【正文】 ???? xnnx xx0 11 de ???xxxx0 1de )1ln (e xx ???收斂域為 )1,1[ ? . 46 (02,7 分 ) （ 1 ）驗證函數(shù) ?? ???????!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn)( ?????? x滿足微分方程xyyy e?????? ； 例 2 解 （ 1 ）易知 冪級數(shù) ??? 03!)3(nnnx 的收斂域為 ),( ???? ， （ 2 ）利用（ 1 ）的結(jié)果求冪級數(shù) ??? 03!)3(nnnx 的和函數(shù) . 逐項求導(dǎo)得 ,!)13(!8!5!2)(13852?? ?????????nxxxxxy n47 ,!)13(!8!5!2)(13852?? ?????????nxxxxxy n,!)23(!7!4)(2374?? ??????????nxxxxxy n,!)3(!9!6!31)(3963?? ??????? nxxxxxyn,e xyyy ??????所以 yyy ????? .e!!3!2132xnnxxxx ???????? ??48 xyyy e )2( ??????特征方程 012 ??? rr ， 特征根 ir23212,1 ??? ， 對應(yīng)齊次方程的通解為 )2 3s i n2 3c o s(e 212 xCxCYx?? ? ； 設(shè)特解為 xAy e?? ， 代入得 31?A ，即 xy e31?? ， 所以方程的通解為 xxxCxCy e31)2 3s i n2 3c o s(e 212 ??? ? ， 代入初始條件 1)0( ?y 及 0)0( ??y ， 得 0,3221 ?? CC ， 所以冪級數(shù) ??? 03!)3(nnnx的和函數(shù)為 xxy e3123c o s32 ?? . 49 (0 3, 9 分 ) 求冪級數(shù) )1||(2)1()(12??? ???xnxxfnnn 的和函數(shù) )( xf 及其極值 . 例 3 解 ???????112)1()(nnn xxf ,1 2xx???兩邊 0到 x積分，得 ? ???? x xxxfxf 0 2 d1)0()( ,)1l n (21 2x???由 1)0( ?f ，得 )1l n (211)( 2xxf ??? ， )1||( ?x . 令 0)( ?? xf , 得唯一駐點 0?x ， 導(dǎo)數(shù)左正右負， ,1)( 2xxxf ????所以 1)0( ?f 為極大值 . 50 ( 0 5 , 9 分 ) 求冪級數(shù) ?????12)1121(nnxn在區(qū)間 )1,1( ?內(nèi)的和函數(shù) )( xS . 例 4 解 設(shè) ??????12)1121()(nnxnxS， 記 ??? ??121 121)(nnxnxS， ????122 )(nnxxS ， 則 )()()( 21 xSxSxS ?? ， )1,1( ??x . ,1)( 22122 xxxxSnn??? ???)1,1(,1))(( 22121 ?????? ???xxxxxxSnn51 ,)112 1()(12??????nnxnxS ,1)( 22122 xxxxSnn??? ???)1,1(,1))(( 22121 ?????? ???xxxxxxSnn,11ln21d1)(0 221 ? ???????xxxxtttxxS由于 0)0(1 ?S , 故 ,0 , 0 1||0 ,11ln211)(1?????????????xxxxxxS.0 , 0 1||0 ,1111ln21)( 2?????????????xxxxxxxS所以 52 (06,10 分 ) 求冪級數(shù) ???????1121)12()1(nnnnnx的收斂域及和函數(shù) )( xS . 例 5 解 當(dāng) 1|| 2 ?x ，即 1|| ?x 時，冪級數(shù)收斂； )12()1()12)(1()1(l i m 12132????? ????? nnxnnx nnnnn,|| 2x?當(dāng) 1|| ?x 時，冪級數(shù)發(fā)散； 當(dāng) 1??x 時，級數(shù) ??????11)12()1(nnnn、 ??? ??1 )12()1(nnnn均收斂， 所以收斂域為 ]1,1[ ? . 53 ????????1121)12()1()(nnnnnxxS ???????121)12(2)1(2nnnnnxx ,)(2 1 xxS?,)12(2 )1()(1211 ???????nnnnnxxS,12)1()(11211 ?????????nnnnxxS?????????12211 )1()(nnn xxS ,112x??,ar c tand1 1)0()(0 211xttSxS x ?????? ?0)0(1 ??S ，所以 xxS a r ct a n)(1 ?? ， ??? x tSxS 011 dar c tan)0()( ,)1l n (21ar c tan 2xxx ???,0)0(1 ?S 所以 )1l n (21a r c t an)( 21 xxxxS ??? ， 54 ,)(2)( 1 xxSxS ? )1l n (21ar c tan)( 21 xxxxS ???故 )1l n (a r c t a n2)( 22 xxxxxS ??? . 由于所給冪級數(shù)在 1??x 處都收斂 , 且 )( xS 在 1??x處連續(xù)，故上式在 ]1,1[ ? 成立 . 55 答案 : 求冪級數(shù) ???????121))12(11()1(nnnxnn的收斂區(qū)間與和函數(shù) . 類題 [Ⅰ05(16)12] ,)1l n (ar c tan21)( 222xxxxxxf ????? .1?x56 (99,3 分 ) 級數(shù) )21(11 ?????nnn . 題型 4：求數(shù)項級數(shù)的和 例 1 令 ?????11)(nnnxxS ， 解 于是 4)21()21(11 ?????? Snnn . )()( 1?? ???nnxxS則 )1( ??? xx,)1( 1 2x?? 1|| ?x57 解 求級數(shù) ??????022)1()1(nnn nn的和 . 原式 ???????????02)21()21)(1(nnnnnn , 322/111)21(0???????nn , ????2)1(nnxnn ??????222 )1(nnxnnx )(22 ???? ???nnxx )11 1(2 ?????? xxx 32)1(2xx?? , 1|| ?x ； 將 21??x 代入 , 得 274)21)(1(2??????nnnn , 所以原式 272232274 ??? . 例 2 (Ⅰ93 五 7) 58 ( 9 8 , 6 分 ) 設(shè)有兩條拋物線nnxy12?? 和2)1( xny ?? 11??n，記它們交點的橫坐標(biāo)的絕對值為