44三次樣條插值-文庫吧資料
2024-10-08 10:16本頁面
【正文】 與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小 . ),...2,1,0(),( miyx ii ?)(...)()()( *1*10*0* xxxxs nn ?????? ???? 設(shè) 是 [a,b]上一組線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)系 ,令 ? ?0() nk x?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 .5 .1 1 )nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?記誤差 .為尋求 我們常以誤差 加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn) ,即 ( ) ( 0 , 1 , 2 , )i i is x y i m? ? ? ? ? ??01, , , n? ? ????i?2 201 20( , , , ) ( )mn i iiIx? ? ? ? ? ????? ? ? ?( ) 0x? ?達(dá)到極小值 ,這里 是 [a,b]上的權(quán)函數(shù) . 類似前述最佳平方逼近方法 ,有多元函數(shù) 極值必要條件有 002 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , )mni k k i i j iikjI x x f x x j n? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? 用向量內(nèi)積形式表示 ,上式可記 上式為求 的法方程組 ,其矩陣的形式為 0( , ) ( 0 , 1 , 2 , )nj k k jkjn? ? ? ??? ? ????000 0 0 1 0111 0 1 1 101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( )( , ) ( , ) ( , )nnn n n n nn??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?01, , , n? ? ????? 其中 0( , ) ( ) ( ) ( )mj k i j i k iix x x? ? ? ? ??? ?),...2,1,0()()()(),(0njxxfxf ijmiiijj ??? ??????由于向量組 是線性無關(guān) , 故式 ()的系數(shù)行列式 01, , , n? ? ????01( , , , ) 0 ,nG ? ? ???? ?? 故式 ()存在唯一解 ,于是得到函數(shù) f(x)的最小二乘解 ? 其平方誤差為 * * *01, , , n? ? ????* * * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,nns x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff))() ,. .. ,(),((,),. .. ,(),(10100*220*2222??????????????? ????這里特例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001), . . . ,2,1,0()(1)(?????????????最小二乘的法方程為時，當(dāng)例題 ? 例 設(shè)函數(shù) y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示 試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù) ,并求平方誤差 . 0 1 2 3 4 5 0 1 iixiy? 解 由式 ()可得 ? 解方程組得 ? 所以擬合二次函數(shù)為 ???????????????????????????????0 8 6 1 5 6 6 210???0 1 , , ? ? ?? ? ?21 .0 0 6 3 2 1 4 2 8 0 .8 6 2 5 8 9 2 9 5 0 .8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x? ? ?? 平方誤差為 01 7 1007 8 242211002222????????????????所以f? 例 地球溫室效應(yīng)問題 ? 下表統(tǒng)計了近 100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù) .試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線 ,并根據(jù)這一模型 ,預(yù)報地球氣溫何年會比 1860年的平均溫度高 7oC年份 N 1860年后地球氣溫增加值 年份 N 1860年后地球氣溫增加值 1880 1940 1890 1950 1900 1960 1910 1970 1920 1980 1930 Ct0Ct0? 解 為簡化數(shù)據(jù) ,從 1880年起年份記 N,其變換 n=(N1870)/記為 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大 100倍 ,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖 (P119) ? 從圖 ,氣溫 t與變換 n大致服從指數(shù)
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