【正文】 ??????????????????????000000001800021101131631343393608293711131, 4321 ???? ?該向量組線性相關(guān) ５．求齊次線性方程組 x x x xx x x xx x x xx x x1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 43 2 05 2 3 011 2 5 03 5 4 0? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???????? 的一個基礎(chǔ)解系． 解： ???????????????????? ???????????????????????? ?????????????????????? ??????????300000007314021145011031407314073140213140535211132152131423212413121 14335rrrrrrrrrrrrA ???????????????????? ????????????????????? ?????????????????????? ?? ?????000010000143100145010000100021143102114501000030002114310211450123133432212131141rrrrrrrr ? 方程組的一般解為?????????????014314543231xxxxx 令 13?x ，得基礎(chǔ)解系 ??????????????????10143145? ６．求下列線性方程組的全部解． x x x xx x x xx x xx x x x1 2 3 41 2 3 41 2 41 2 3 45 2 3 113 4 2 59 4 175 3 6 1? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???????? 解：???????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????? ?????????00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553rrrrrrrrrrrrA????????????????????? ???0000000000221711012179012141 r ?方程組一般解為???????????????2217112197432431xxxxxx 19 令 13 kx? ， 24 kx ? ，這里 1k ， 2k 為任意常數(shù)，得方程組通解 ???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????00211021210171972217112197212121214321kkkkkkkkxxxx ７．試證：任一４維向量 ? ??? 4321 , aaaa? 都可由向量組 ?????????????00011? ，?????????????00112? ，?????????????01113? ，?????????????11114? 線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式． 證明：?????????????00011? ??????????????001012 ?? ??????????????010023 ?? ??????????????100034 ?? 任一４維向量可唯一表示為 )()()(10000100001000013442331221143214321???????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? aaaaaaaaaaaa 44343232121 )()()( ???? aaaaaaa ??????? ⒏試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解． 證明： 設(shè) BAX? 為含 n 個未知量的線性方程組 該方程組有解，即 nARAR ?? )()( 從而 BAX? 有唯一解當且僅當 nAR ?)( 而相應(yīng)齊次線性方程組 0?AX 只有零解的充分必要條件是 nAR ?)( ? BAX? 有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組 0?AX 只有零解 9．設(shè) ? 是可逆矩陣Ａ的特征值，且 0?? ，試證： ?1 是矩陣 1?A 的特征值． 證明： ?? 是可逆矩陣Ａ的特征值 ? 存在向量 ? ，使 ????A ? ???????? ????? ???? 1111 )()()( AAAAAAI ? ??? 11 ??A 即 ?1 是矩陣 1?A 的特征值 10．用配方法將二次型 4332422124232221 2222 xxxxxxxxxxxxf ???????? 化為標準型． 解： 20 4224423232214332422423221 2)(2)(222)( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf ??????????????? 222423221 )()( xxxxxx ?????? ? 令 211 xxy ?? ， 4232 xxxy ??? ， 23 xy ? ， 44 yx ? 即??????????????44432332311yxyyyxyxyyx 則將二次型化為標準型 232221 yyyf ??? A BC, , 為三個事件，試用 A BC, , 的運算分別表示下列事件： ⑴ A BC, , 中至少有一個發(fā)生； ⑵ A BC, , 中只有一個發(fā)生； ⑶ A BC, , 中至多有一個發(fā)生； ⑷ A BC, , 中至少有兩個發(fā)生； ⑸ A BC, , 中不多于兩個發(fā)生； ⑹ A BC, , 中只有 C 發(fā)生． 解 :(1) CBA ?? (2) CBACBACBA ?? (3) CBACBACBACBA ??? (4) BCACAB ?? (5) CBA ?? (6) CBA 2. 袋中有 3 個紅球， 2 個白球，現(xiàn)從中隨機抽取 2 個球，求下列事件的概率： ⑴ 2 球恰好同色； ⑵ 2 球中至少有 1 紅球． 解 :設(shè) A =“ 2 球恰好同色”， B =“ 2 球中至少有 1 紅球” 5210 13)( 252223 ?????C CCAP 10910 36)( 25231213 ????C CCCBP 3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出來的零件是正品的概率． 解： 設(shè) ?iA “第 i 道工序出正品”（ i=1,2） ))(()|()()( 12121 ????? AAPAPAAP 4. 市場 供應(yīng)的熱水瓶中，甲廠產(chǎn)品占 50%，乙廠產(chǎn)品占 30%，丙廠產(chǎn)品占 20%，甲、乙、丙廠產(chǎn)品的合格率分別為 90%,85%,80%，求買到一個熱水瓶是合格品的概率． 解： 設(shè) 1 產(chǎn)品由甲廠。 此時齊次方程組化為 ??? ?? ???432431 511 49 xxx xxx 分別令 x x3 41 0? ?, 及 x x3 40 1? ?, ，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系 ? ? ? ??????? 1054,01119 21 XX 令 x x3 40 0? ?, ，得非齊次方程組的一個特解 ? ???? 001080X 由此得原方程組的全部解為 X X k X k X? ? ?0 1 1 2 2 （其中 k k1 2, 為任意常數(shù)） 11. 假設(shè) BA, 為兩事件，已知 )(,)(,)( ??? ABPBPAP ，求 )( BAP ? ． 解： )()()( ???? ABPAPBAP )()()( ????? BAPBPABP )()()()( ????? ABPBPAPBAP 12. 一批產(chǎn)品分別來自甲、乙、丙三個廠家，其中 50%來自甲廠、 30%來自乙廠、 20%來自丙廠，已知這三個廠家的次品率分別為 ， 和 。 在方程組有無窮多解的情況下，一般解為 x xx xx x1 42 43 41 5? ????????? （其中 x4 為自由未知量） 8. 求線性方程組 ????????????????????????103512527496372224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 的全部解． 11 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ??????????????????????????????? ???20210220202102201015110211211035125271496137221121 ?????????????????????????????????????0000000000111011111510112119111010000000000101511021121 此