【正文】 ( 16 20 ) 原假設(shè)和備擇假設(shè)分別是， H0： ? = 1 ，（ yt有單位根）； H1： ? 1 ，（ yt無單位根）。 當式 ( 16 19 ) 中加入位移項 ? 和趨勢項 ? t 時， DF 分布分別與式 ( 16 1 3 ) 和 ( 16 1 4 ) 中 ? 的 DF 分布漸近相同。進而被足夠的 ? yt i項所吸收，使tv?近似為一個白噪聲序列。 ut的自相關(guān)項對于模型 ( 16 18 ) 來說是移動平均項，所以 ? yt 滯后項的加入可以吸收之。 yt =??yt 1 +??ki 1???? yt i + tv? ( 16 19 ) 若 ? = 1 ，上式是關(guān)于 ? yt的 A R ( k ) 過程?？紤] yt可以用如下 A R ( 1) 過程描述。 當模型 ( 16 16 ) 中含有位移項 ? 和趨勢項 ? t 時，相應(yīng)于 ? 的 DF 統(tǒng)計量的分布則分別與模型 ( 16 13 ) 和 ( 16 14 ) 中的 DF 統(tǒng)計量的分布漸近相同。式 ( 16 16 ) 中的差分項 ? yt j , j = 1, 2, …, p – 1 之所 以不會對DF 統(tǒng)計量的分布產(chǎn)生影響是因為當 yt ? I( 1) 時， 則全部 ? yt j ? I( 0 ) 。所以可以利用式（ 16 16 ）中 ? 的 DF 統(tǒng)計量的分布研究 AR( p ) 時間序列（ 16 15 ）的非平穩(wěn)性。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 把式 ( 16 15 ) 用自回歸算子表示為 ? ( L ) yt = ut 若 yt 存在一個單位根，上式可以表達為 ? ( L ) * ( 1 – L ) yt = ? ( L ) * ? yt = ut ( 16 17 ) 其中 ? ( L ) * 表示從 p 階自回歸算子 ? ( L ) 中分離出因子 ( 1 – L ) 后所得的p – 1 階自回歸算子。 yt = ? yt 1 +jtpjjy?????11??+ ut ( 16 16 ) 其中 ? = ??pii1?， ?j* = ???pjii1?, j = 1, 2 , …, p – 1 ， ?i 為式 ( 16 15 ) 中的自回歸系數(shù)。 .0.1.2.3.4.56 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6T 3 2 F Z.0.1.2.3.4.56 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6T 3 1 F Z T 3 2 F 式（ 16 13 ） 中)?(?t的分布 式（ 16 14 ） 中)?(?t和)?(?t的分布 (fil e : d f d istr ib u tio n a ) 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 1 6 .2 .2 A R ( p ) 含單位根過程的 DF 分布 以上定義的數(shù)據(jù)生成過程對于研究實際經(jīng)濟變量仍然太嚴格，還應(yīng)該進一步放寬限制，討論在 A R ( p ) 含單位根時間序列條件下，檢驗用統(tǒng)計量的分布特征。根據(jù)張曉峒、攸頻（ 2 006 ），式 （ 16 14 ）中的)?(?t和)?(?t也不服從通常的 t 分布。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 yt = yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 7 ) yt = ? + ? t + yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 9 ) 模型 T ?? 0 . 0 1 0 . 0 2 5 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 9 0 0 . 9 5 0 . 9 7 5 0 . 9 9 2 5 4 . 3 8 3 . 9 5 3 . 6 0 3 . 2 4 1 . 1 4 0 . 8 0 0 . 5 0 0 . 1 5 (c ) 5 0 4 . 1 5 3 . 8 0 3 . 5 0 3 . 1 8 1 . 1 9 0 . 8 7 0 . 5 8 0 . 2 4 生成過程（ 16 7 ） 1 0 0 4 . 0 4 3 . 7 3 3 . 4 5 3 . 1 5 1 . 2 2 0 . 9 0 0 . 6 2 0 . 2 8 估計式（ 16 9 ） 2 5 0 3 . 9 9 3 . 6 9 3 . 4 3 3 . 1 3 1 . 2 3 0 . 9 2 0 . 6 4 0 . 3 1 5 0 0 3 . 9 8 3 . 6 8 3 . 4 2 3 . 1 3 1 . 2 4 0 . 9 3 0 . 6 5 0 . 3 2 ? 3 . 9 6 3 . 6 6 3 . 4 1 3 . 1 2 1 . 2 5 0 . 9 4 0 . 6 6 0 . 3 3 048121620240 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1b e t a 1 b e t a 2 b e t a 3 3 個檢驗式??分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 .0.1.2.3.4.5.66 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4D F 1D F 2D F 3Z 3 個檢驗式 DF 分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 yt = ? + ? t + ? yt 1 + ut ( 16 14 ) 當真實的過程是式 ( 16 7 ) 或 ( 16 8 ) ，而用式 ( 16 14 ) 進行估計時，隨著 T ? ? ， 統(tǒng)計量 )?( ?t的漸近分布也是 維納 過程的泛函。)?(?t的極限分布是??)?()?(????st???? ??????????102210102101022))((])([))(()(]1))1([(21))(()1(diiWdiiWdiiWdiiWWdiiWW 同樣是 維納 過程的泛函。 024681012140 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1B e t a 1 d i s t r i b u t i o n .0.1.2.3.4.5.66 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5D F d i s t r i b u t i o n 圖 16 7 ? =1 條件下，式（ 16 13 ）??分布的模擬 圖 16 8 ? =1 條件下，式（ 16 1 3 ） DF 分布的模擬 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 yt = ? + ? yt 1 + ut ( 16 13 ) 式 （ 16 13 ）中 DF 分布的百分位數(shù)表見附表 8 b 部分。盡管真值 ? = 1 ，但??分布的峰值卻小于 1 。 取樣本容量 T = 100 ，用蒙特卡羅方法模擬 1 萬次得到的??和 DF 的分布分別見圖 16 7 和圖 16 8 。 模型 T ?? 0 . 0 1 0 . 0 2 5 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 9 0 0 . 9 5 0 . 9 7 5 0 . 9 9 2 5 2 . 6 6 2 . 2 6 1 . 9 5 1 . 6 0 0 . 9 2 1 . 3 3 1 . 7 0 2 . 1 6 (a ) 5 0 2 . 6 2 2 . 2 5 1 . 9 5 1 . 6 1 0 . 9 1 1 . 3 1 1 . 6 6 2 . 0 8 生成過程（ 16 7 ） 1 0 0 2 . 6 0 2 . 2 4 1 . 9 5 1 . 6 1 0 . 9 0 1 . 2 9 1 . 6 4 2 . 0 3 估計式（ 16 12 ） 2 5 0 2 . 5 8 2 . 2 3 1 . 9 5 1 . 6 2 0 . 8 9 1 . 2 9 1 . 6 3 2 . 0 1 5 0 0 2 . 5 8 2 . 2 3 1 . 9 5 1 . 6 2 0 . 8 9 1 . 2 8 1 . 6 2 2 . 0 0 ? 2 . 5 8 2 . 2 3 1 . 9 5 1 . 6 2 0 . 8 9 1 . 2 8 1 . 6 2 2 . 0 0 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 1 6 .2 單位根檢驗 yt = yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 7 ) yt = ? + ? yt 1 + ut ( 16 13 ) 同理，當真實的過程是式 ( 16 7 ) ，而用式 ( 16 13 ) 進行估計時，隨著 T ? ? ，統(tǒng)計量 )?( ?t的漸近分布也是 維納 過程的泛函。 由于這個極限分布無法用解析的方法求解，通常是用蒙特卡羅模擬和數(shù)值計算的方法研究 DF 統(tǒng)計量的分布。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 當 ? = 1 時 ，即當真實的數(shù)據(jù)生成過程是式 ( 16 7 ) ，而用式 ( 16 12 ) 進行估計， 統(tǒng)計量)?( ?t服從什么分布呢？定義此條件下的統(tǒng)計量為 DF =)?( ?t=)?(1???s?， 可以證明（略），當 T ? ? 時， DF =)?()1?(??s??2/11022))(()1)1()(2/1(diiWW?? 其中 ? 表示弱收斂于， W ( i ) 表示標準的 維納 過程。)?( ?t的極限分布是標準正態(tài)分布。 給出回歸式： yt = ? yt 1 + ut ( 16 12 ) 如果 ? = 0 ，統(tǒng)計量，)?( ?t=)?(???s? t ( T 1 ) 其中)?( ?s是??的樣本標準差。當 ? 1 時，必然有 ? ? 0 ， yt為 退勢平穩(wěn) 過程（ 16 11 ）；當 ? = 1 時，必然有 ? =0 ， yt為隨機趨勢過程（ 16 8 ）。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學 整理上式，得趨 勢 平穩(wěn)過程（ 16 10