【正文】 (A3) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,AAr x y r y? ? ? ??； (A4) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,r x y r y? ? ? ?? ? ? ? ?. 例 設(shè) ( , ) ( )AAA IVIF S????，且 [0,]?? ， [0,]?? 滿足 ??? ，考慮例 中的半環(huán) ( , )S??， ，定義 半環(huán) S 的區(qū)間值直覺模糊子集 A 如下： (0) [,]A? ? ， (1) [,]A? ? ， (2) [,]A? ? ， (3) [,]A? ? ， (0) [0,]A? ? ， (1) [0,]A? ? ， (2) [0,]A? ? ， (3) [0,]A? ? . 不難驗證 A 是一個具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺模糊左理想 . 定義 設(shè) ()A IVIF S? 且 , [0,1]??? 滿足 ??? .A 稱為一個具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺模糊雙理想，如果對任意的 ,x y z S? ，有 (B1) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ???； (B2) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； (B3) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ??； (B4) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ?； (B5) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y z r x z? ? ? ? ??； 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 (B6) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y z r x z? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 例 考慮 例 中的定義，不難驗證 A 是一個具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺模糊雙 理想 . 定義 半環(huán) S 的一個具 有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺模糊左理想 (右理想、理想、雙理想 )A 稱為一個具有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺模糊 h左理想 (h右理想、 h理想、 h雙理想 )，如果 A 滿足 , , ,x z a b S?? (C1) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ax a z b z r x r a b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?且 ? ? ? ?r m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ax r a b? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 特別的，半環(huán) S 的一個具有區(qū)間邊界值 0,1()的區(qū)間值直覺模糊 h左 (右、雙 )理想被稱為一個區(qū)間值直覺模糊 h左 (右、雙 )理想 . 引理 設(shè) ( , ) ( )AAA IVIF S????滿足條件 (C1), , [01]??? ， 滿足 ??? ， (1) 定義 中 的條件 (A3)， (A4)等價于( , )ShAA????； (2) 定義 中的條件 (B5)， (B6)等價于( , )h S hA A A????； (3) 定義 中的條件 (A1)， (A2)等價于( , )hA A A????； (4) 定義 中的條件 (B3)， (B4)等價于( , )hA A A???. 證明 (1) xS?? ,若 x 不能表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?，則顯然 ? ? ? ?m in ( ) ( ) , 0 m a x ( ) ,Sh AAr x r x? ? ? ? ??? ? ? ? ?m a x ( ) ( ) , 1 m in ( ) ,Shr x r x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 若 x 可以表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?時，則由定義 中的條件 (A3)， (A4)及條件 (C1)有 ? ?m in ( )( ),Sh Arx? ? ? ? ?1 1 2 2 12m i n s u p m i n m i n { ( ) , } , m i n { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r b r b? ? ? ? ?? ? ? ???? ???? 第四章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺模糊 h理想 14 ? ?1 1 2 2 1 1 2 2m i n s u p m i n m a x { ( ) , } , m a x { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r a b r a b? ? ? ? ?? ? ? ???? ???? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2m a x s u p m i n ( ) , ( ) , ,AAx a b z a b zr r r a b a b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 2 2m a x s u p m a x ( ) , , m a x ( ) ,AAx a b z a b zr r r x r x? ? ? ? ?? ? ? ?????????， ? ?? ?m ax ( ),CSh Arx? ? ??? ? ?? ?1 1 2 2 12m a x i n f m a x m a x { ( ) , } , m a x { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r b r b? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 1 1 2 2m a x i n f m a x m i n { ( ) , } , m i n { ( ) , } ,x a b z a b zr r r r a b r a b? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 1 1 2 2m i n i n f m a x ( ) , ( ) , ,AAx a b z a b zr r r a b a b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2m i n i n f m i n ( ) , , m i n ( ) ,AAx a b z a b zr r r x r x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 綜上可得 ，( , )ShAA????. 反之，假設(shè)( , )ShAA????成立 .由于對 ,x y S??， 顯然 有 0 0 0xy y xy? ? ? ?，于是 ，我們有 ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ( ) ,ShAAr x y r x y? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 2 12m i n s u p m i n ( ) , ( ) ,AAx a b z a b zr r r b b? ? ?? ? ? ???? ???? ? ?m in ( ),Ary???， ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ( ) ,CShAAr x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 12m a x i n f m a x ( ) , ( ) ,AAx a b z a b zr r r b b? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?m a x ( ),Ary??? ? ? 因此定義 中的條件 (A3)， (A4)成立 . (2),(3)和 (4)的證明與 (1)類似 . 定理 半環(huán) S 的區(qū)間值直覺模糊集 A 是 S 的一個具有區(qū)間邊界值 ( , )??區(qū)間值直覺模糊 h左 (右 )理想當且僅當 A 滿足條件 (C1)和 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 15 (1)( , )hA A A????； (2)( , )IShAA???(( , )IhSAA???). 證明 由定義 與引理 立得 . 定理 半環(huán) S 的區(qū)間值直覺模糊集 A 是 S 的一個具有區(qū)間邊界值 ( , )??區(qū)間值直覺模糊 h左理想當且僅當 A 滿足條件 (C1)和 (1)( , )hA A A????； (2)( , )hA A A???； (3)( , )Ih S hA A A???. 證明 由定義 與引理 立得 . 定理 設(shè) S 是半環(huán)且 DS? ，則 (1)D 是 S 的 h左 (右 )理想 當且僅當 [0,1]????， 滿足 ??? ， D? 是 S 的具有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺模糊 h左 (右 )理想； (2)D 是 S 的 h雙理想當且僅當 [0,1]????， 滿足 ??? ， D? 是 S 的具有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺模糊 h雙理想 . 證明 我們僅證明 h左理想的情況，其它情況可類似證明 . (1)必要性 . 假設(shè) D 是 S 的 h左理想 ， 以下 分三步證明 D? 是 S 的具有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺模糊 h左 理想 . (a) ,x y S??， 考慮下列兩種情形 . 情形 I： x ,y 都 屬于 D ，則有 yx? ,D? 從而 ? ? ? ? ,0~~,1~~ ???? yxyx CDD ?? 于是有 ? ? ? ?m a x ( ) , 1 m in ( ) , ( ) ,D D Dr x y r x y? ? ? ? ?? ? ?, ? ? ? ?m in ( ) , 0 m a x ( ) , ( ) ,C C CD D Dr x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. 情形 II： x 與 y 至少一個不屬于 D ， 則 第四章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺模糊 h理想 16 ? ? ? ?m a x ( ) , 0 m in ( ) , ( ) ,D D Dr x y r x y? ? ? ? ?? ? ?, ? ? ? ?m in ( ) , 1 m a x ( ) , ( ) ,C C CD D Dr x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. (b) ,x y S??， 我們考慮下列兩種情形 . 情形 I： yD? ,則 ,Dxy? 從而 ? ? ? ? .0~~,1~~ ?? xyxy CDD ?? 于是有 ? ? ? ?m a x ( ) , 1 m in ( ) ,DDr x y r y? ? ? ???,? ? ? ?m in ( ) , 0 m a x ( ) ,CCr x y r y? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 情形 II： yD? ， 則 ( ) 0D y? ? ， ( ) 1CD y? ? ， 于是 ? ? ? ?m a x ( ) , 0 m in ( ) ,DDr x y r y? ? ? ???,? ? ? ?m in ( ) , 1 m a x ( ) ,CCr x y r y? ? ? ?? ? ? ? ? ?. (c) , , ,a b x z S??滿足 x a z b z? ? ? ? ，考慮以下兩種情形 . 情形 I： ,ab D? ，