【正文】 ：折疊桌的動態(tài)變化 過程即是在桌子折疊過程中形成直紋面的變化過程。 直紋面方程的確定 ——關(guān)鍵問題三 直紋面 [4]是由一簇直線生成，圖中的直紋面同時在桌面圓和鋼筋所在直線上運動，即直紋面始終滿足桌面圓的方程和鋼筋所在直線的方程。確定桌腿木條長度有兩種方法。圓桌半徑取決于桌面上每根木條的長度，且每根長度是未知的，因此不能直接運用幾何知識求解，可以采用圖像處理軟件找出半徑。三個問題層層遞進(jìn)，逐步將模型推廣到與實際更加接近的情況，難度也隨之增大。然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定程度的深化，要對任意給定的高度和直徑（不確定的高度和直徑）的設(shè)計要求設(shè)計出滿足不同對象（投資者、生產(chǎn)者、消費者）要求的圓形折疊桌，并確定材料和成品的 3 最有設(shè)計加工參 數(shù)。需要我們給出軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，然后用所建立的模型設(shè)計幾個創(chuàng)意平板折疊桌，并且給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出不少于 8 張動態(tài)變化過程的示意圖。然后基于以上的要求確定桌高 70cm ，桌面直徑 80cm 是得最有設(shè)計加工參數(shù)。 2．折疊桌的設(shè)計要達(dá) 到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小三個目標(biāo)。 問題提出 某公司要生產(chǎn)平板折疊邊桌，需要我們解決以下問題： 1．給定尺寸為 120 50 3cm cm cm??的長方形平板，每根木條寬 ，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子高 53cm 。 關(guān)鍵詞： 平板折疊桌；加工參數(shù)；直紋曲面；多目標(biāo)規(guī)劃 2 一、 問題重述 問題背景 平板折疊邊桌注重于表達(dá)木質(zhì)品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強(qiáng)調(diào)的自動化與功能性 [1]增大面積桌面設(shè)計為圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽一保證滑動的自由度，使用者只需提起木板的兩側(cè)便可以在重力的作用下達(dá)到自動升 起的效果。動態(tài)變化過程的示意圖見圖 8。 問題三開發(fā)一種能根據(jù)客戶任意指定的信息設(shè)計出盡量滿足客戶要求的折疊桌的問題，建立出了各種桌面邊緣線以及桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，詳見公式 (27)、 (28)。在固定鋼筋的桌腿木條上，以最外側(cè)桌腿木條長度 y 和鋼筋到木條底端長度 x 為決策變量，以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)木條長度的變化范圍為約束條件建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，并采用分層序列法對目標(biāo)按重要性進(jìn)行排序求解。最后設(shè)計算法通過 matlab 計算出桌腿木條的開槽 長度，詳見表 1，并給出了桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)模型見公式 (13)。本文針對已經(jīng)設(shè)計好的折疊圓桌建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程，首先在此基礎(chǔ)上確定出折疊圓桌的數(shù)學(xué)描述模型，然后通過改變敏感性參數(shù)優(yōu)化該模型，最后根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)構(gòu)建新的折疊桌。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。 我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D 中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊員 (打印并簽名 ) ： 1. 2. 3. 指導(dǎo)教師 或 指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名 )： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程》和《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為 “競賽章程和參賽規(guī)則 ”，可從全 國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。 我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委 會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。） 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）： 2020 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 編 號 專 用 頁 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）： 賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）： 評 閱 人 評 分 備 注 全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： 1 基于 多目標(biāo)規(guī)劃的創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計 摘 要 有創(chuàng)意的平板折疊桌相對于傳統(tǒng)的桌子來說更加美觀、方便以及節(jié)省空間。 問題一是描述折疊桌在折疊過程中變化過程，首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別找出桌面圓、鋼筋直線、直紋面以及木條相對于豎直方向的傾斜角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立了動態(tài)變化過程的數(shù)學(xué)模型。 問題二是一個對客戶任意給定折疊桌高度、直徑，設(shè)計出同時滿足產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少三個目標(biāo)的折疊桌的問題。假定平板寬度和木條厚度在第一問基礎(chǔ) 上不變的情況下，運用 matlab 變成求解得出平板的尺寸為 173 50 3cm cm cm??，鋼筋位置為距離平板邊緣 51cm 處，每根木條開槽長度見表 3。然后根據(jù)建立的模型設(shè)計出了桌面形狀為橢圓、雙曲線，桌腳邊緣為圓弧的折疊桌。 最后，我們對模型的優(yōu)缺點進(jìn)行評價， 并針對某些缺點和假設(shè)條件提出進(jìn)一步的改進(jìn)思路，并將模型推廣到其它生活用品以及蛋白質(zhì)的折疊仿真等方面。桌子外形由直紋曲面 [2]構(gòu)成，造型美觀。建立模型描述此折疊折疊桌的動態(tài)變化過程以及給出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（桌腿木條的開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)表示。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。 3．公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀的尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使 生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。 二、 問題分析 整體分析 本題首先是對已經(jīng)設(shè)計出的折疊桌進(jìn)行分析其動態(tài)變化過程以及對應(yīng)的加工參數(shù)和桌腳邊緣線的形狀，目的是分析清楚每個因素之間的相互關(guān)系。最后要根據(jù)客戶的任意要求開放性的進(jìn)行設(shè)計出盡可能接近客戶所期望的形狀的折疊桌，會涉及到不同形狀平板材料以及不同加工參數(shù)，因此需要確定一個可以適用于多種情況的數(shù)學(xué)模型。 關(guān)鍵問題分析 圓桌半徑的確定 ——關(guān)鍵問題一 圓桌的半徑影響桌腿每根木條的長度以及傾斜角度，進(jìn)而影響圓桌的高度，因此求出圓桌的準(zhǔn)確半徑至關(guān)重要。 桌腿上每 根木條長度的計算 ——關(guān)鍵問題二 桌腿木條的長度影響桌腳邊緣的形狀。一種是根據(jù)其與桌面上木條長度一半之和為定長的特點確定出桌腿上每根木條的長度，另外一種就是建立直角坐標(biāo)系，確定出兩端點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出兩點之間的距離即是它的長度。因此直紋面就是由桌面圓和鋼筋所在直線共同決定。折疊過程中，桌腿每根木條與豎直方向形成的夾角發(fā)生改變，直紋面也因此改變。我們可以以此建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程。桌腳邊緣線既滿足在直紋面上，又滿足每根木條為直線，同時滿足這兩個條件的方程即是它的數(shù)學(xué)描述。最后再確定給出桌高和桌面直徑后的最優(yōu)加工參數(shù)。 三、 問題假設(shè) 全文假設(shè) ，不影響圓面的半徑； ，即可以抽象成為一條直線； ，可以忽略不計。 五、 模型準(zhǔn)備 ： 問題一中將桌面看為一個標(biāo)準(zhǔn)圓，將每根木條與圓的交點作為像素點導(dǎo)入 CAD 軟件中，軟件自動確定出圓的半徑 cm? 。 有寬容值的分層序列法 把多目標(biāo)規(guī)劃問題中的 p 個目標(biāo)按其重要程度 排一個次序，假設(shè) ??1fx最重要， 5 ??2fx次之， ??3fx再次之 ,最后一個目標(biāo)為 ??pfx，選取一組適當(dāng)?shù)男≌龜?shù) 1? ,p? ，成為寬 容值，于是得到有寬容值的分層序列法； ? ?min ifx= pf? ? ?? ?12. . | 2 , 3 , ,i i i i is t x R x f x f R i p???? ? ? ? ? ? ? 得最優(yōu)解 ??px 及最優(yōu)值 pf? ，則在 ? ?pxx?? 就是原多目標(biāo)規(guī)劃問題在有寬容值的分層序列意義下得最優(yōu)解， 12( ( ) , ( ) , ( ) ) TpF f x f x f x? ? ? ?? 為 其 最 優(yōu) 值 六、 模型的建 立與求解 折疊桌動態(tài)變化過程、加工參數(shù)和桌腳邊緣線的確定 ——問題一 要描述折疊桌的動態(tài)變化過程即是要找出每根木條隨傾斜角度變化而變化的運動軌跡，是一個空間的變化過程，需要在空間坐標(biāo)系中進(jìn)行分析，所以首先就需要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。桌腿的變化又分為直紋面的運動、鋼筋的運動和傾斜角的改變，因此我們分別從桌面圓、直紋面、鋼筋和傾斜角四個方面來描述折疊桌的動態(tài)變化過程。我們用 4coreldrawx 軟件畫出空間直角坐標(biāo)系示意圖如下： 6 圖表 2 坐標(biāo)系示意圖 如上圖所示，我們以桌面的下表面的圓心為坐標(biāo)原點、沿著桌面且垂直于 木條的方向為 x 軸正方向、沿著桌面平行于木條方向為 y 軸正方向、垂直桌面向下為 z 軸正向建立空間直角坐標(biāo)系。 第二步：確定桌面圓的方程 根據(jù)問題一中的假設(shè) 1 將桌面圓可以近似為標(biāo)準(zhǔn)圓，因此圓桌的下表面（ xoy 平面 ）的方程為： 2 2 20x y rz? ??? ?? (1) 其中， x 、 y 分別表示圓桌面與直紋曲面的交點。 第三步：鋼筋所在直線方程的確定 鋼筋在旋轉(zhuǎn)過程中始終平行于 xoz 平面，設(shè)在折疊過程中固定鋼筋的木條與 xoz 平面形成的夾角為 ? ，鋼筋固定點的坐標(biāo)為 ? ?,M x y z ,固定鋼筋的木條長為 l ，桌面圓的半徑為 r ，折疊時坐標(biāo)點與夾角的關(guān)系用 ??f? 表示，即： ? ?? ?12max0yfzfr x r??????? ??? ? ? ??? ??? (2) 在桌子折疊過程中， x 不隨角度改變， yz和 隨角度以及固定鋼筋的木條的長度 l 變化的過程可以表示為： 7 ? ?? ?12sin2cos2lflf????? ????? ??? (3) 因此，鋼筋所在直線的方程最終可以表示為： maxsin2cos20lylzr x r????? ???? ???? ? ??? ??? (4) 第四步：確定直紋面 直紋面上的每根木條同時在鋼筋所在直線的方程上和桌面圓上運動，設(shè)點? ?1 1 1,A x y z 在圓上，點 ? ?2 2 2,B x y z 在鋼筋上同步運動，所以指紋面的方程如下： 1 1 12 1 2 1 2 111x x y y y yx x y z zr x r? ? ?? ???? ? ???? ? ?? (5) 代入 A 、 B 得到： 2211221100 sin sin 022y r xxx zllrxr x r??? ??? ?? ???? ? ???? ? ? ?? (6) 第五步：桌腿上木條相對 z 軸 方向