考研數(shù)學(xué)概率名師精華講義e極限定理-文庫吧資料
2024-09-12 01:47本頁面
【正文】 1 ，． Ⅲ、典型例題分析 〖 填空題 〗 例 （ 棣莫佛 拉普拉斯定理 ） 設(shè)某種電氣元件不能承受超負(fù)荷試驗(yàn)的概率為 ． 現(xiàn)在對(duì) 100 個(gè)這樣的元件進(jìn)行超負(fù)荷試驗(yàn)，以 X 表示不能承受試驗(yàn)而燒毀的元件數(shù)，則根據(jù)中心極限定理 ? ???? 105 XP ． 分析 不能承受試驗(yàn)而燒毀的元件數(shù) X～ ),( pnB ．根據(jù)棣莫佛 拉普拉斯定理， X 近似服從正態(tài)分布 ),( npqnpN ，其中 n=100， p=， q=．因此 ? ?．4 8 9 )0()(5051050105105????????? ?????????? ??????????? ??????????XXn p qnpn p qnpXn p qnpXPPPP 例 （棣莫佛 拉普拉斯定理）設(shè)試驗(yàn)成功的概率 p=20%，現(xiàn)在將 試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行 100次，則試驗(yàn)成功的次數(shù)介于 16和 32次之間的概率 Q ? ． 分析 以 n? 表示 100 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)，則 ) 1 0 0(~ ，Bn? ，且 4)1(20 ????? pnpnp nn ?? DE ，． 因此試驗(yàn)成功的次數(shù)介于 16 和 32 次之間的概率 ? ?? ? ? ? ， 41 98 )1(1)3()1()3(42032420420203216???????????????? ??????????????? nnQ PP 其中 )(u? 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． — — 例 （棣莫佛 拉普拉斯定 理） 將一枚均勻?qū)ΨQ的硬幣接連擲 10000 次，則正面恰好出現(xiàn) 5000 次的概率 ?? ． 分析 正面出現(xiàn)的次數(shù) ? ) , 10000(~ B ， 2 5 0 0,5 0 0 0 ?? ?? DE ．根據(jù)局部定理，有 12D 1}500 0{ ????? ????? P ． 例 （辛欽大數(shù)定律） 將一枚色子重復(fù)擲 n 次，則當(dāng) ??n 時(shí)， n 次擲出點(diǎn) 數(shù)的算術(shù)平均值 nX 依概率收斂于 7/2 ． 分析 設(shè) nXXX , 21 ? 是各次擲出的點(diǎn)數(shù)，它們顯然獨(dú)立同分布，每次擲出點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于 7/2．因此，根據(jù)辛欽大數(shù)定律， nX 依概率收斂于 7/2． 〖 選擇題 〗 例 （中心極限定理） 設(shè)隨機(jī)變量 nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立，nn XXXS ???? ?21 ，則根據(jù)列維 林德伯格中心極限定理， 當(dāng) n 充分大時(shí) nS近似服從正態(tài)分布，只要 nXXX , 21 ? (A) 有相同期望和方差． (B) 服從同一離散型分布． (C) 服從同一指數(shù)分布． (D) 服從同一連續(xù)型分布． [ C ] 分析 應(yīng)選（ C）．列維 林德伯格中心極限定理的條件是：隨機(jī)變量nX,X,X ?21 相互獨(dú)立同分布 , 并且其數(shù)學(xué)期望和方差存在．由于有相同的數(shù)學(xué)期望未必有相同分布，可見 (A)不滿足定理?xiàng)l件．滿足 (B)和 (D)的隨機(jī)變量 iX 的數(shù)學(xué)期望或方差未必存在，故 (B)和 (D)也不滿足定理?xiàng)l件．于是，只有 (C)成立 (指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差都存在 )． 例 （大數(shù)定律）下列命題正確的是 (A) 由辛欽大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律． (B) 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出辛欽大數(shù)定律． (C) 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出伯努利大數(shù)定律． (D) 由伯努利大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律． [ C ] 分析 應(yīng)選（ C）．切比雪夫大數(shù)定律的條件是 ：隨機(jī)變量 ?? , 21 nXXX兩兩獨(dú)立，并且存在常數(shù) C，使 ),2,1( ?? niCX i ??D ；這樣的常數(shù) C 對(duì)于選項(xiàng)（ C）存在．伯努利大數(shù)定律可以表述為：假設(shè)隨機(jī)變量 ?? , 21 nXXX 獨(dú)立同服從參數(shù)為 p 的 01 分布，則 pXn ni in ?? ???? 11limP ； 對(duì)于服從參數(shù)為 p 的 01 分布隨機(jī)變量 ?? , 21 nXXX ，顯然 — — ),2,1(41)1( ?? nippX i ????D ． 從而滿足服從切比雪夫大數(shù)定律的條件． 此外，（ A），（ B）和（ D）顯然不成立． 〖 計(jì)算題 〗 例 （棣莫佛 拉普拉斯定理） 設(shè) n? 是 n 次伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，p(0p1)是每次試驗(yàn)成功的概率， nf nn ?? 是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的頻率，設(shè) n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，成功的頻率 fn 對(duì)概率 p 的絕對(duì)偏差不小于 Δ 的概率 ?
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