【正文】 狀態(tài) ，其 廣義虎克定律 可表達為 ＆ 廣義虎克定律 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 74 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 一受扭圓軸 , 直徑 d=20mm， 材料為鋼 ，泊松比 ?=, E=200GPa。 對于各向異性材料，應力與應變的關系則要復雜得多。 1＋ ?x y x 1－??x EExxyxx????????????? ???? 12EG對于各向同性材料， 3個彈性常數中，只有兩個是獨立的。 A B ?【 例 89】 【 解 】 ?1=320MPa， ?2=180MPa， ?3=0， ?max=160MPa 100MPa 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 68 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 1?3? 2?O ??300 100 (MPa) ?max B A A B 求圖示平面應力狀態(tài)的主應力 ? ? ?3和最大切應力 ?max。xxx ????? ????????????x y 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 66 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 M P a601 ?? x y 根據 ?1??2??3的排列順序，可以寫出 單元體內的最大剪應力 M P ??M P ???MP )(602 31m a x ?????? ???注 :本題的關鍵是把三向應力狀態(tài)問題簡化為平面應力狀態(tài)問題。39。 當確定這一組方向面上的應力及這一組方向面中的主應力 和 時 ， 可以將所給的應力狀態(tài)視為平面應力狀態(tài) 。 所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即 。 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 63 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ?1 II I ?3 III ?2 O ? ? 顯然有 231m a x??? ?? 由圖中可以看到與三個應力圓相對應有三個面內最大切應力 ， 其大小分別為 ?max1 ?max2 ?max3 2321m a x??? ??2212m a x??? ??2313m a x??? ??這稱為一點處的最大切應力。 II ?1 III III 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 62 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ?1 II I ?3 III ?2 O ? ? 對于任一點的應力狀態(tài)，都有 。 II ?1 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 61 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ?2 ?1 ?3 由 ?1和 ?2可作出應力圓 III。 ? ? I ?2 ?3 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 60 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ?3 ?1 ?2 由 ?1和 ?3可作出應力圓 II。 I 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 59 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ?3 ?2 I ?1 由 ?1和 ?3可作出應力圓 I。 ??O? ?x ?,50?? ?x ??,100Dx Dy Cx?2 yx?? ?222852 50100100 ???????? ?? x?M P ax 40??50100x?（ MPa） ? 【 例 87】 【 解 】 2m a x222 ????? ?????????? ??xyxx＆ 平面應力狀態(tài)分析 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 應力狀態(tài)的概念 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 ＆ 廣義虎克定律 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 ＆ 強度理論 57 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ＆ 空間應力狀態(tài)簡介 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 zxxzzyyzyxxy ?????? ??? ,y x z xz?xy?z?y?zy? x?yx?zx?yz?y x z ??58 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 1? 1?2?3?2?3??3 ?2 I ?1 任一點的應力狀態(tài)都可以用圖示的主應力單元體來表示 ， 這里主要研究主應力單元體的極限應力的情況 。 試用應力圓求主應力和最大剪應力 。截面上的應力及該點的極限應力。0?1?2??繪出主應力單元體。 ??0, 321 ??? ??? M P a M P a主平面方位： ????39。39。?30???，60 M P ax ?? M P a ,x 30???,40 M P ay ???22)2(239。 6030n(MPa) ?????? ? 2co s2s i n xyx ??)60c o s(30)60si n (2 4060 ?? ?????MP ???求 ?30186。 。試求 ??30186。 2?1 ?max ?min E ?1 ?139。確定。 B 2?0 2?039。確定。 反映在單元體上如下圖所示 。 二者不一定是過一點的所有方向面中剪應力的最大和最小值 。 為求此極值 ， 將 02si n22c o s)( ???? ??????? ? xyxddxyx????22tan 1???????? ? 2co s2s i n2 xyx ???47 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 xyx????22tan 1??在 (0~2?)內由 得兩個特征角 211??? ? , 。39。 xyxyx ?????? ????????? ????2222 xyxyx ?????? ????????? ????039。 將其代入 ????????? 2s i n2co s22 xyxyx ????? 得兩個主應力為 222239。 主平面法線方向即主應力作用線方向 ， 稱為 主方向 。 按比例尺量得 M P a M P a , 3030 ??? ?? ??第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 43 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 將 (*)式對 ? 求一次導數，并令其等于零，有 02c o s22si n)( ????? ??????? ? xyxdd得 yxxτ??? ???22t a n002]2co s2s i n)[(2 ??????? ?? ???????? xyx 2dd)(2s i n2co s22 ＊　　　　???????? ? xyxyx ??????????? ? 2co s2s i n2 xyx ???此時， 0???第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 主平面、主應力與主方向 44 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 主平面、主應力與主方向 只有正應力 ， 沒有剪應力的斜平面 ， 稱為 主平面 其方向角用 α 0 表示 。 應力圓法 ??o└─┘ 10MPa C 60186。 ?30n 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 42 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 MPa10MPa30MPa20?30030?030??30? 【 例 83】 【 解 】 求圖示單元體 30186。 解析法 結果為負值，說明正應力為壓應力。 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 41 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 M Pa M Pa yx 30,10 ?? ???30,20,20 ???? ??? M P a M P a yxxy???????? 2s i n2co s2230 xyyxyx ?????? 60s i n2060c o s2 30102 3010??????? ???????? 2co s2s i n230 xyyx ???? M P o s2060s i n2 3010 ???? ??MPa10MPa30MPa20?30030?030?? 【 例 83】 【 解 】 求圖示單元體 30186。 0?? yx ??第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 37 ??o 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 平面應力狀態(tài)分析的圖解法 ＿＿ 應力圓法 ?yy?x?x?Dx (?x ,?xy) C 點面對應 ：應力圓上一點的坐標值對應著單元體一面上的應力； 基線對應 ：應力圓上以 CDx為基線，在單元體上對應的是 x軸； x面 Dy (?y ,?yx) y面 x 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 38 ??o 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 平面應力狀態(tài)分析的圖解法 ＿＿ 應力圓法 Dx C x D? 2? 倍角關系 ：半徑轉過角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 30 α 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 平 面 應 力 狀 態(tài) 分 析 的 解 析 法 y x 取圖示單元體為研究對象，考慮其平衡情況。 ??yx?xy?第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 平面應力狀態(tài)分析 28 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 方 向 角 方 向 角 與 應 力 分 量 的 正 負 號 規(guī) 定 y x n?α 由 x 正向逆時針轉到 n 正向者為正； 由 x 正向順時針轉到 n 正向者 為負。 FP l a S x z y 4 3 2 1 S截面 ? 【 例 82】 Mz FS Mx 【 解 】 首先求得 S截面上的剪力和彎矩。 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 應力狀態(tài)的概念 22 水 利 土 木 工 程 學 院 工 程 力 學 課 程 組 5 4 3 2 1 【 解 】 5 4 3 2 1 4lFM Pz ?2PSFF ?用單元體表示 5點的應力狀態(tài) 。 ☆ 應力的點的概念 ☆ 應力的面的概念 ☆ 應力狀態(tài)的概念 應力狀態(tài)的概念 第 8章 應力狀態(tài)和強度理論 ＆ 應力狀態(tài)的概念 19 水 利 土 木 工 程 學 院