【正文】 22211210111Dnijjinnnnnnccccccccccc???????? 故上述方程組有唯一解，即存在唯一 一組實數(shù) 121 , ?n??? ? ，使得當 0?h 時，? ? ? ?011 fhcf ini i ???? ? 是 nh 高階的無窮小。 例 5 設 V 是數(shù)域 F 上的 n 維向量空間，任給正整數(shù) nm? ，則在 V 中存 m 個向量，其中任取 n 個向量都線性無關。 例 6 設 V 是數(shù)域 F 上的 n 維向量空間，則 V 的有限個真子空間不能覆蓋 V .. 10 證明：當 1?n 時，顯然成立。 令 nnn ekkeekSF 121,: ?????? ?? ， neee , 21 ? 為單位向量。設 tiVi ,2,1, ?? 為 V 的真子空間，則 S 中的元素在 iV 中的個數(shù)小于 n ，否則，若 njV jj ,2,1, ???? ???????????????nnnnnnnkkkk????????121112111???? 則由 jinjikk ji ??? ,2,1, ?，知系數(shù)行列式為非零的范德蒙行列式，故有njV jj ,2,1, ???? ，進而 tiVVi ,2,1, ??? 矛盾 .從而 S 中只有有限多 個元素在?ti iV1? 中，而 S 中有無窮多個元素，所以存在 sx? ，但 ?ti iVx 1?? ，即 V 的有限個真子空間不能覆蓋其自身。 例 7 設數(shù)域 F 上的 n 維向量空間 V 的線性變換 ? 有個 n 互異的特征值 n??? ， ?21 ， 則與 ? 可交換的 V 的線性變換都是 : （ 1） 12 , ?ne ??? ? 的線性組合，這里的 e 為恒等變換； （ 2） ?????? 1, ??? nV ? 線性無關的充要條件為 ???ni ia1?這里 ? ? niiii ?,2,1, ?? ???? ， 證明：設 ? 是與 ? 可交換的線性變換，且 ? ? niiii ?,2,1, ?? ???? ， 則 ? ?FkkV ii ?? ?? 是的 ? 不變子空間 ,令 11221 ??????? nnxxxxe ???? ?且 ? ? nik iii ?,2,1, ?? ??? ,則由以下方程組 .. 11 ????????????????????????????11221121222212111212111nnnnnnnnnnxxxxkxxxxkxxxxk??????????????? ??1 因為方程組 ??1 的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，且 ? ???? ?? nij ji?1D ??，所以方程組 ??1 有唯一解，故 是 12 , ?ne ??? ? 的線性組合。 必要性 設 neee , 21 ? 是分別屬于 n??? , 21 ? 的特征向量，則 neee , 21 ? 構成 V 的一個基，因而有 nn ekekek ???? ?2211? . 若 nik i ,2,1,0 ??? ,則 iiek 是 ? 的屬于 i? 的特征向量，故結(jié)論成立。 設knnn aaa , 21 ?是等差數(shù)列 }{an 中任意 k 個數(shù) ,公差 0?d ， 因為 ???????? ??? 2121 11)( 11 12 nnnn aadnnaa ，所以： ]),(),(),([),(1][))()((1)]11()(1)11()(1[)(1]11[)(113213213221322132121231232223213121323212231323121313nnnnnnnnnnnnnnnnnannVannVannVdnnnVannannanndnnnnnnaadnnaadnndnnaaaadnnaaa?????????????????????? 其中 ),( 3213 nnnV 是關于 321 , nnn 的 3 階范德蒙行列式，),(),(),( 212312322 nnVnnVnnV 分別是關于 213132 ,。, nnnnnn 的 2 階范德蒙行列式。 定理 5 設knnn aaa , 21 ?是等差數(shù)列 }{an 中任意 k 個數(shù)，公差 0?d ，則 ]),()1(),(),([),(1]}),()1(),(),()[())((]),()1(),(),()[())({(),()())((1]}),()1(),(),([),(1]),()1(),(),([),(1{)(1)11()(11121132211322113221121211311321)1(121132111421143111312121113113211312121121113211142114311132121113113211211111?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????mmmmmmmmnmmmnmmnmmmmmnmmmnmmnmmmnmmmnmmnmmmmmmmmmmmmmnmmmnmmnmmmmmnmmmnmmnmmmmmmnnnnnnmnnnannnVannnVannnVdnnnVannnVannnVannnVnnnnnnannnVannnVannnVnnnnnndnnnVnnnnnnannnVannnVannnVdnnnVannnVannnVannnVdnnnVdnnaaaaaadnnaaa?????????????????????????????? 即 1??mk 時結(jié)論也成立；故由歸納原理知，結(jié)論對任意正 整數(shù)都成立。 例 8 證明 : 一個 n 次多項式至多有 n 個互異根。 例 9 證明：對平面上 n 個點 ? ?? ?niba ii ??1, ，其中 naaa ?, 21 互不相等 ,則必存在唯一的一個次數(shù)不超過 1?n 的多項式 ??xf 通過該 n 個點 ? ?? ?niba ii ??1, ，即? ? ? ?nibaf ii ??? 1 。.. 15 結(jié) 論 行列式在數(shù)學的各個領域及其他學科中都有著廣泛的應用，并且行列式還有著悠久的歷史。而范德蒙行列式是一類特殊的行列式，它有著獨特的形式及其簡明的計算結(jié)果，所以范德蒙行列式不僅在數(shù)學領域中占據(jù)著重要地位，而且在各個領域中也有著廣泛的應用，范德蒙行列式不僅在行列式理論中有著重要的應用，而且在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中都有廣泛的應用。范德蒙德行列式的結(jié)論計算并不復雜 ,難的是如何將給定的行列式化成范式的標準形式。這就需要我們在學習中不斷總結(jié)，不斷探索關于范德蒙行列式的 規(guī)律，只 有熟能生巧，才能更好的掌握范德蒙行列式的相關知識。尤其要強烈感謝我的論文指導老師，她對我進行了無私的指導和幫助，不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進。在此向幫助和指導過我的各位老師表示最中心的感謝！ 感謝這篇論文所涉及到的各位學者。 感謝我的同學和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多你問素材，還在論文的撰寫和排版燈過程中提供熱