【正文】 a h x dx? ? (30) 因此可以得到折疊桌最優(yōu)平板面積的單目標(biāo)模型 決策變量 ：桌腳邊緣線的平面表達(dá)式 ??hx， 2s 表示為桌面的寬度（桌面寬度可由桌面邊緣線的形狀大小求得） 目標(biāo)函數(shù)： ? ?S2ba h x dx? ? (31) 約束條件： s x s? ? ? (32) 根據(jù)分析，客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀線的大小和桌腳邊緣線的大致形狀都不會(huì)影響穩(wěn)定性的目標(biāo)函數(shù)和木條開槽的目標(biāo)函數(shù)，只是將變量高度 h 和木板寬度通過客戶人為確定，將其帶入問題 2 所建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型中求解確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。但根據(jù)統(tǒng)計(jì)誤差在 以上的僅 12 個(gè)，對(duì)整體影響不大，卻能明顯減少加工者的工作量，因此我們認(rèn)為該誤差合理。 對(duì)于桌高 70cm，桌面直徑為 80cm的情況下，經(jīng)過 matlab 計(jì)算，運(yùn)行環(huán)境見附錄 1，程序見附錄 4，取整數(shù)據(jù)結(jié)果如下 ： 表格 2 最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì) 著地桌腿長(zhǎng)度（ cm） 鋼槽位置（ cm） 平板長(zhǎng)度（ cm） 80 51 173 求出著地桌腿長(zhǎng)度為 80cm 時(shí)，鋼槽的最佳位置為在距離桌腳 51cm 處，說明在著地桌腿的中間偏 上位置折疊桌的穩(wěn)固性更好。即著地桌腿長(zhǎng)度和鋼槽位置分別用表示。 計(jì)算步驟： Step 1：以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條 x 軸的坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長(zhǎng)度 u ，以及鋼槽初始位置 f 。 又由于圓的對(duì)稱性，我們可以簡(jiǎn)化為只研究一只桌腳。 加工者要求（加工方便）簡(jiǎn)化為開槽長(zhǎng)度的加工，此時(shí)開槽長(zhǎng)度我們認(rèn)為整數(shù)長(zhǎng)度或者統(tǒng)一長(zhǎng)度即使?jié)M足加工者要求。 我們將商家要求（用材最少）簡(jiǎn)化為平板尺寸的確定，再根 據(jù)問 題二的假設(shè) 2，平板尺寸的確定就是計(jì)算平板長(zhǎng)度。 16 目標(biāo)函數(shù)的確定 要使加工方便，可以考慮木條的開槽長(zhǎng)度為整數(shù)，且每根木條的開槽長(zhǎng)度在上圖中可看做是： ? ?JG JD y x? ? ? (24) 最終可以得到加工方便為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)規(guī)劃模型： 決策變量 ：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度 x 、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度 y ； 目標(biāo)函數(shù)： ? ?JG JD y x? ? ? 約束條件： ? ?12212 2 2 2s i n..|r x xyhr x xystyhx R x f f?????????? ? ???? ??? ? ? ? ?? (25) （ 4）產(chǎn)品設(shè)計(jì)的多目標(biāo)規(guī)劃模型： 決策變量： 鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度 x 、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度 y 目標(biāo)函數(shù)： ? ?? ?123m axm in 2K G ABp d d Mp y u wp JG JD y x???? ? ? (26) 此時(shí)的 1 2 3,p p p 是進(jìn)過多目標(biāo)規(guī)劃的分層序列法對(duì)目標(biāo)按其重要程度的一個(gè)排序，最重要， 2p 次之， 3p 最后。 （ 3） 加工方便的單目標(biāo)規(guī)劃模型 決策變量的確定 折疊桌在設(shè)計(jì)時(shí)，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)影響折疊桌木條的開槽長(zhǎng)度，然而這些設(shè)計(jì)參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以 鋼筋固定位置到木條底端 位置的長(zhǎng)度 x 、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度 y 為決策變量。令 AG 的長(zhǎng)度為 x ，桌腿的長(zhǎng)度為 y ， u 為桌面圓上最外側(cè)木條的長(zhǎng)度，桌面圓半徑為 r ， w 為木板寬度（假定寬度一定），則有： 2222wur???????? (21) 設(shè) h 為折疊桌高度，桌腿木條的傾斜角為 ? ， 且 0 2???? 。 約束條件的確定： 15 平板兩條邊上固定鋼筋的木條在折疊過程中與地面形成等腰梯形，如圖 5 所示。即可以將穩(wěn)定性好的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為 AB 和 KG 長(zhǎng)度之和最大的目標(biāo)： max KG ABdd? (20) 其中 ? ? 11sinsinKGABd r y x yd y r y??? ? ? ??? ? ? ?? 最終可得到穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型： 決策變量 ：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度 x 、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度 y ； 目標(biāo)函 數(shù) ： m ax KG ABd d M?? 1112m in s inm a xK G A BM F x fd d f? ?????? 將 ? ?1 1 1 1 1 1 2 1 2 1| ( ) , ( )R x f x f f x f????? ? ? ? ?作為 2p 的可行域。當(dāng) ? 增大時(shí)， KG 和 AB 都相應(yīng)增大。則力矩的大小為： sinM Fx ?? (18) 力矩越小，堅(jiān)固性越好；力矩越大，堅(jiān)固性越差。即： 122sinhyr x xyhy ???? ???? ?? ??? (16) 其中， 1x 滿足方程 ? ? ? ?? ?222c o s22r u x l rx r u? ? ? ? ? ??????? ??? ，式中 l 為表示平板長(zhǎng)度的一半。鋼筋有最外邊的木條固定，因此鋼筋必須在木條上，可以轉(zhuǎn)化為鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度不能超過固定鋼筋的桌腿木條的長(zhǎng)度 y 。 約束條件的確定： 將折疊桌投影到 xoy 平面內(nèi)得到的圖形如下： 13 MPNFEGAJCIBK D 圖表 7 平板最外側(cè)木條與地面形成的圖形 由于對(duì)稱性，我們只討論圖中左側(cè)部分。 在固定鋼筋的桌腿木條上，以桌腿木條長(zhǎng)度 y 和鋼筋到木條底端長(zhǎng)度 x 為 決策變量 ，以 產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少為目標(biāo)函數(shù) ， 但是考慮到鋼筋位置在最外側(cè)木條上的位置會(huì)在一定的范圍內(nèi)，因此應(yīng)該確定以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)桌腳長(zhǎng)度的變化范圍為 約束條件 的多目標(biāo)規(guī)劃模型，根據(jù)分層序列法原理，確定了穩(wěn)固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根據(jù)分層序列法原理，確定所有的在分層序列的意義下確定最優(yōu)參數(shù)。程序見附錄 3 12 表格 1 折疊桌單邊木條開槽 長(zhǎng)度 X 坐標(biāo)（ +） 5 10 15 20 25 開槽長(zhǎng)度 0 X 坐標(biāo)（ ） 5 10 15 20 25 開槽長(zhǎng)度 0 有用性分析 ——用 數(shù)據(jù)驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模擬 題中通過建立模型描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程，方程的參數(shù)變化導(dǎo)致各個(gè)簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化，因此我們通過桌腳邊緣方程數(shù)據(jù)可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬驗(yàn)證所建立的數(shù)學(xué)描述模型正確和有用性，模擬圖見圖 5。運(yùn)行環(huán)境見附錄 1，程序見附錄 2。 Step 6：用 Step 4 中 鋼筋沿木條開槽滑動(dòng)后長(zhǎng)度 減去 Step 5 中 鋼筋 初始位置 ，得到開槽長(zhǎng)度。 Step 4：由于鋼條固定后不會(huì)再變動(dòng)故鋼筋垂直距離不會(huì)改變，現(xiàn)在已知直角邊高度 h和長(zhǎng)度 m分別用勾股定理求出此鋼筋沿木條開槽滑動(dòng)后長(zhǎng)度。 Step 2：由題中給出長(zhǎng)方形平板尺寸具體數(shù)值，用長(zhǎng)度分別減去每根木條長(zhǎng)度，得到兩根桌腿長(zhǎng)度，除以 2 得到每根桌腿長(zhǎng)度 l 。 計(jì)算步驟： 開槽長(zhǎng)度： 在問題一假設(shè) 2 的前提下可計(jì)算以下步驟，得到開槽長(zhǎng)度。 計(jì)算思想： 通過圓標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算坐標(biāo) y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應(yīng)用，得到具有具體參數(shù)的描述模型，進(jìn)而分別計(jì)算出折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù) （即桌腿木條開槽長(zhǎng)度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。 因此 桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述 可以表示為 ： 221122122110 sin c o s2260y r xxx zllrxd r xr x r??? ???? ??? ????? ? ? ??? ? ? ?? (15) 其中 1r x r? ? ? 表示 1x 在取值范圍內(nèi)的變化形成的直線簇。設(shè) 折疊到最大程度時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間每根木條的長(zhǎng)度為 1il ，則： 2 25 , 1, 2 2 0c o si ili??? (11) 3．每根木條的開槽長(zhǎng)度 設(shè)每根木條的開槽長(zhǎng)度為 l ，則： 21, 1, 2 2 0iil l l i? ? ? (12) 桌腳邊緣線有兩個(gè)特點(diǎn)： 在直紋面上； 10 桌腳邊緣線上與桌面圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上； 兩點(diǎn)間距離等于對(duì)應(yīng)桌腿的長(zhǎng)度，且每根桌腿長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)的桌面上木條長(zhǎng)度的一半之和為定長(zhǎng) 60cm 。因此CAB ???。折疊到最大程度時(shí)，第 i 根木條與豎直方向形成一個(gè)夾角 i? 。 設(shè)此時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度為 1il ， iy 表示第 i 根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度。當(dāng)處于平板狀態(tài)時(shí)鋼筋與平板的邊緣平行，因此每根木條的上端點(diǎn)到平板邊緣的距離相等，均為線段 BC 的長(zhǎng) 度。令 AB 的長(zhǎng) 度為 k ， GM的長(zhǎng)度為 m ，它們之間有如下關(guān)系： 222222602iiiiiiy r xl y ktyk t hkm? ??????? ???????? ?? (7) 木條的傾斜角隨著折疊桌高度的變化而變化，假設(shè)當(dāng)高度為 h 時(shí)對(duì)應(yīng)的傾斜角為 ? ，則可以建立高度與傾斜角間的關(guān)系式為： maxtan 2hm? ? (8) 最終求出每根木條相對(duì)于 相對(duì) z 軸 方向的傾斜角 的表達(dá)式： max arctan 2hm? ? (9) 第六步：動(dòng) 態(tài)方程的最終描述 折疊桌在折疊過程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，這四個(gè)部分的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)合在一起就是整個(gè)折疊桌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型。線段 FE 表示第 i 根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度 iy ， AF 和 DE 表示第 i 根木條對(duì)應(yīng)的桌腿的長(zhǎng)度 it 且AF=DE， AD 表示兩對(duì)稱桌腳間的距離 l ， FB 表示桌子的高度 h ， FM 的長(zhǎng)度為 2h 。 設(shè) ix 表示圖 3 中從坐標(biāo) 原點(diǎn)到第 i 根木條的距離。將圖像中所有的像素點(diǎn)導(dǎo)入 CAD中可以求出半徑 cm? 。其中，圖中虛線表示被遮擋的部分。流程如下： 建 立 空 間 直角 坐 標(biāo) 系確 定 鋼 筋所 在 直 線方 程確 定 桌 面圓 方 程直 紋 面 的表 達(dá) 式確 定 木 條傾 斜 角折 疊 桌 動(dòng) 態(tài)變 化 過 程計(jì) 算 開 槽長(zhǎng) 度提 取 桌 腳邊 緣 線 圖表 1 問題一具體流程圖 立折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程的描述 模型 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系 由于折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程是在三維空間中進(jìn)行的，為了更加清晰地表達(dá)，因此要建立空間直角坐標(biāo)系。折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程可以分文兩個(gè)部分分別進(jìn)行分析，即桌面圓和桌腿兩個(gè)部分，桌面圓受半徑的影響。問題二和問題三中以平板的寬度作為直徑，將問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化。 問題一中的假設(shè) ； ，即將桌面視為一張二維平面 問題二中的假設(shè) ； ； 問題三中的假設(shè) 假設(shè)木條寬度和厚度與問題一一致 四、 符號(hào)說明 符號(hào) 說明 r 桌面圓的半徑 ? 每根木條與 z 軸的夾角 h 折疊桌高度 iy 第 i 根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度 1il 鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度 w 木板寬度 注：由于圖形的對(duì)稱性，下面再討論時(shí)只對(duì)一邊的桌腿形成的直紋面進(jìn)行討論。 4 問題三的分析：要設(shè)計(jì)一種軟件能根據(jù)客戶任意設(shè)定的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，因此所設(shè)計(jì)的軟件應(yīng)該具有通用性，在此基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)幾個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌并給出相應(yīng)的加工參數(shù)，然后畫出動(dòng)態(tài)變 化過程的示意圖。 問題二的分析：鋼筋的位置以及桌腿木條的張開程度影響產(chǎn)品的穩(wěn) 固性，要使產(chǎn)品的穩(wěn)固性好，就要對(duì)分析鋼筋的運(yùn)動(dòng)范圍以及在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的最佳位置，木條的張開程度越大越穩(wěn)固；木條的開槽長(zhǎng)度影響加工的方便程度，開槽越短越方便；用料的多少受平板面積的影響，平板尺寸影響平板面積，當(dāng)滿足要求且面積最小時(shí)用料為最省。設(shè)計(jì)加工參數(shù)（開槽長(zhǎng)度）與折疊桌的初始狀態(tài)（平板）和折疊到最大程度時(shí)的狀態(tài)有關(guān)，因此需要找出木條的傾斜范圍。但是，由于直紋面上每根木條同時(shí)在圓桌邊緣和鋼筋上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)滿足桌面邊緣和鋼筋所在的方程。 具體問題的分析 問題一的分析