【正文】 數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs , 稱 )( xs 為函數(shù)項級數(shù)的 和函數(shù) . 所有發(fā)散點的全體稱為 發(fā)散域 . 13 (1) 定義 形如 nnn xxa )(00???? 的級數(shù)稱為 冪級數(shù) . ,00 時當 ?x 其中 na 為冪級數(shù)系數(shù) .冪級數(shù) nnn xa??? 0(2) 定理 ( A b e l 定理 ) (1) 如果級數(shù) ??? 0nnn xa 在)0( 00 ?? xxx 處收斂 , 則它在滿足不等式 |||| 0xx ? 的一切 x 處絕對收斂 。 1?? 時失效 .9 定義 正 、負項相間的級數(shù)稱為 交錯級數(shù) . ?nnnnnn uu ??????? ??111 )1()1( 或萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件 : ( ⅰ ) ),3,2,1(1????nuunn。 1?? 時失效 .根值審斂法 ( 柯西判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項級數(shù) , 如果 ???? n nn ulim )( ??為數(shù)或? , 則 1?? 時級數(shù)收斂 。 0?l ???1nnv ???1nnu7 幾何級數(shù) ??? 0nnaq , 當 1|| ?q 時收斂； 1|| ?q 時發(fā)散； ?p 級數(shù) ??? 11npn, 當 1?p 時收斂； 1?p 時發(fā)散； 特別 , 調(diào)和級數(shù) ??? 11n n發(fā)散 . qa?1以下兩個級數(shù)是常用的比較對象： 8 比值審斂法 ( 達朗貝爾 D ’ Alembert 判別法 ) 設(shè) ??? 1nnu 是正項級數(shù) , 如果 )(l i m1 ????????數(shù)或nnn uu 則 1?? 時級數(shù)收斂 。 則 (1) 兩級數(shù)有相同的斂散性 ???? l0 (3) 當 時 , 若 ? ? ? 1 n n v 發(fā)散 , 則 ? ? ? 1 n n u 發(fā)散 。, 則級數(shù)收斂若 SS n ?2. 。1 第六章 無窮級數(shù) 2 ?? ?????????nnn uuuuu 3211常數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù)收斂 ( 發(fā)散 ) ? nn s??l im 存在 ( 不存在 ) .???????niinn uuuus121 ?級數(shù)的部分和 定義 級數(shù)的收斂與發(fā)散 3 性質(zhì) 1: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù) ,斂散性不變 . 性質(zhì) 2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減 . 性質(zhì) 3:在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性 . 性質(zhì) 4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和 . .0lim ??? nn u級數(shù)收斂的必要條件 : 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 4 常數(shù)項級數(shù)審斂法 正項級數(shù) 任意項級數(shù) 4. 萊布尼茨定理 3. 按基本性質(zhì) 。 1. 。,0, 則級數(shù)發(fā)散當 ??? nun交錯級數(shù) 5 定義 0,1????nnn uu.有上界部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂 ns?正項級數(shù)及其審斂法 充分必要條件 : (1) 比較審斂法 若 ??? 1nnu 收斂 ( 發(fā)散 ) 且 )( nnnn vuuv ?? ,則 ??? 1nnv 收斂 ( 發(fā)散 ) .6 比較審斂法的極限形式： , 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項級數(shù) 如果 ,lim lvunnn???, 當 時 。 ???l (2) 當 時，若 收斂 , 則 收斂 。 1?? 時級數(shù)發(fā)散 。 1?? 時級數(shù)發(fā)散 。( ⅱ ) 0l i m ???nnu , 則級數(shù)收斂 , 且其和1us ? , 其余項 nr 的絕對值1||??nnur . )0( ?nu其中交錯級數(shù)及其審斂法 10 定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為 任意項級數(shù) . 定理 若 ??? 1||nnu 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 . 定義 若 ??? 0||nnu 收斂 , 則稱 ??? 0nnu 為絕對收斂 。 (2) 如果級數(shù) ??? 0nnn xa 在 0xx ? 處發(fā)散 , 則它在 滿足不等式 |||| 0xx ? 的一切 x 處發(fā)散 . 14 定理 如果冪級數(shù) ??? 0nnn xa 的所有系數(shù) 0?na , 則冪級數(shù) ??? 0nnn xa 的收斂半徑為 ????????????????? , 00 , 0 , 1/R , 設(shè) ????? nnn aa 1lim ( 或 ????nnn al i m ) 簡單地講 , 就是 1l i m????nnn aaR . (3) 收斂半徑 15 (4) 和函數(shù)的分析運算性質(zhì)： 設(shè)冪級數(shù) ??? 0nnn xa 的收斂半徑為 R , 收斂域為 I ,且和函數(shù)為 )( xS . 下面介紹 )( xS 的三個性質(zhì) . 性質(zhì) 1 )( xS 在 ??? 0nnn xa 的收斂域 I 內(nèi)連續(xù) . 性質(zhì) 2 )( xS 在 ??? 0nnn xa 的收斂域 I 內(nèi)可積 , 且有逐項積分公式： .1d)( 100????? ?? nnnx xnaxxS且收斂半徑仍為 R. 16 性質(zhì) 3 )( xS 在 ),( RR? 內(nèi)可導 , 且有逐項求導公式： )( xS?.11?????nnn xna且收斂半徑仍為 R. 注 : ( 1 ) 實際上 , )( xS 在 ),( RR? 內(nèi)任意階可導 . (2) 端點處的收斂性可能 發(fā)生變化 . 17 冪級數(shù)展開式 如果 )( xf 在點 0x 處任意階可導 , 則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)(????稱為 )( xf 在點 0x 的 泰勒級數(shù) . nnnxnf??? 0)(!)0( 稱為 )( xf 在點 0x 的 麥克勞林級數(shù) . (1) 定義 18 定理 )( xf 在點 0x 的泰勒級數(shù) , 在 )( 0xU ? 內(nèi)收斂于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 內(nèi) 0)(l i m ???xR nn.(2) 充要條件 (3) 唯一性 定理 如果函數(shù) )( xf 在 )(0xU?內(nèi) 能 展開成 )(0xx ?的冪級數(shù) , 即 nnnxxaxf )()(00?? ???, 則其系數(shù) ),2,1,0()(!10)(??? nxfnann 且展開式是唯一的 . 19 (3) 展開方法 (泰勒級數(shù)法 ) 步驟 : ，求 ! )()1( 0)(nxfa nn ?,|)(|0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或討論).( xf斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過 變量代換 , 四則運算 , 恒等變形 , 逐項求導 , 逐項積分 等方法 ,求展開式 . 并求出收斂半徑 R ； 20 ),(,!1!211e 2 ??????????? xxnxx nx ??,!)12()1(!51!31s i n 1253 ?? ?????????nxxxxx nn),( ?????x,!)2()1(!41!211c os242 ?? ???????nxxxx nn),( ?????x(4) 常見函數(shù)展開式 21 )1,1(??x?)1( x?)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxxnn 132 )1(3121]1,1(??x??? ?????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2 ??????( α 不為正整數(shù) ) ,1 10?????nnxx)1,1(??x22 典型例題 題型 1：判定數(shù)項級數(shù)的斂散性 例 1 ?????11)1(n nnnnnn判別下列級數(shù)的收斂性： 解 nnnnnnnnu)1(1???nnnn)11(2