【正文】 na ，（ 1 ）求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積nS ；（ 2 ）求級數(shù) ??? 1n nnaS的和 . 例 3 解 解方程組 ?????????????11)1(122nxnynnxy 得 )1(12??nnx ， 從而 )1(1??nna n . 59 x y o )1(1??nna n? ?????? nan xnxnnnxS 0 22 d]11)1(1[2? ??? na xxnn0 2 d])1( 1[2 ,)1()1( 134 ??? nnnn因此 )1( 134 ?? nnaSnn )111(34???nn ， 于是 ??? 1n nnaS )111(34lim????? nn 34? . 60 (00,6 分 ) 設 ?? 40dc oss i n?xxxI nn , ?,1,0?n ，求 ??? 0nnI . 例 4 解 ?? 40 dc oss i n?xxxI nn ?? 40s i nds i n?xxn401s i n11 ?xnn ??? ,)22(11 1???nn??????? ??010)2 2(11nnnn nI ,)22(11????nnn所以 考慮冪級數(shù) ,)(1????nnnxxS ,11)(11xxxS nn???? ???? 1|| ?x? ?? ??? 0 1 d)0()( xxSxS ,)1ln ( x??? 11 ??? x所以 .)22l n ()221l n ()22(0?????????SInn61 (+0 8 , 9 分 ) 利用正項級數(shù)判斂方法說明級數(shù) ?????1 211n nnn 是收斂的；（ 2 分）（ 2 ）求出上面收斂級數(shù)的和。 24 (91,3 分 ) 設na n10 ?? ( ?,2,1?n ) ，則下列級數(shù)中肯定收斂的是 解 例 3 (A) ??? 1nna ( B ) ????1)1(nnn a ( C ) ??? 1nna ( D ) ????12)1(nnn a 由 na n 10 ?? ( ?,2,1?n ) ， 得 222 1|)1(| naa nnn ??? ， 而級數(shù) ??? 121n 收斂， 所以級數(shù) ????12)1(nnn a 絕對收斂 . 【答案】 應 選 (D). 25 (91,3 分 ) 設na n10 ?? ( ?,2,1?n ) ，則下列級數(shù)中肯定收斂的是 解 例 3 (A) ??? 1nna ( B ) ????1)1(nnn a ( C ) ??? 1nna ( D ) ????12)1(nnn a ( A ) 、 ( C ) 反例： na n 2 1? ； 【評注】 ( D ) 反例：??????為偶數(shù)為奇數(shù)nnna n ,21 ,0 . 26 (94,3 分 ) 設常數(shù) 0?? ，且級數(shù) ??? 12nna 收斂，則 解 例 4 (A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發(fā)散 (D) 斂散性與 ? 有關(guān) . 由于 ??? 12nna 和 ??? ?121n n ?都是收斂的， 從而原級數(shù)絕對收斂 . 由基本不等式可知， ,)1(21||222 ?? ???? nanann級數(shù) ??? ??1 2||)1(nnnna? 由比較審斂法可知， ??? ?1 2||nnna?收斂， 【答案】 應 選 (B). 27 解 （ A ）若 ??? 12nnu 和 ??? 12nnv 都收斂 , 則 ????12)(nnn vu 也收斂； （ B ）若 ??? 1nnn vu 收斂 , 則 ??? 12nnu 和 ??? 12nnv 都收斂； （ C ）若正項級數(shù) ??? 1nnu 發(fā)散 , 則 nu n1?； （ D ）若 ??? 1nnu 收斂 , 且 nn vu ? , 則 ??? 1nnv 也收斂 . 例 5 (96,3分 ) 下列各選項正確的是（ ） . 由正項級數(shù)的比較判別法可得結(jié)論 . 【答案】 應 選 (A). ,)(22)( 22222 nnnnnnnn vuvvuuvu ??????因為28 解 (A) ??? 1nnu 與 ??? 12nnu 都收斂； (B) ??? 1nnu 與 ??? 12nnu 都發(fā)散； (C) ??? 1nnu 收斂而 ??? 12nnu 發(fā)散； (D) ??? 1nnu 發(fā)散而 ??? 12nnu 收斂 . ( Ⅰ 95 二 3) 設 )11l n ()1(nu nn ??? , 則正確的是（ ） . ??? 1nnu 為萊布尼茲型級數(shù) , 收斂； 例 6 22 )11l n (?????? ??nu n nn11 2~ ?????????, 因 ??? 11n n發(fā)散 , 由比較審斂法 , 知正項級數(shù) ??? 12nnu 發(fā)散 . 【答案】 應 選 (C). 29 解 ( Ⅰ 00 二 3) 設級數(shù) ??? 1nnu 收斂，則下列級數(shù)中必收斂的是（ ） . （ A ） ????1)1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu 因為 ??? 1nnu 、 ????11nnu 都收斂 , 所以 ?????11 )(nnn uu 也收斂 . 例 7 【答案】 應 選 (D). 30 解 （ A ） ????1)1(nnnnu （ B ） ??? 12nnu （ C ） ?????1212)(nnnuu （ D ） ?????11)(nnnuu （ A ）反例： ????1 ln)1(nnn； （ B ）反例： ?????1)11l n()1(nnn； 例 7 （ C ）反例： ????1)1(nnn. ( Ⅰ 00 二 3) 設級數(shù) ??? 1nnu 收斂，則下列級數(shù)中必收斂的是（ ） . 31 解 判斷級數(shù) ??? 21s i nln1n nn的收斂性。 若 ??? 1||nnu 發(fā)散 , 而 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 為條件收斂 . 任意項級數(shù)及其審斂法 11 函數(shù)項級數(shù) (1) 定義 設 ?? ),(,),(),(21xuxuxun是定義在 RI ? 上的函數(shù) , 則 ?? ????????)()()(211xuxuxunn稱為定義在區(qū)間 I 上的 ( 函數(shù)項 ) 無窮級數(shù) .(2) 收斂點與收斂域 如果 Ix ?0 , 數(shù)項級數(shù) ??? 10 )(nn xu 收斂 , 則稱 0x 為級數(shù) )(1xunn???的 收斂點 , 否則稱為 發(fā)散點 . 12 函數(shù)項級數(shù) )(1xunn???的所有收斂點的全體稱為 收斂域 ,(3) 和函數(shù) 在收斂域上 , 函數(shù)項級