【正文】 sfLMmme35052075080021??????????dfsfUMmme48 ? 課堂作業(yè)： 某地區(qū)抽樣調(diào)查職工家庭收入資料如下： 按平均每人月收入分組（元） 職工戶數(shù) 100 200 6 200 300 10 300 400 20 400 500 30 500 600 40 600 700 240 700 800 60 800 900 20 試根據(jù)上述資料計(jì)算職工家庭平均每人月收入（用算術(shù)平均數(shù)公式），并計(jì)算確定中位數(shù)和眾數(shù)； 49 ? 注意： 中位數(shù)也是一種位置平均數(shù)，它也不受極端值及開(kāi)口組的影響，具有穩(wěn)健性。 41 ? （ 1）未分組資料 ：排序 確定位置（ n +1)/2 （ 其中 n為標(biāo)志值的個(gè)數(shù)或總體單位數(shù)） ? 若 n為奇數(shù)項(xiàng)，則居中點(diǎn)位置的數(shù)值即為中位數(shù)； 若 n為偶數(shù)項(xiàng)，則居中的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。 ? 眾數(shù)是一個(gè)不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)而趨均勻分布時(shí)，則無(wú)眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時(shí)，眾數(shù)的位置也不好確定。 ? 確定方法： （ 1）對(duì)于原始數(shù)據(jù)或單項(xiàng)式分組資料： 可以 直接觀察 ，即出現(xiàn) 次數(shù)最多 的數(shù)值； 34 ? 例： 某商場(chǎng)某季度男皮鞋銷售情況 男皮鞋號(hào)碼（厘米） 銷售量（雙） 12 84 1 18 541 320 104 52 合計(jì) 1231 從上表可以看出： 厘米的鞋號(hào)銷售量最多，即為眾數(shù)。10年的利率分別為：第 1年和第 2年為 ，第 3年至第 5年為 ，第 6年至第 8年為 ，第 9年至第 10年為 ，求平均利率； ? 年平均利率 ? 則年平均利率為： = ???? ??fnifif xxxxGinfnfffxX1. . . . . ... 3322110 8 7 2332 ?????GX30 ? 四、幾種平均數(shù)的比較 ? 算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù) ? 成立前提：標(biāo)志值都屬于正數(shù)，而且至少兩個(gè)數(shù)不等； ? 請(qǐng)大家用兩個(gè)數(shù)的例子證明？ hGX X X??表示為： ? ?121084???GhXXX，變量值例 32 第三節(jié) 位置平均數(shù) ? 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)都是根據(jù)總體 全部標(biāo)志值 計(jì)算的。 ? 凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象都適用于計(jì)算幾何平均數(shù)。在這個(gè)例子中，平均價(jià)格 =總金額 /總數(shù)量，符合平均價(jià)格的基本計(jì)算公式； hx = 元）(31111??? 21 ? (2)加權(quán)調(diào)和平均數(shù) ，計(jì)算公式為： hx =nnnmmmmmxmxmxmx????????.. .. ..1.. .. ..1111321332211 =nnnmxmxmxmxmmmm1. . . . . .111. . . . . .332211321???????? =??mxm1 上式中：x代表標(biāo)志值；m代表調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)； 22 ? 例： 根據(jù)下表某公司所屬三個(gè)廠生產(chǎn)某種生產(chǎn)資料的情況，計(jì)算產(chǎn)品平均單位成本。是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱 倒數(shù)平均數(shù) ，通常用 表示。成立前提：變量在組內(nèi)的變化是均勻的或在組中值兩側(cè)呈對(duì)稱分布狀態(tài)；計(jì)算方法： ? 閉口組的組中值 =（上限 +下限） /2 ? 只有上限的開(kāi)口組組中值 =上限 相鄰組組距 /2 ? 只有下限的開(kāi)口組組中值 =下限 +相鄰組組距 /2 11 ? 其計(jì)算也分兩種情況： ? ⅰ 、當(dāng)權(quán)數(shù)為絕對(duì)數(shù)： ? 其中 xi代表組中值，而不是實(shí)際的變量值； fi代表每組的頻數(shù)； ? ⅱ 、當(dāng)權(quán)數(shù)為相對(duì)數(shù)： ? 式中： 代表權(quán)數(shù)，是相對(duì)數(shù)。 ??? ??fxfx ? ?? ffxx ? ff8 ? 注意 ：權(quán)數(shù)為絕對(duì)數(shù)或相對(duì)數(shù)，計(jì)算結(jié)果是一致的；仍以上例為例： 某生產(chǎn)班組按日產(chǎn)量分組表 按日產(chǎn)量分組（件） x 工人人數(shù)（人） f 比重（ % ）? ff ? ffx （件） 17 1 10 18 2 20 19 4 40 20 3 30 合計(jì) 10 100 9 ? ②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：與單項(xiàng)數(shù)列條件下計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的方法相同，只需要以各組的實(shí)際平均數(shù)乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)即可；但是，在編制組距數(shù)列時(shí)，由于原始數(shù)據(jù)量很大或原始數(shù)據(jù)根本沒(méi)有給出來(lái)等原因，無(wú)法計(jì)算實(shí)際的組平均數(shù)， 此時(shí)，只能用 組中值 來(lái)代替。數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算得到的，位置平均數(shù)是根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置或部分指標(biāo)值計(jì)算得到的； ? 一、概念：平均指標(biāo)就是反映同質(zhì)總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志值一般水平 的綜合指標(biāo)。 如：某企業(yè)的工人的平均工資可以代表這個(gè)企業(yè)工人工資收入的一般水平；全國(guó)糧食平均畝產(chǎn)量可以代表我國(guó)糧食生產(chǎn)的一般水平； 3 ? 二、特點(diǎn) ? 平均指標(biāo)把總體各單位數(shù)量標(biāo)志值之間的差異抽象化了。 由于組中值來(lái)代替組實(shí)際平均數(shù)，要求組內(nèi)部的標(biāo)志值是均勻分布的，因此，按組中值計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)只能是個(gè)近似值。 ??????????fxfffffxfxfxxnnn. . . . . .. . . . . .212211 ? ?? ffxx ? ff12 ? 例： 權(quán)數(shù)是絕對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 各組貸款額（萬(wàn)元） xf 10 以下 ？？？？ 20 ？？？？ 10 20 15 10 150 20 30 25 22 550 30 40 35 34 1 190 40 以上 ？？？？ 14 ？？？？ 合計(jì) — 或 …… 100 2620 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款額為： 1002620?????fxfx 13 ? 例： 權(quán)數(shù)是相對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 比重（ % ） ? ff ? ffx （萬(wàn)元） 10 以下 5 20 20 10 20 15 10 10 0 20 30 25 22 22 0 30 40 35 34 34 1 0 40 以上 45 14 14 0 合計(jì) — 100 100 26 .20 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款 額為： ?? ?? ffxx 14 ? 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的最大 區(qū)別 在于：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受到變量值大小、次數(shù)兩個(gè)因素的影響，而簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)只受變量值大小的影響。 ? 計(jì)算方法 ：分為 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和 加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 。 ? 某公司所屬三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品資料表 工廠 單位成本（元 / 件） x 總成本（萬(wàn)元） m 總產(chǎn)量（萬(wàn)件） m/ x 甲 10 10 1 乙 8 32 4 丙 36 5 合計(jì) ( ) 78 10 平均單位成本 = 總成本 / 總產(chǎn)量 =??mxm1=1078= 23 ? 注意兩點(diǎn) ： ? （ 1） 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例；當(dāng) m1=m2=m3=…=m n=1時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)； ? （ 2）從上例可以看出，調(diào)和平均數(shù)仍然是以總體標(biāo)志總量除以總體單位總數(shù)計(jì)算的，在經(jīng)濟(jì)內(nèi)容和計(jì)算結(jié)果上與算術(shù)平均數(shù)一致，只是由于計(jì)算時(shí)依據(jù)的資料不同，而在計(jì)算公式和計(jì)算過(guò)程方面有別于算術(shù)平均數(shù)；如當(dāng) m=xf時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)； ?????? ???fxfxfxxfmxmx h1124 ? 例： 某公司員工工資情況如下表，請(qǐng)分別計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)； 月工資 x （元） 工資總額 m （元） 員工人數(shù) f = m/ x （人） 800 48000 60 1000 70000 70 1600 32021 20 合計(jì) 150000 150 首先計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，按照公式： 10 0015 015 00 0016 0032 00 010 0070 00 080 048 00 032 00 070 00 048 00 0332211321????????????xmxmxmmmmx h 再計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，按照公式： 10001501 5 0 0 0 020706020*160070*100060*800321332211????????????ffffxfxfxx 25 ? 調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn) ? 如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于 0，則無(wú)法計(jì)算； ? 調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)比較： 方法和資料不同，調(diào)和平均數(shù)一般是分子項(xiàng)已知，分母項(xiàng)未知；算術(shù)平均數(shù)一般是分母項(xiàng)已知，分子項(xiàng)未知。最典型的兩種現(xiàn)象是流水作業(yè)線和銀行存款。中位數(shù)和眾數(shù)不是根據(jù)全部標(biāo)志值計(jì)算的，而是根據(jù)其在總體中所處的 特殊位置 確定或根據(jù) 部分標(biāo)志值（實(shí)際上也是處于特殊位置的一些標(biāo)志值） 計(jì)算的，因此叫位置平均數(shù)。 35 （ 2）組距式分組資料： 先找出 眾數(shù)所在組 , 然后再用比例插值法推算眾數(shù)的 近似值；計(jì)算公式為： ? 下限公式為： ? 上限公式為： ? 式中： L代表眾數(shù)所在組下限， U代表眾數(shù)所在組上限， d代表組距，