【正文】 ? t + ? yt 1 + vt, ( ? 1, vt ? II D ( 0, ?2) ) （ 16 11 ） 其中 ? = ?0 ? ( ?0 ?1) , ? = ?1(1 ? ) 。趨勢 平穩(wěn) 過程見圖 16 6 。因為 ut是平穩(wěn)的， yt只會暫時背離趨勢。過程（ 16 9 ） 稱作 趨勢非 平穩(wěn)過程 。過程（ 16 8 ） 稱作隨機(jī)趨勢過程。隨著 T ? ? ， T 1/2)?( 1?t的極限分布是維納（ W i ener ）過程的泛函。若仍用通常的 t 檢驗臨界值進(jìn)行假設(shè)檢驗，那么拒絕 ?1 = 0 的概率就會大大增加。 xt和 yt為 I( 1) 過程且相互獨立。 0 . 70 . 80 . 91 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24T = 5 0T = 1 0 0T = 1 0 0 0 圖 16 1 t = 5 0 、 1 0 0 、 1 0 0 0 條件下隨機(jī)游走過程的自相關(guān)函數(shù)圖 k 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對于 A R ( 1) 過程 yt = ?1 yt 1 + vt , ? ?1? 1, y0 = 0, vt ? IN(0 , ?v2) ( 1 6 4 ) 進(jìn)行迭代運算，得 yt = vt + ?1vt 1 + ?12 yt 2 = … = ????101tiitiv? 對上式分別求期望和方差， E ( yt) = E (????101tiitiv?) = 0 V ar( yt) = E (????101tiitiv?)2 =22111v??? A R ( 1) 過程的自相關(guān)函數(shù)是 ?k = ?1k，（ 見第 14 章 14 . 節(jié) ） 。其均值為零，方差為 ?u2。當(dāng) zt的單 積次 數(shù)小于 d時，則稱 yt與 xt存在協(xié)整（協(xié) 積 ）關(guān)系。用 yt ? I( d ) 表示。 若時間序列 yt ? I( d ) ， xt ? I( c ) ，則 zt = ( a yt + b xt) ? I ( m ax[ d , c ]) 當(dāng) d c 時， zt ? I ( d ) ，即 zt只有經(jīng)過 d 次差分才能平穩(wěn)。 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第 1 6 章 單位根檢驗 與協(xié) 整 1 6 .1 .2 單 積 時間序列的統(tǒng)計特征 首先以隨機(jī)游走過程和平穩(wěn)的 A R ( 1) 過程為代表討論非平穩(wěn)過程和平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征。對上式進(jìn)行迭代運算，得 yt = yt 2 + ut 1 + ut = … = ??tiiu1 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對上式分別求期望、方差和自相關(guān)系數(shù)， E ( yt) = E (??tiiu1) =??tiiu1)(E= 0 ， V ar ( yt) = V ar (??tiiu1) =??tiiu1)(V a r= t ?u2 C ov ( yt, yt k) = E( yt yt k) = E(?????ktiitii uu11) = E(???ktiiu12) = ( t k ) ?u2 ?k =)(V a r)(V a r),(C ovkttkttyyyy??= 222)()(uuukttkt?????=tktkt???1 ( 16 3 ) 只有當(dāng)樣本容量 t 趨于無窮時，相關(guān)系數(shù)才等于 1 。 第 16章 單位根檢驗與協(xié)整 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 把上面的結(jié)果總結(jié)如表 16 1 。 反復(fù)生成樣本容量 T = 1 0 0 的時間序列 xt和 yt 各 1 萬次，并相應(yīng)作如下一元線性回歸， yt = ?0 + ?1 xt + wt 其中 wt表示隨機(jī)誤差項。此外隨著樣本容量的增加，拒絕 ?1 = 0 的概率會變得越來越大。所以統(tǒng)計量)?( 1?t的分布是發(fā)散的。迭代展開后該過程含有一個確定性時間趨勢項 ? t 。迭代展開后該過程含有一個確定性 2 次時間趨勢項， ( ? / 2) t2。 yt + k的長期預(yù)測值將趨近于趨勢線 ?0+ ?1( t +k ) 。 趨勢平穩(wěn)過程也稱為退勢平穩(wěn) 過程，因為其減去趨勢后為平穩(wěn)過程， yt ?1t = ?0+ ut。當(dāng) ? 1 時，必然有 ? ? 0 ， yt為 退勢平穩(wěn) 過程（ 16 11 ）；當(dāng) ? = 1 時，必然有 ? =0 ， yt為隨機(jī)趨勢過程（ 16 8 ）。)?( ?t的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 由于這個極限分布無法用解析的方法求解，通常是用蒙特卡羅模擬和數(shù)值計算的方法研究 DF 統(tǒng)計量的分布。 取樣本容量 T = 100 ，用蒙特卡羅方法模擬 1 萬次得到的??和 DF 的分布分別見圖 16 7 和圖 16 8 。 024681012140 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1B e t a 1 d i s t r i b u t i o n .0.1.2.3.4.5.66 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5D F d i s t r i b u t i o n 圖 16 7 ? =1 條件下，式（ 16 13 ）??分布的模擬 圖 16 8 ? =1 條件下，式（ 16 1 3 ） DF 分布的模擬 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) yt = ? + ? yt 1 + ut ( 16 13 ) 式 （ 16 13 ）中 DF 分布的百分位數(shù)表見附表 8 b 部分。 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) yt = yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 7 ) yt = ? + ? t + yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 9 ) 模型 T ?? 0 . 0 1 0 . 0 2 5 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 9 0 0 . 9 5 0 . 9 7 5 0 . 9 9 2 5 4 . 3 8 3 . 9 5 3 . 6 0 3 . 2 4 1 . 1 4 0 . 8 0 0 . 5 0 0 . 1 5 (c ) 5 0 4 . 1 5 3 . 8 0 3 . 5 0 3 . 1 8 1 . 1 9 0 . 8 7 0 . 5 8 0 . 2 4 生成過程（ 16 7 ） 1 0 0 4 . 0 4 3 . 7 3 3 . 4 5 3 . 1 5 1 . 2 2 0 . 9 0 0 . 6 2 0 . 2 8 估計式（ 16 9 ） 2 5 0 3 . 9 9 3 . 6 9 3 . 4 3 3 . 1 3 1 . 2 3 0 . 9 2 0 . 6 4 0 . 3 1 5 0 0 3 . 9 8 3 . 6 8 3 . 4 2 3 . 1 3 1 . 2 4 0 . 9 3 0 . 6 5 0 . 3 2 ? 3 . 9 6 3 . 6 6 3 . 4 1 3 . 1 2 1 . 2 5 0 . 9 4 0 . 6 6 0 . 3 3 048121620240 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1b e t a 1 b e t a 2 b e t a 3 3 個檢驗式??分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) .0.1.2.3.4.5.66 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4D F 1D F 2D F 3Z 3 個檢驗式 DF 分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) yt = ? + ? t + ? yt 1 + ut ( 16 14 ) 當(dāng)真實的過程是式 ( 16 7 ) 或 ( 16 8 ) ，而用式 ( 16 14 ) 進(jìn)行估計時，隨著 T ? ? ， 統(tǒng)計量 )?( ?t的漸近分布也是 維納 過程的泛函。 .0.1.2.3.4.56 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6T 3 2 F Z.0.1.2.3.4.56 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6T 3 1 F Z T 3 2 F 式（ 16 13 ） 中)?(?t的分布 式（ 16 14 ） 中)?(?t和)?(?t的分布 (fil e : d f d istr ib u tio n a ) 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 1 6 .2 .2 A R ( p ) 含單位根過程的 DF 分布 以上定義的數(shù)據(jù)生成過程對于研究實際經(jīng)濟(jì)變量仍然太嚴(yán)格，還應(yīng)該進(jìn)一步放寬限制，討論在 A R ( p ) 含單位根時間序列條件下，檢驗用統(tǒng)計量的分布特征。 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 把式 ( 16 15 ) 用自回歸算子表示為 ? ( L ) yt = ut 若 yt 存在一個單位根，上式可以表達(dá)為 ? ( L ) * ( 1 – L ) yt = ? ( L ) * ? yt = ut ( 16 17 ) 其中 ? ( L ) * 表示從 p 階自回歸算子 ? ( L ) 中分離出因子 ( 1 – L ) 后所得的p – 1 階自回歸算子。式 ( 16 16 ) 中的差分項 ? yt j , j = 1, 2, …, p – 1 之所 以不會對DF 統(tǒng)計量的分布產(chǎn)生影響是因為當(dāng) yt ? I( 1) 時， 則全部 ? yt j ? I( 0 ) ?？紤] yt可以用如下 A R ( 1) 過程描述。 ut的自相關(guān)項對于模型 ( 16 18 ) 來說是移動平均項，所以 ? yt 滯后項的加入可以吸收之。 當(dāng)式 ( 16 19 ) 中加入位移項 ? 和趨勢項 ? t 時， DF 分布分別與式 ( 16 1 3 ) 和 ( 16 1 4 ) 中 ? 的 DF 分布漸近相同。在零假設(shè)成立條件下， DF =)?(1???s?=???