【正文】 A、B 所在木條上鋼筋從 B 點滑倒 A 點位置，因此，線段 AB的長度就是該木條的開槽長度。 1．處于平板狀態(tài)時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度 為方便表述，我們用 幾何畫板 畫出折疊桌處于平板狀態(tài)時的圖形（后文同樣采用幾何畫板畫圖），如下圖所示： BDC NEAF 圖表 4 折疊桌的平板示意圖 9 如圖所示， B 點為處于平板狀態(tài)時鋼筋與其中一條木條的交點（開槽上端點）， A點為折疊到最終狀態(tài)時鋼筋與此木條的交點（開槽下端點），線段 AB 的長度就是對應木條的開槽長度。在折疊過程中，考慮最外側(cè)兩跟木條著地的特殊情況，它與地面形成的等腰梯形如下圖所示： NMEFG HB C 圖表 3 木條與地面形成的圖形 8 圖中線段 GH 為兩根鋼筋間的距離， AD 為對稱的兩桌腳點得連線。 第二步：確定桌面圓的方程 根據(jù)問題一中的假設(shè) 1 將桌面圓可以近似為標準圓，因此圓桌的下表面（ xoy 平面 ）的方程為： 2 2 20x y rz? ??? ?? (1) 其中， x 、 y 分別表示圓桌面與直紋曲面的交點。桌腿的變化又分為直紋面的運動、鋼筋的運動和傾斜角的改變，因此我們分別從桌面圓、直紋面、鋼筋和傾斜角四個方面來描述折疊桌的動態(tài)變化過程。 五、 模型準備 ： 問題一中將桌面看為一個標準圓，將每根木條與圓的交點作為像素點導入 CAD 軟件中，軟件自動確定出圓的半徑 cm? 。最后再確定給出桌高和桌面直徑后的最優(yōu)加工參數(shù)。我們可以以此建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程。因此直紋面就是由桌面圓和鋼筋所在直線共同決定。 桌腿上每 根木條長度的計算 ——關(guān)鍵問題二 桌腿木條的長度影響桌腳邊緣的形狀。最后要根據(jù)客戶的任意要求開放性的進行設(shè)計出盡可能接近客戶所期望的形狀的折疊桌，會涉及到不同形狀平板材料以及不同加工參數(shù)，因此需要確定一個可以適用于多種情況的數(shù)學模型。 3．公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀的尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使 生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。建立模型描述此折疊折疊桌的動態(tài)變化過程以及給出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（桌腿木條的開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學表示。 最后，我們對模型的優(yōu)缺點進行評價， 并針對某些缺點和假設(shè)條件提出進一步的改進思路，并將模型推廣到其它生活用品以及蛋白質(zhì)的折疊仿真等方面。假定平板寬度和木條厚度在第一問基礎(chǔ) 上不變的情況下，運用 matlab 變成求解得出平板的尺寸為 173 50 3cm cm cm??，鋼筋位置為距離平板邊緣 51cm 處，每根木條開槽長度見表 3。 問題一是描述折疊桌在折疊過程中變化過程，首先建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別找出桌面圓、鋼筋直線、直紋面以及木條相對于豎直方向的傾斜角的數(shù)學表達式，然后建立了動態(tài)變化過程的數(shù)學模型。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。 我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。 全國大學生數(shù)學建模競賽 承 諾 書 我們仔細閱讀了《全國大學生數(shù)學建模競賽章程》和《全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為 “競賽章程和參賽規(guī)則 ”，可從全 國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。最后設(shè)計算法通過 matlab 計算出桌腿木條的開槽 長度，詳見表 1，并給出了桌腳邊緣線的數(shù)學模型見公式 (13)。 問題三開發(fā)一種能根據(jù)客戶任意指定的信息設(shè)計出盡量滿足客戶要求的折疊桌的問題，建立出了各種桌面邊緣線以及桌腳邊緣線的數(shù)學優(yōu)化模型，詳見公式 (27)、 (28)。 關(guān)鍵詞： 平板折疊桌；加工參數(shù)；直紋曲面；多目標規(guī)劃 2 一、 問題重述 問題背景 平板折疊邊桌注重于表達木質(zhì)品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強調(diào)的自動化與功能性 [1]增大面積桌面設(shè)計為圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽一保證滑動的自由度，使用者只需提起木板的兩側(cè)便可以在重力的作用下達到自動升 起的效果。 2．折疊桌的設(shè)計要達 到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小三個目標。需要我們給出軟件設(shè)計的數(shù)學模型，然后用所建立的模型設(shè)計幾個創(chuàng)意平板折疊桌，并且給出相應的設(shè)計加工參數(shù)，畫出不少于 8 張動態(tài)變化過程的示意圖。三個問題層層遞進，逐步將模型推廣到與實際更加接近的情況，難度也隨之增大。確定桌腿木條長度有兩種方法。 具體問題的分析 問題一的分析：折疊桌的動態(tài)變化 過程即是在桌子折疊過程中形成直紋面的變化過程。設(shè)計加工參數(shù)（開槽長度）與折疊桌的初始狀態(tài)（平板）和折疊到最大程度時的狀態(tài)有關(guān)，因此需要找出木條的傾斜范圍。 4 問題三的分析：要設(shè)計一種軟件能根據(jù)客戶任意設(shè)定的要求進行設(shè)計，并且給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，因此所設(shè)計的軟件應該具有通用性，在此基礎(chǔ)上自己設(shè)計幾個創(chuàng)意平板折疊桌并給出相應的加工參數(shù)，然后畫出動態(tài)變 化過程的示意圖。問題二和問題三中以平板的寬度作為直徑，將問題進行了簡化。流程如下： 建 立 空 間 直角 坐 標 系確 定 鋼 筋所 在 直 線方 程確 定 桌 面圓 方 程直 紋 面 的表 達 式確 定 木 條傾 斜 角折 疊 桌 動 態(tài)變 化 過 程計 算 開 槽長 度提 取 桌 腳邊 緣 線 圖表 1 問題一具體流程圖 立折疊桌動態(tài)變化過程的描述 模型 第一步：建立空間直角坐標系 由于折疊桌的動態(tài)變化過程是在三維空間中進行的，為了更加清晰地表達，因此要建立空間直角坐標系。將圖像中所有的像素點導入 CAD中可以求出半徑 cm? 。線段 FE 表示第 i 根木條在圓桌面上的長度 iy ， AF 和 DE 表示第 i 根木條對應的桌腿的長度 it 且AF=DE， AD 表示兩對稱桌腳間的距離 l ， FB 表示桌子的高度 h ， FM 的長度為 2h 。當處于平板狀態(tài)時鋼筋與平板的邊緣平行，因此每根木條的上端點到平板邊緣的距離相等，均為線段 BC 的長 度。折疊到最大程度時，第 i 根木條與豎直方向形成一個夾角 i? 。設(shè) 折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間每根木條的長度為 1il ，則： 2 25 , 1, 2 2 0c o si ili??? (11) 3．每根木條的開槽長度 設(shè)每根木條的開槽長度為 l ，則： 21, 1, 2 2 0iil l l i? ? ? (12) 桌腳邊緣線有兩個特點： 在直紋面上； 10 桌腳邊緣線上與桌面圓上對應的點在一條直線上； 兩點間距離等于對應桌腿的長度，且每根桌腿長度與對應的桌面上木條長度的一半之和為定長 60cm 。 計算思想： 通過圓標準方程計算坐標 y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應用，得到具有具體參數(shù)的描述模型，進而分別計算出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù) （即桌腿木條開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學描述。 Step 2：由題中給出長方形平板尺寸具體數(shù)值，用長度分別減去每根木條長度，得到兩根桌腿長度，除以 2 得到每根桌腿長度 l 。 Step 6：用 Step 4 中 鋼筋沿木條開槽滑動后長度 減去 Step 5 中 鋼筋 初始位置 ，得到開槽長度。程序見附錄 3 12 表格 1 折疊桌單邊木條開槽 長度 X 坐標（ +） 5 10 15 20 25 開槽長度 0 X 坐標（ ） 5 10 15 20 25 開槽長度 0 有用性分析 ——用 數(shù)據(jù)驗證動態(tài)模擬 題中通過建立模型描述折疊桌動態(tài)變化過程，方程的參數(shù)變化導致各個簡化數(shù)據(jù)點的變化，因此我們通過桌腳邊緣方程數(shù)據(jù)可以進行動態(tài)模擬驗證所建立的數(shù)學描述模型正確和有用性，模擬圖見圖 5。 約束條件的確定： 將折疊桌投影到 xoy 平面內(nèi)得到的圖形如下： 13 MPNFEGAJCIBK D 圖表 7 平板最外側(cè)木條與地面形成的圖形 由于對稱性，我們只討論圖中左側(cè)部分。即： 122sinhyr x xyhy ???? ???? ?? ??? (16) 其中， 1x 滿足方程 ? ? ? ?? ?222c o s22r u x l rx r u? ? ? ? ? ??????? ??? ，式中 l 為表示平板長度的一半。當 ? 增大時， KG 和 AB 都相應增大。 約束條件的確定： 15 平板兩條邊上固定鋼筋的木條在折疊過程中與地面形成等腰梯形，如圖 5 所示。 （ 3） 加工方便的單目標規(guī)劃模型 決策變量的確定 折疊桌在設(shè)計時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)會影響折疊桌木條的開槽長度，然而這些設(shè)計參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以 鋼筋固定位置到木條底端 位置的長度 x 、固定鋼筋的桌腿長度 y 為決策變量。 我們將商家要求（用材最少）簡化為平板尺寸的確定，再根 據(jù)問 題二的假設(shè) 2，平板尺寸的確定就是計算平板長度。 又由于圓的對稱性，我們可以簡化為只研究一只桌腳。即著地桌腿長度和鋼槽位置分別用表示。但根據(jù)統(tǒng)計誤差在 以上的僅 12 個，對整體影響不大，卻能明顯減少加工者的工作量，因此我們認為該誤差合理。 算法思想： 通過桌面邊緣方程計算坐標 y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應用 ，得到鋼筋位置空間方程，進而計出桌腳邊緣線的空間關(guān)系。 Step 3：整合所有坐標以及 Step 1 中關(guān)系式得到不同參數(shù)下折疊桌簡化圖像。 圖表 10 橢圓折疊桌的 8 張動態(tài)示意圖 (左 )橢圓折疊桌的靜態(tài)示意圖 (右 ) 雙曲線： 設(shè)定參數(shù)高度 70h cm? ，半長軸 30a cm? ，半短軸 25b cm? ，桌腳邊緣形狀為拋物線。桌面邊緣參數(shù)不變，高度變化同理。 模型的改進 1. 針對問題二中取平板 寬度為圓桌面的直徑，簡化模型時，降低模型精度的缺點，可以找出真正的半徑長度，即不對問題進行簡化，從而提高模型的精度。另一方面它將立體物品數(shù)學描述化，因此可進行 3D 實物仿真，得到更具仿真度的計算機模 擬方式，比如說蛋白質(zhì)折疊 [7]。 t(i)=60y(i)。 for i=1:42 if(u(i)l) tan(i)=2*h/(lu(i))。 end a(i)=atan(tan(i))。 y(i)=y(i)。39。)。 hold on for i=1:42 p=[x(i),x(i)],q=[y(i),y(i)],w=[zr(i),zr(i)]。 hold on end for i=1:42 p=[x(i),x(i)],q=[yg(i),y(i)],w=[z(i),zr(i)]。 end axis auto 3．問題一的程序，功能：求木條開槽長度 文件 名： %求木條開槽長度 clc clear x=[::25]。%圓桌面每木條長 t(i)=z(i)z(10)/2。 else m(i)=sqrt((h/2)^2+((u(i)l)/2)^2)。 mi(i10)=m(i)。d=80。 e=q+y(1)。h=70。 if(maxw) w=max。 l=(sqrt(t(1)^2h^2)*2+u(1)*2)*s/g。 else tan(i)=2*h/(u(i)l)。 mg(i)=mi(i)m(i)。%對偶數(shù)根進行處理 end y(i)=sqrt((40)^2x(i)^2)。 for i=1:66 28 if(u(i)l) tan(i)=2*h/(lu(i))。 end a(i)=atan(tan(i))。 y(i)=y(i)。39。)。 hold on f