【正文】 企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 各組貸款額（萬(wàn)元） xf 10 以下 ？？？？ 20 ？？？？ 10 20 15 10 150 20 30 25 22 550 30 40 35 34 1 190 40 以上 ？？？？ 14 ？？？？ 合計(jì) — 或 …… 100 2620 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款額為： 1002620?????fxfx 13 ? 例： 權(quán)數(shù)是相對(duì)數(shù)的組距數(shù)列的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算： 某銀行某年某月為 100 家企業(yè)貸款情況表 按貸款額分組 （萬(wàn)元） 組中值（萬(wàn)元） x 貸款企業(yè)數(shù)（個(gè)） f 比重（ % ） ? ff ? ffx （萬(wàn)元） 10 以下 5 20 20 10 20 15 10 10 0 20 30 25 22 22 0 30 40 35 34 34 1 0 40 以上 45 14 14 0 合計(jì) — 100 100 26 .20 根據(jù)上述資料計(jì)算該銀行為每家企業(yè)的平均貸款 額為： ?? ?? ffxx 14 ? 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的最大 區(qū)別 在于：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受到變量值大小、次數(shù)兩個(gè)因素的影響，而簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)只受變量值大小的影響。 ? 某公司所屬三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品資料表 工廠(chǎng) 單位成本（元 / 件） x 總成本（萬(wàn)元） m 總產(chǎn)量（萬(wàn)件） m/ x 甲 10 10 1 乙 8 32 4 丙 36 5 合計(jì) ( ) 78 10 平均單位成本 = 總成本 / 總產(chǎn)量 =??mxm1=1078= 23 ? 注意兩點(diǎn) ： ? （ 1） 簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例；當(dāng) m1=m2=m3=…=m n=1時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)； ? （ 2）從上例可以看出，調(diào)和平均數(shù)仍然是以總體標(biāo)志總量除以總體單位總數(shù)計(jì)算的，在經(jīng)濟(jì)內(nèi)容和計(jì)算結(jié)果上與算術(shù)平均數(shù)一致，只是由于計(jì)算時(shí)依據(jù)的資料不同，而在計(jì)算公式和計(jì)算過(guò)程方面有別于算術(shù)平均數(shù)；如當(dāng) m=xf時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)； ?????? ???fxfxfxxfmxmx h1124 ? 例： 某公司員工工資情況如下表，請(qǐng)分別計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)； 月工資 x （元） 工資總額 m （元） 員工人數(shù) f = m/ x （人） 800 48000 60 1000 70000 70 1600 32021 20 合計(jì) 150000 150 首先計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，按照公式： 10 0015 015 00 0016 0032 00 010 0070 00 080 048 00 032 00 070 00 048 00 0332211321????????????xmxmxmmmmx h 再計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，按照公式： 10001501 5 0 0 0 020706020*160070*100060*800321332211????????????ffffxfxfxx 25 ? 調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn) ? 如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于 0，則無(wú)法計(jì)算； ? 調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)比較： 方法和資料不同，調(diào)和平均數(shù)一般是分子項(xiàng)已知，分母項(xiàng)未知；算術(shù)平均數(shù)一般是分母項(xiàng)已知，分子項(xiàng)未知。中位數(shù)和眾數(shù)不是根據(jù)全部標(biāo)志值計(jì)算的，而是根據(jù)其在總體中所處的 特殊位置 確定或根據(jù) 部分標(biāo)志值（實(shí)際上也是處于特殊位置的一些標(biāo)志值） 計(jì)算的，因此叫位置平均數(shù)。 40 ? 三、 中位數(shù) ? 含義： 把某種觀(guān)察值按大小順序排隊(duì)后，處在該數(shù)列中點(diǎn)位置的觀(guān)察值，通常以 Me表示。（同眾數(shù)同） 各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對(duì)值之和為最小值（相對(duì)于中位數(shù)和任一標(biāo)志值而言）。它與平均指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用，可以達(dá)到對(duì)現(xiàn)象總體的全面認(rèn)識(shí)。 對(duì)于開(kāi)口組，無(wú)法計(jì)算全距。標(biāo)準(zhǔn)差 （ σ ） 是方差 的平方根，故又稱(chēng) 均方差 。 ? 練習(xí)：某公司進(jìn)口一批彩電共 1000臺(tái)，其中合格品 980臺(tái)，不合格 20臺(tái)，合格品占全部產(chǎn)品的 98%，不合格產(chǎn)品占全部產(chǎn)品的 2%。 試計(jì)算偏態(tài)系數(shù) 1997年 農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù) 按純收入分組（元） 戶(hù)數(shù)比重（ %） 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2021 2021~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 103 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計(jì)算表 按純收入分組 （百元） 組中值 Xi 戶(hù)數(shù)比重 (%) Fi (Xi X ) Fi3 (Xi X ) Fi4 5以下 5— 10 10— 15 15— 20 20— 25 25— 30 30— 35 35— 40 40— 45 45— 50 50以上 合計(jì) — 100 104 一、偏態(tài)及其測(cè)度指標(biāo) 根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算得 將計(jì)算結(jié)果代入公式得 結(jié)論： 偏態(tài)系數(shù)為正值，而且數(shù)值較大，說(shuō)明農(nóng)村居民家庭純收入的分布為右偏分布，即收入較少的家庭占據(jù)多數(shù)，而收入較高的家庭則占少數(shù)，而且偏斜的程度較大 ? ? ? ?? ? 311133133 ??????????? iiiKiii FXNFXX??（百元）4 2 11????????? KiiiKiiFFXX （百元）0 8 11????????? KiiiKiiFFX?105 二、 峰度及其測(cè)度指標(biāo) （一）概念要點(diǎn) 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測(cè)度；如果峰度系數(shù) =3，則 扁平程度適中；偏態(tài)系數(shù) 3為扁平分布 ；偏態(tài)系數(shù) 3為尖峰分布 （二）計(jì)算公式 ? ?4144??NFXXKiii????106 二、 峰度及其測(cè)度指標(biāo) 代入公式得 【 例 】 根據(jù)表中的計(jì)算結(jié)果 ， 計(jì)算農(nóng)村居民家庭純收入分布的峰度系數(shù) 。 一般我們將所研究、關(guān)注的標(biāo)志的標(biāo)志表現(xiàn)賦值為 1（這點(diǎn)將在計(jì)算成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)應(yīng)用）； 是非標(biāo)志平均數(shù)計(jì)算表 是非標(biāo)志 標(biāo)志值 單位數(shù) 成數(shù) 是（合格） 1 980 （ N 1 ） 98% （ P ） 非（不合格） 0 20 （ N 0 ） 2% （ Q ） 合計(jì) — 1000 （ N ） 1 根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式來(lái)計(jì)算其平均數(shù)： 1 0 0 02021 8 01010101?????????????NNNNfxfx 87 ? D、 成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差：其計(jì)算根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式： ? 注意 ： 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為具有被研究的標(biāo)志表現(xiàn)的成數(shù) P與不具有該標(biāo)志表現(xiàn)的成數(shù)（ 1P） 乘積的平方根；在上面公式的推導(dǎo)中，平均數(shù)取的是 P， 而在上例中 Q是不合格產(chǎn)品的平均數(shù)，也是平均數(shù)之一，如果平均數(shù)取 Q， 請(qǐng)大家試著計(jì)算？ ? 例：對(duì)前面那個(gè)例子，其是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為 ?? ??ffxx2)(?010212)0()1(NNNPNP????? = QPPPNNPNNP220212)1()1( ????? = PQPPPPPPPPPP ?????????? )1()1)(1()1()1(22 )1( ????? PP?88 ? 方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì) ? （ 1）常數(shù)的方差等于 0； ? （ 2）變量的線(xiàn)性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。 計(jì)算公式為： ???? ????ffxxffxx 222 )( )(??82 ? 例： 連鎖店商品銷(xiāo)售額標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表 按銷(xiāo)售額分組（千美元） 頻數(shù)（個(gè)） f 組中值 x xf xx ? 2)( xx ? fxx2)( ? 80 100 20 90 1800 123 15129 302580 100 150 50 125 6250 88 7744 387200 150 200 120 175 21000 38 1444 173280 200 250 180 225 63000 12 144 40320 250 以上 130 275 35750 62 3844 499720 合計(jì) 600 — 127800 — — 1403100 2 1 36 0 01 2 7 8 0 0?????fxfx（千美元） 6 001 40 3 1 00)(2??????ffxx? （千美元） 83 ? 是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差 ? A、 什么是 是非標(biāo)志 ：在對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)，常把其全部單位劃分為具有某種屬性和不具有某種屬性的兩組，例如，將學(xué)生按性別劃分為“男”、“女”，將產(chǎn)品劃分為“合格”、“不合格”兩組，由于這些反映單位屬性或性質(zhì)的標(biāo)志不是數(shù)量標(biāo)志，而是質(zhì)量標(biāo)志，且只有“是”與“非”兩種表現(xiàn)，所以稱(chēng)之為“ 是非標(biāo)志 ”，有時(shí)也稱(chēng)為“ 交替標(biāo)志 ”。 四分位差 .=Q3Q1 六、四分位差 歲。 甲、乙兩學(xué)生某次考試成績(jī)列表 語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 物理 化學(xué) 政治 英語(yǔ) 甲 95 90 65 70 75 85 乙 110 70 95 50 80 75 甲、乙兩學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?80分，集中趨勢(shì)一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。（例