【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ？？ 173 1 ？ ？？ 合計(jì) 21 ？ ？？ 43 ? 填好數(shù)字的表如下： ? 計(jì)算 ∑f/2=21/2=。 看哪一組的累積次數(shù)先達(dá)到 ：不論是由低到高還是由高到低，中位數(shù)都在第 3組，即標(biāo)志值 167件為產(chǎn)量中位數(shù)； 某車間工人按產(chǎn)量分組表 累積次數(shù) 按產(chǎn)量分組（件） x 工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 159 2 2 21 162 4 6 19 167 5 11 15 169 6 17 10 171 3 20 4 173 1 21 1 合計(jì) 21 — — 44 ? （ 3）組距式分組資料 ：前兩步驟同上，找到中位數(shù)所在位置 根據(jù)公式(下限或上限 )求出中位數(shù)的近似值。 ? 下限公式為： ? 上限公式為： dfsfLMmme12 ?????dfsfUMmme12 ?????45 ? 式中： Me代表中位數(shù)； ? L代表中位數(shù)所在組的下限； ? U代表中位數(shù)所在組的上限； ? d代表中位數(shù)所在組的組距； ? Sm1代表中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)； ? Sm+1代表中位數(shù)所在組以上的累積次數(shù)； ? 請(qǐng)大家先試著證明？ 46 ? 例： ? 第一步：確定中位數(shù)位置 = =1500/2=750；根據(jù)由低到高或由高到低累積次數(shù)，中位數(shù)所在的組為第四組，即 700800這一組； ? 第二步：根據(jù)公式計(jì)算； 某企業(yè)職工按月工資分組資料表 累積次數(shù) 按月工資分組（元） 職工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 400 500 140 140 1500 500 600 190 330 1360 600 700 300 630 1 170 700 800 350 980 870 800 900 260 1240 520 900 1000 200 1440 260 1000 1 100 40 1480 60 1 100 1200 20 1500 20 合計(jì) 1500 — — 2?f47 ? 如果根據(jù)下限公式： ? 如果根據(jù)上限公式： 35063075070021??????????dfsfLMmme35052075080021??????????dfsfUMmme48 ? 課堂作業(yè)： 某地區(qū)抽樣調(diào)查職工家庭收入資料如下： 按平均每人月收入分組（元） 職工戶數(shù) 100 200 6 200 300 10 300 400 20 400 500 30 500 600 40 600 700 240 700 800 60 800 900 20 試根據(jù)上述資料計(jì)算職工家庭平均每人月收入（用算術(shù)平均數(shù)公式），并計(jì)算確定中位數(shù)和眾數(shù)； 49 ? 注意： 中位數(shù)也是一種位置平均數(shù)，它也不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。（同眾數(shù)同） 各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對(duì)值之和為最小值（相對(duì)于中位數(shù)和任一標(biāo)志值而言）。（同算術(shù)平均數(shù)比較） 對(duì)某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測(cè)定的現(xiàn)象，可以用中位數(shù)求其一般水平。（例：印染廠對(duì)顏色的排列） m i n m i n即 ： 或eeX M X M f? ? ? ???50 ? 四、眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的比較 ? （一）算術(shù)平均數(shù)是數(shù)值平均數(shù)； ? （二）算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在而且具有唯一性； ? （三）算術(shù)平均數(shù)只能用于定量數(shù)據(jù)，中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)與定量數(shù)據(jù)，眾數(shù)適用于所有數(shù)據(jù)類型； ? （四）算術(shù)平均數(shù)受極端值的影響，而眾數(shù)、中位數(shù)則不受； ? （五）算術(shù)平均數(shù)可以推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，眾數(shù)、中位數(shù)則不宜； f 如圖： 0MMX e ??0eX M M、(六） 三者的關(guān)系 0即 eX M M?? 總體分布呈對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一 , 0( 1 ) . 如 果 分 布 右 偏 ， 則 eX M M??如圖： f X X0M eM2. 當(dāng) 總體分布呈非對(duì)稱狀態(tài)時(shí)（ P58） 0( 2 ) . 如 果 分 布 左 偏 ， 則 eX M M??如圖： f X X 0MeM所以 0 ( X M ) 0 ( )如 果 ， 則 說 明 分 布 右 偏 或 上 偏?0 ( X M ) 0 ( )如 果 ， 則 說 明 分 布 左 偏 或 下 偏?0 ( X M ) 0 如 果 ， 則 說 明 分 布 對(duì) 稱?000321( 2 )31( 3 )2根 據(jù) 卡 爾 皮 爾 遜 經(jīng) 驗(yàn) 公 式 ， 還 可 以 推 算 出 ：eeeM M XM M XX M M???????所以分布右偏。，元 )(900)10 002700(31)2(3100MMXXMMee?????????一組工人的月收入眾數(shù)為 700元，月收入的算術(shù)平均數(shù) 為 1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是： 例 均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體。 (同質(zhì)異量） 組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。（例子） 五、平均指標(biāo)的運(yùn)用原則 某生產(chǎn)小組基期有工人 15人，報(bào)告期人數(shù)增加到 30人，兩時(shí)期各技術(shù)等級(jí)的工人數(shù)和工資總額如下 ?在下表中，每一級(jí)工的工資都漲了，但總平均工資卻下降了！ 級(jí)別 基 期 報(bào) 告 期 工人數(shù) (人 ) 比重 (%) 工資總額 (元 ) 平均工資 (元 ) 工人數(shù) (人 ) 比重 (%) 工資總額 (元 ) 平均工資 (元 ) 二級(jí)工 2 1000 500 16 9600 600 四級(jí)工 8 7200 900 10 10000 1000 七級(jí)工 5 7500 1500 4 6800 1700 合計(jì) 15 15700 1047 30 26400 880 例 某工業(yè)部門 100個(gè)企業(yè)年度利潤計(jì)劃完成程度資料如下： 按計(jì)劃完成程度分組 (%) 企業(yè)數(shù) 85 2 90 8 95 10 40 30 10 合 計(jì) 100 經(jīng)計(jì)算， 100個(gè)企業(yè)年度平均利潤計(jì)劃完成程度為 ％。 分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù) 例 59 第四節(jié) 變易指標(biāo) ? 一、 變異指標(biāo)的概念 ：反映總體各單位標(biāo)志值的差別大小程度的綜合指標(biāo)，又稱為標(biāo)志變動(dòng)度。 ? 二、意義：平均指標(biāo)是反映總體一般水平的綜合指標(biāo)，掩蓋了總體各單位標(biāo)志值的數(shù)量差異，而變異指標(biāo)反映總體內(nèi)各個(gè)觀察值之間差異程度，可以說明標(biāo)志值的分散程度，還可以說明平均指標(biāo)代表性的大小。它與平均指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用，可以達(dá)到對(duì)現(xiàn)象總體的全面認(rèn)識(shí)。 ? 三、作用： 標(biāo)志變動(dòng)度是評(píng)價(jià)平均數(shù)代表性的依據(jù) 。 甲、乙兩學(xué)生某次考試成績(jī)列表 語文 數(shù)學(xué) 物理 化學(xué) 政治 英語 甲 95 90 65 70 75 85 乙 110 70 95 50 80 75 甲、乙兩學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?80分，集中趨勢(shì)一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。 例 61 ? 四、種類： 極差、四分位差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)； 全 距 R 四分位差 . 平 均 差 . 標(biāo) 準(zhǔn) 差 .(σ) 離散系數(shù) Vσ 62 ? 五、極差 ? 含義： 極差（ R） 又稱全距，是總體單位各標(biāo)志值中最大值與最小值之差。 ? 計(jì)算（ 1）未分組或單項(xiàng)分組資料 （見例 1） ： R=最大標(biāo)志值 最小標(biāo)志值 （ 2）組距式分組資料 ： 僅限于首末兩組為閉口組，而且計(jì)算出來的全距要比實(shí)際全距大一些 （見例 2） ： R=末組上限 首組下限 ? 局限： 由于極差是根據(jù)總體的極端變量值計(jì)算的，沒有考慮中間變量值的變動(dòng)情況，所以不能全面反映總體各個(gè)變量值的離散程度。因此，其應(yīng)用受到局限。在實(shí)際中，僅限于檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性等，應(yīng)用范圍很小。 對(duì)于開口組，無法計(jì)算全距。 63 ? 例 1：有兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)成績(jī)分別為： ? 甲組： 60 70 80 90 100 ? 乙組： 78 79 80 81 82 ? 兩組的平均成績(jī)都是 80分，通過平均成績(jī)的計(jì)算看不出兩組學(xué)生的成績(jī)差別，但計(jì)算全距： ? R甲 =10060=40分，而 R乙 =8278=4分，因此通過全距的計(jì)算，可以判定：乙組的平均成績(jī)更能代表乙組學(xué)生的成績(jī)水平； 64 ? 例 2：給定下列數(shù)據(jù)： ? 根據(jù)未分組資料計(jì)算全距： ? R=最大標(biāo)志值 最小標(biāo)志值 =139107=32 ? 對(duì)上面數(shù)據(jù)進(jìn)行組距分組的方法？ 1 17 122 124 129 139 107 1 17 130 122 125 108 131 125 1 17 122 133 126 122 1 18 108 1 10 1 18 123 126 133 134 127 123 1 18 1 12 1 12 134 127 123 1 19 1 13 120 123 127 135 137 1 14 120 128 124 1 15 139 128 124 121 65 ? 第一步：對(duì)數(shù)值進(jìn)行大小排序； ? 第二步：確定全距： 139107=32； ? 第三步：用經(jīng)驗(yàn)公式確定組數(shù) : ? m=1+lg50/lg2（ 約） =7 ? 第四步：確定組距： =全距 /組數(shù) =32/7 （約）=；為便于計(jì)算統(tǒng)計(jì)，也為了與組限的確定（以尾數(shù) 5或 0）銜接，確定組距為 5； ? 第五步：確定組限；第一