【正文】 1?n 時(shí)， 令 n??? , 21 ? 是 V 的一個(gè)基，設(shè) ? ? VFkkkS nnn ????? ? ??? 121，其中， nF為 F 中元素之集合。 證明：因?yàn)?nFF? 所以只須在 nF 中考慮就行了，取 ? ?211 1, 2 , 2 , , 2 na ?? ? ? ? ? ? ?? ?222 212 1 , 2 , 2 , , 2 na ?? ? ? ? ?? ?211 , 2 , 2 , , 2mmmnma ?? 令 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?111222 21211 2 2 21 2 2 21 2 2 2kkkkkknnnk nk nnk nD????, 121 nk k k m??； 則 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 12 2 22121211 2 2 21 2 2 21 2 2 2n n nnk k knk k knnk k kD????是范德蒙行列式， 因?yàn)?0nD? ，所以1 2 3, , , , nk k k k? ? ? ?線性無(wú)關(guān)。 范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用 在向量空間理論中，我們會(huì)經(jīng)常遇到需要用范德蒙行列式轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化，我們很容易就能得到需要的結(jié)論。 證明：由題設(shè)條件可得： ? ?? ?1,2,1 ?? nihcf i ?在 0?x 處帶有皮亞諾型余項(xiàng)的馬克勞林展開式： ? ? ? ?? ? ? ?nknkkk hfkchhcf ??? ?? 0!0 11， ? ? ? ?? ? ? ?nknokkk hfkchhcf ??? ?? 0! 22，當(dāng) 0?h 時(shí)，若 ? ? ? ?011 fhcf ini i ???? ?為 nh 高階的無(wú)窮小。422 2????????? ?? 例 4 設(shè)函數(shù) ??xf 在 0?x 附近存在連續(xù)的 n 階導(dǎo)數(shù)，并且有? ? ? ? ? ?? ? 00,00,00 39。 ,c ab? ，使上式成立，即 ? ? ? ? ? ?? ?212 22abf f af b f aab baafcabb??? ??? ?????????? 化簡(jiǎn)即得 ? ? ? ? ? ? ? ?cfabafbafbf 39。39。39。39。 39。2 24 baabf b f f a f c????? ? ?????. 證： 在 ? ?,ab 上構(gòu)造函數(shù) ? ?? ?? ?? ?? ?22221111y y f ya a f aFxx x f xb b f b? ，為范德蒙行列式， 則 ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 ? ?,ab 內(nèi)存在 2階導(dǎo)數(shù)。特別的，存在 ? ?,c ab? ，使? ? ? ? ? ? ? ?2 39。39。 所以 ， 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 411111 1 1 1x x x xDx x x x x x x xx x x x x x x x? ? ? ??? ? ? ?????? ?14ijji xx????? 例 2 計(jì)算 112 2 2122 2 212121 1 1nnnn n nnn n nna a aa a aDa a aa a a? ? ?? ??1 當(dāng) 12,na a a 中至少有兩個(gè)相等，則 0nD? ； ??2 當(dāng) 12,na a a 各不相等時(shí)，因?yàn)樾辛谢Q行列式不變，所以 221 1 1 1222 2 2 222111nnnnnnnn n n na a a aa a a aDa a a a???? 構(gòu)造線性方程組 2 2 11 1 2 1 3 1 1 1 12 2 11 2 2 2 3 2 1 2 22 2 11 2 3 1n n nnnn n nnnn n nn n n n n n nx a x a x a x a x ax a x a x a x a x ax a x a x a x a x a?????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ??1 由于方程組 ??1 的系數(shù)行列式 ? ?1 0ijj i nD a a??? ? ?? .. 7 故方程組 ??1 有唯一解 ii Dx D?，這里 iD 為 D 中第 i 列用常數(shù)代替所得行列式。 .. 5 由 ??3 式可得 1tt VBAV OC???? ????，其中 ? ?? ?110 ! c1 ! c ,c1 ! cjtnttt t jjttCn??????? ? ?????， 于是，有 ? ? ? ?1 1101d e tV d e tA d e tV d e t d e tC d e tV ! d e tVtn tt t t t j tKjA V k ??? ????? ? ? ? ???；利用上述遞推公式，可得? ?1 10111!det !1!ntkVkn??????. 4 范德蒙行列式的應(yīng)用 范德蒙行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 若 nD 第 i 行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含相同分行（列）；且 nD 中含有由 n 個(gè)分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將 nD 的第i 行（列）乘以 1加到第 )1(?i 行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。 1 , 2 , , , 。,d e t 1 ??? ??? （ 2） 為合流范德蒙行列式，當(dāng) tn? ,且 12 1tn n n? ? ? ?時(shí)， det tV 是通常的范德蒙行列式。 合流范德蒙行列式 給定 t 個(gè)互不相等的數(shù) 12,t? ? ? 和正整數(shù) 12,tn n n ，記 1tiinn???， ? ? ? ?211, , , Tnv x x x x ?? ， 我們稱如下形式的 n 階行列式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tnttn tvvvvvvV ?????? 111111 39。 比較 kx 的系數(shù)可得 ? ?12121 1d e t nknk p p p i jp p p j i nV x x x a a?? ????? ?； 0,1,2,kn? 。 （ 2）假設(shè)對(duì)于 1n? 級(jí)的范德蒙行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來(lái)看 n 級(jí)的情況 。 2 范德蒙行列式的基本性質(zhì) 我們首先來(lái)介紹范德蒙行列式的定義及其計(jì)算方法 ， 形如行列式 1 2 32 2 2 21 2 31 1 1 11 2 31 1 1 1nnnn n n nna a a aD a a a aa a a a? ? ? ?? （ 1） 稱為 n 階的范德蒙（ eVandermond ）行列式 。 范德 蒙行列式作為一種重要的行列式，在計(jì)算的過(guò)程中可以將一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，從而能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，有利于行列式的計(jì)算。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。 Application and Popularization of Vandermonde determinant Xxxxxxxxxxxxxx Class xxxxx, Mathematics Department Tutor: xxxxxxxxxxxxx Abstract： Vandermonde determinant is the determinant of wellknown in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more