chapter3transforms變換-文庫(kù)吧資料
2024-10-07 22:00本頁(yè)面
【正文】 ??? ????4)l og ()l og (e x p 1111 iiiiiiiqqqqqba))(1) , 2,sl e r p (),p(sl e r p ( sl e r),(sq u a d 1111 tttt iiiiiiii ???? ? aaqqaaqq從一個(gè)矢量旋轉(zhuǎn)到另一矢量 ? 給定兩個(gè)單位矢量 s和 t，要把 s變換到 t ? 該問(wèn)題可很容易采用四元數(shù)來(lái)解決。因?yàn)? zwqqywqqxwqqqqmmqqmmqqmm444011020201221??????)(4414)(24)(2222222222222222qMnqqqqqqqqqqqqqqqqstrwwzyxwwzyxzyxzyxq???????????????????????? ? 故單位四元數(shù)為 wqqzwqqywqqxqwqmm qqmm qqmm qq4 ,4 4 ,)(tr21011020201221??????? M單位四元數(shù)的球面線性插值 ? 給定兩個(gè)單位四元數(shù) q和 r，計(jì)算其插值四元數(shù) ? 代數(shù)形式 ? 更有用的形式 Spherical Linear intERPolation (Slerp) 10 。 248。)， qpq1把 p繞單位軸 uq旋轉(zhuǎn) 2248。t ) 四元數(shù)變換 ? 單位四元數(shù)的最重要性質(zhì)： 能表示任意旋轉(zhuǎn)，而且表示簡(jiǎn)單、緊湊 ? 給定矢量 p=(px, py , pz , pw)T和單位四元數(shù) q= (sin248。t uq =sin(248。uq, cos248。uq)=248。= e248。 對(duì)于單位四元數(shù)有： q= sin248。+ i sin248。 uq+cos248。 uq, cos248。 (qr)*= r*q* ? 范數(shù)法則 : n(q) = n(q*)。具有表示緊湊，朝向插值穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn) 數(shù)學(xué)背景 ?定義 ： q=(qv, qw)=(iqx+jqy+kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =1, jk=kj=i, ki=ik=j, ij=ji=k qw為實(shí)部， qv稱為虛部， i, j, k 稱為虛軸 ? 四元 數(shù) 乘： qr = (iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrzqzry+rwqx+qwrx) + j (qzrxqxrz+rwqy+qwry) + k (qxryqyrx+rwqz+qwrz) + qwrwqxrxqyryqzrz =(qv rv+rw qv+ qw rv, qw rw qv. rv) ? 四元 數(shù) 加： q + r = (qv, qw) + (rv, rw) = (qv+rv , qw+rw) ? 四元數(shù)共軛： q*= (qv, qw)*= (qv, qw) ? 四元數(shù)范數(shù)： n(q)= ||q2|| =q q*=q* q = qv .qv+q2w=q2x+q2y+q2z+q2w ? 四元數(shù)的逆： q－ 1= q* / ||q2|| ? 共軛法則 : (q*)*= q。 ? 故最后的變換為 ? 含義： 先把 r變換為 x軸，然后繞 x軸旋轉(zhuǎn)，最后用 M的逆矩陣變換回去。故求得的 h、 p、 r不是唯一的。因 cos p = 0時(shí)，故 sin p = 177。在飛行仿真中，采用 yaw而非 head 搖頭 “ No” 點(diǎn)頭 左右搖晃身體 ? Gimbal lock現(xiàn)象：當(dāng)一個(gè)自由度喪失時(shí)。繞任意軸的旋轉(zhuǎn) ? Euler變換是一種 直觀 的使一個(gè)物體（或攝像機(jī)）朝向一指定方向的有效方法。 Euler變換 2。)T(t) ?如果矩陣已知是正交的，則 M1 ＝ MT ?如果未知任何信息：伴隨矩陣法、 Cramer法、 LU分解法、 Gauss消去法 ? Cramer法和伴隨矩陣法具有較少的“ if”分叉，應(yīng)優(yōu)先選用。 例子： M=T(t)R(216。 若法向是通過(guò)計(jì)算三角形邊的叉積得到，則不需要。 ?2c o s1)( ??RtrTRR ?? 1比例縮放變換 ???????????????1000000000000)(zyxssssSExample: Scaling in a certain direction 假設(shè)沿正交、右手系的矢量 fx , fy , fz進(jìn)行比例變換 ,則首先構(gòu)造矩陣 最后的變換為 ?????????10000zyx fffFTF S ( s) FF S ( s) FX ?? ? 1錯(cuò)切變換 Tzyzxxzppsppss),(100001000010001)(??????????????????PH?六個(gè)基本錯(cuò)切矩陣 ： Hxy(s), Hxz(s), Hyx(s), Hyz(s), Hzx(s), Hzy(s)。Chapter 3. Transforms 變換 金小剛 Email: 浙江大學(xué) CADamp。CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，教 I 三樓 ?變換可以用來(lái)改變物體的位置、形狀；對(duì)物體、光源和攝像機(jī)設(shè)置動(dòng)畫等 ?用齊次坐標(biāo)， 4X4矩陣來(lái)表示 ?大部分圖形 API (Application Programming Int
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