半歲歲則的位置歲則的位置，為：歲人年齡某外語補習小組92819)9(1928Q .D . )28(Q ,64)17(3Q )19(Q ,2417Q 34 28 25 24 22 19 17)(7133311?????????????例 69 ? 當 n+1不能被 4整除時的處理方法： ? 如一列數： 1， 1， 2， 7， 9， 11， 16， 21； ? Q1的位置 =（ 8+1） /4=； ? 這時 Q1的計算方法為：整數部分即第 2的數 1+第 3個數與第 2個數的差的 ， Q1為 ；同理計算 Q3； ② 根 據分組資料求 . 13f 3f1 ) Q , Q44的 位 置 的 位 置 ????2) 若單項數列，則 Q1與 Q3所在組的標志值就是 Q1與 Q3的數值； 若組距數列，確定了 Q1與 Q3所在組后，還要用以下公式求近似值： 13111 1 1 3 3 313344 ffSSQ L d Q L dff????? ? ? ? ? ???131 3 1 31 3 1 31 3 1 3Q 1 Q 1 1 3 f f d d S S f式 中 ： 、 分 別 為 與 所 在 組 的 下 限、 分 別 為 與 所 在 組 的 次 數、 分 別 為 與 所 在 組 的 組 距、 分 別 為 與 所 在 組 的 以 下 一 組 的 累 計 次 數為 總 次 數L L Q Q?根據某車間工人日產零件分組資料，求 . 按日產零件分組 (件 ) 工人數 (人 ) 累計工人數 (人 )(較小制 ) 510 12 12 1015 46 58 1520 36 94 2025 6 100 合 計 100 ..)(36584100315Q )(4612410010 ,7541003 ,254100 13313311???????????????????????D件件在第三組則的位置在第二組則的位置這表明有一半工人的日產量分布在 ，且相差 。乙組數據的離散程度大，數據分布越分散，平均數的代表性就越差；甲組數據的離散程度小，數據分布越集中，平均數的代表性越大。元 )(900)10 002700(31)2(3100MMXXMMee?????????一組工人的月收入眾數為 700元，月收入的算術平均數 為 1000元，則月收入的中位數近似值是： 例 均指標只能適用于同質總體。 41 ? （ 1）未分組資料 ：排序 確定位置（ n +1)/2 （ 其中 n為標志值的個數或總體單位數） ? 若 n為奇數項，則居中點位置的數值即為中位數； 若 n為偶數項，則居中的兩個數值的平均數為中位數。 ? 確定方法： （ 1）對于原始數據或單項式分組資料： 可以 直接觀察 ，即出現 次數最多 的數值； 34 ? 例： 某商場某季度男皮鞋銷售情況 男皮鞋號碼（厘米） 銷售量（雙） 12 84 1 18 541 320 104 52 合計 1231 從上表可以看出： 厘米的鞋號銷售量最多，即為眾數。 ? 凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現象都適用于計算幾何平均數。是根據變量值的倒數計算的算術平均數的倒數，故又稱 倒數平均數 ，通常用 表示。 ??? ??fxfx ? ?? ffxx ? ff8 ? 注意 ：權數為絕對數或相對數，計算結果是一致的；仍以上例為例： 某生產班組按日產量分組表 按日產量分組（件） x 工人人數（人） f 比重（ % ）? ff ? ffx （件） 17 1 10 18 2 20 19 4 40 20 3 30 合計 10 100 9 ? ②根據組距數列計算加權算術平均數：與單項數列條件下計算加權平均數的方法相同，只需要以各組的實際平均數乘以相應的權數即可；但是，在編制組距數列時，由于原始數據量很大或原始數據根本沒有給出來等原因，無法計算實際的組平均數， 此時，只能用 組中值 來代替。 如：某企業(yè)的工人的平均工資可以代表這個企業(yè)工人工資收入的一般水平；全國糧食平均畝產量可以代表我國糧食生產的一般水平； 3 ? 二、特點 ? 平均指標把總體各單位數量標志值之間的差異抽象化了。 ??????????fxfffffxfxfxxnnn. . . . . .. . . . . .212211 ? ?? ffxx ? ff12 ? 例： 權數是絕對數的組距數列的加權平均數的計算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬元） 組中值（萬元） x 貸款