【正文】 ) [ , ]a b a b a b? ? ? ?? ? ? ?； (2) [ , ]a b a b a b? ? ? ?? ? ? ?； (3) a b a b??? ? ? 且 ab??? ； (4) a b a b??? ? ? 且 ab??? ； (5) a b a b? ? ? 且 ab? ； (6) [ , ] ( 0 1)ka ka ka k??? ? ?； (7)1 [1 ,1 ]a a a a??? ? ? ? ?? ?. 定義 [17] 對于區(qū)間數(shù) [ , ] [ ],i i ia a a I i N??? ? ?，我們規(guī)定： (1) ? ?m a x , m a x { , } , m a x { , }i i i i i ir a b a b a b? ? ? ???? ??； (2) ? ?m in , m in { , } , m in { , }i i i i i ir a b a b a b? ? ? ??； (3) in f ,i i ii N i Nr a a a??????? ??????， su p ,i i ii N i Nr a a a??????? ??????. 定義 [16] 設(shè) X 是一個(gè)經(jīng)典集合，映射 : [ ]A X I? 稱為 X 上的一個(gè)區(qū)間值模 糊集 . 定義 [15] 設(shè) X 是一個(gè)非空集合，則稱 ? ?, ( ) , ( ) |AAA x x x x X???? 第二章 預(yù)備知識 4 為區(qū)間值直覺模糊集，其中 : [ ], : [ ]AAX I X I????，且滿足條件 0 ( ) ( ) 1 ,AAx x x X????? ? ? ? ? 在本文中，我們用符號 ()IVIFX 表示 X 上的所有區(qū)間值直覺模糊集全體構(gòu)成的族 . 定義 [15] 設(shè) ? ?111 , ( ) , ( ) |AAA x x x x X????與 ?222 , ( ), ( ) |AAA x x x x???? ?X 為兩個(gè)區(qū)間值直覺模糊集，我們定義： (1)1 2 1 212 ( ) ( ) , ( ) ( )A A A AA A x x x x? ? ? ?? ? ? ?； (2) ? ?1 2 1 212 , m i n{ ( ) , ( ) } , m a x{ ( ) , ( ) } |A A A AA A x r x x r x x x X? ? ? ???； (3) ? ?1 2 1 212 , m a x{ ( ) , ( ) } , m i n{ ( ) , ( ) } |A A A AA A x r x x r x x x X? ? ? ?. 將 定義 的 (2),(3)進(jìn)行 直接推廣 ， 可以得到如下的定義 ： 設(shè) ? ?| ( )tA t T IVIF X??，則 (1) ? ? ? ?? ?, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) |t t t tt A A A At T t T t T t TtT A x x x x x x X? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?； (2) ? ? ? ?? ?, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) |t t t tt A A A At T t T t T t TtT A x x x x x x X? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. 半環(huán) 及其 h理想 定義 [18] 非空集 S 和兩個(gè)分別稱為加法和乘法的二運(yùn)算 ??“ ” 和 “ ” 構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng) ( , )S??， 稱為一個(gè)半環(huán)，如果它滿足： (1) ( , )S? 和 ()S?， 都是半群， 且 ( , )S? 是交換半群； (2) ?“ ” 和 ?“ ” 滿足左右分配律，即 ()a b c ab ac? ? ?， ()a b c ac bc? ? ?,a ，b ,cS? ； (3)S 有一個(gè)零元 0 ，對任意的 xX? 均滿足 0 0 0xx? ? ? ? ,00x x x? ? ? ? . 例 設(shè) ? ?0,1,2,3S? ，規(guī)定它的加法和乘法的運(yùn)算“ ? ”和“ ? ”如下： 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 容易驗(yàn)證， S 與代數(shù)運(yùn)算 ?“ ” 和 ?“ ” 構(gòu)成 一個(gè)半環(huán) . 定義 [18] 半環(huán) S 的子集 A 稱為 S 的一個(gè)左（右）理想，如果 ASA? (AS )A? .半環(huán) S 的子集 A 稱為 S 的一個(gè)雙理想，如果 AASA? .半環(huán) S 的一個(gè)左理想 A 稱為一個(gè) h左理想，如果它滿足： ., AxzbzaxSzxAba ????????? 例 考慮例 中的半環(huán) ( , ,)S?? ，則集合 ? ?0,1A? 與集合 ? ?0,1,2,3B? 分別是半環(huán) S 的 h理想與 h雙理想 . 容易看出，半環(huán) S 的 h左理想和 h右理想都是半環(huán) S 的 h雙理想 . 第三章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺模糊集的運(yùn)算 6 第三章 半環(huán) 上 的 區(qū)間值直覺模糊集的 運(yùn)算 在下文中，為了簡單起見，我們用符號 ( , )AAA ??? 表示一個(gè)區(qū)間值直覺模糊集， 此外 若無特別說明， S 總表示一個(gè)給定的半環(huán) . 定義 設(shè) ( , )AAA ??? , ( , ) ( )BBB IVIF S????,規(guī)定 A 與 B 的 h積 hAB ( , )hhBBAA? ? ? ?? 如下 ： xS?? ， (i)當(dāng) x 可以表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?時(shí)， ? ?1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) s u p m i n ( ) , ( ) , ( ) , ( )h B B BA A Ax a b z a b zx r r a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) i nf m a x ( ) , ( ) , ( ) , ( )h B B BA A Ax a b z a b zx r r a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ?? (ii)當(dāng) x 不能表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?時(shí)， ( )( ) 0h BA x?? ?， ( )( ) 1h BA x?? ?. 性質(zhì) 設(shè) , , ( )A B C IVIF S? ，則 ? ? ? ? ? ?h h hA B C A B A C?. 定 義 設(shè) , ( )A B IVIF S? ， 規(guī)定 ()IVIFS 上的序關(guān)系()??? ，“ ”如下：? ? ? ?( , ) , m a x ( ) , m in ( ) ,B AA B x S r x r x?? ? ? ? ?? ? ? ? ?且 ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,B Ar x r x? ? ? ?? ? ? ? ?. 其中， 1 [1 ,1 ]aa?? ??? ?? ? ? ? ?， 1 [1 ,1 ]? ? ? ???? ?? ? ? ? ?. 由定義 易知， , ( )A B IVIF S?? 及 , [0,1]??? 滿足 ??? .則 A B A?? ( , ) B??? . 引理 設(shè) , , ( )A B C IVIF S? 且 , [0,1]??? 滿足 ??? .則 (1) ( , )AA??? ； (2) ( , ) ( , ) ( , ),A B B C A C? ? ? ? ? ?? ? ? ?； (3) ( , ) ( , ) ( , ),A B A C A B C? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 證明 (1)顯然 ? ? ? ?, m a x ( ) , m in ( ) ,AAx S r x r x? ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,AAr x r x? ? ? ?? ? ? ? ?. 所以( , )AA???. (2)對任意的 xS? ，由( , )AB???和( , )BC???，得 ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,B Ar x r x? ? ? ??， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,B Ar x r x? ? ? ?? ? ? ? ?， ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,BCr x r x? ? ? ??， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,BCr x r x? ? ? ?? ? ? ? ?. 于是 ? ? ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , m a x ( ) ,BBCr x r x r x? ? ? ? ? ?? ? ?? ?min ( ),Arx??， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,BCr x r x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,B Ar x r x? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 所以( , )AC???. (3)對任意的 xS? ，由( , )AB???和( , )AC???，得 ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,B Ar x r x? ? ? ??， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,B Ar x r x? ? ? ?? ? ? ? ?， ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,CAr x r x? ? ? ??， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,r x r x? ? ? ?? ? ? ? ?. 于是 ? ? ? ?m a x ( ) , m a x m i n { ( ) , ( ) } ,BB C Cr x r r x x? ? ? ? ?? ? ?m i n m a x { ( ) , } , m a x { ( ) , }B Cr r x r x? ? ? ?? ? ?m in ( ),Arx???， 第三章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺模糊集的運(yùn)算 8 ? ? ? ?m in ( ) , m in m a x { ( ) , ( ) } ,BB C Cr x r r x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?m a x m in { ( ) , } , m in { ( ) , }B Cr r x r x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?m a x ( ),Arx??? ? ?. 所以( , )A B C???. 引理 設(shè) , [0,1]??? 滿足 ??? 且 , , , ( )A B C D IVIF S? ，且滿足( , )AC??? 與 BD???（ ， ）,則 (1)( , )A B C D???； (2)( , )hhA B C D???. 證明 (1)對任意的 xS? ，由( , )AC???和( , )BD???，得 ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,CAr x r x? ? ?