【正文】 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程》和《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為 “競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則 ”，可從全 國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。 我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委 會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。 我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫）： B 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊(duì)員 (打印并簽名 ) ： 1. 2. 3. 指導(dǎo)教師 或 指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名 )： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 2020 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 編 號(hào) 專 用 頁 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）： 評(píng) 閱 人 評(píng) 分 備 注 全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）： 全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 1 基于 多目標(biāo)規(guī)劃的創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì) 摘 要 有創(chuàng)意的平板折疊桌相對(duì)于傳統(tǒng)的桌子來說更加美觀、方便以及節(jié)省空間。本文針對(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)好的折疊圓桌建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，首先在此基礎(chǔ)上確定出折疊圓桌的數(shù)學(xué)描述模型，然后通過改變敏感性參數(shù)優(yōu)化該模型，最后根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)構(gòu)建新的折疊桌。 問題一是描述折疊桌在折疊過程中變化過程，首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別找出桌面圓、鋼筋直線、直紋面以及木條相對(duì)于豎直方向的傾斜角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立了動(dòng)態(tài)變化過程的數(shù)學(xué)模型。最后設(shè)計(jì)算法通過 matlab 計(jì)算出桌腿木條的開槽 長度，詳見表 1，并給出了桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)模型見公式 (13)。 問題二是一個(gè)對(duì)客戶任意給定折疊桌高度、直徑，設(shè)計(jì)出同時(shí)滿足產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少三個(gè)目標(biāo)的折疊桌的問題。在固定鋼筋的桌腿木條上，以最外側(cè)桌腿木條長度 y 和鋼筋到木條底端長度 x 為決策變量，以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)木條長度的變化范圍為約束條件建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，并采用分層序列法對(duì)目標(biāo)按重要性進(jìn)行排序求解。假定平板寬度和木條厚度在第一問基礎(chǔ) 上不變的情況下，運(yùn)用 matlab 變成求解得出平板的尺寸為 173 50 3cm cm cm??，鋼筋位置為距離平板邊緣 51cm 處，每根木條開槽長度見表 3。 問題三開發(fā)一種能根據(jù)客戶任意指定的信息設(shè)計(jì)出盡量滿足客戶要求的折疊桌的問題，建立出了各種桌面邊緣線以及桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，詳見公式 (27)、 (28)。然后根據(jù)建立的模型設(shè)計(jì)出了桌面形狀為橢圓、雙曲線，桌腳邊緣為圓弧的折疊桌。動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖見圖 8。 最后，我們對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)， 并針對(duì)某些缺點(diǎn)和假設(shè)條件提出進(jìn)一步的改進(jìn)思路，并將模型推廣到其它生活用品以及蛋白質(zhì)的折疊仿真等方面。 關(guān)鍵詞： 平板折疊桌；加工參數(shù)；直紋曲面；多目標(biāo)規(guī)劃 2 一、 問題重述 問題背景 平板折疊邊桌注重于表達(dá)木質(zhì)品的優(yōu)雅和設(shè)計(jì)師所想要強(qiáng)調(diào)的自動(dòng)化與功能性 [1]增大面積桌面設(shè)計(jì)為圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽一保證滑動(dòng)的自由度，使用者只需提起木板的兩側(cè)便可以在重力的作用下達(dá)到自動(dòng)升 起的效果。桌子外形由直紋曲面 [2]構(gòu)成，造型美觀。 問題提出 某公司要生產(chǎn)平板折疊邊桌，需要我們解決以下問題： 1．給定尺寸為 120 50 3cm cm cm??的長方形平板，每根木條寬 ，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子高 53cm 。建立模型描述此折疊折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程以及給出折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（桌腿木條的開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)表示。 2．折疊桌的設(shè)計(jì)要達(dá) 到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小三個(gè)目標(biāo)。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。然后基于以上的要求確定桌高 70cm ，桌面直徑 80cm 是得最有設(shè)計(jì)加工參數(shù)。 3．公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀的尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使 生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。需要我們給出軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，然后用所建立的模型設(shè)計(jì)幾個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌，并且給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出不少于 8 張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。 二、 問題分析 整體分析 本題首先是對(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)出的折疊桌進(jìn)行分析其動(dòng)態(tài)變化過程以及對(duì)應(yīng)的加工參數(shù)和桌腳邊緣線的形狀，目的是分析清楚每個(gè)因素之間的相互關(guān)系。然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定程度的深化，要對(duì)任意給定的高度和直徑（不確定的高度和直徑）的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)出滿足不同對(duì)象（投資者、生產(chǎn)者、消費(fèi)者）要求的圓形折疊桌，并確定材料和成品的 3 最有設(shè)計(jì)加工參 數(shù)。最后要根據(jù)客戶的任意要求開放性的進(jìn)行設(shè)計(jì)出盡可能接近客戶所期望的形狀的折疊桌，會(huì)涉及到不同形狀平板材料以及不同加工參數(shù)，因此需要確定一個(gè)可以適用于多種情況的數(shù)學(xué)模型。三個(gè)問題層層遞進(jìn)，逐步將模型推廣到與實(shí)際更加接近的情況，難度也隨之增大。 關(guān)鍵問題分析 圓桌半徑的確定 ——關(guān)鍵問題一 圓桌的半徑影響桌腿每根木條的長度以及傾斜角度，進(jìn)而影響圓桌的高度，因此求出圓桌的準(zhǔn)確半徑至關(guān)重要。圓桌半徑取決于桌面上每根木條的長度，且每根長度是未知的，因此不能直接運(yùn)用幾何知識(shí)求解，可以采用圖像處理軟件找出半徑。 桌腿上每 根木條長度的計(jì)算 ——關(guān)鍵問題二 桌腿木條的長度影響桌腳邊緣的形狀。確定桌腿木條長度有兩種方法。一種是根據(jù)其與桌面上木條長度一半之和為定長的特點(diǎn)確定出桌腿上每根木條的長度，另外一種就是建立直角坐標(biāo)系，確定出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出兩點(diǎn)之間的距離即是它的長度。 直紋面方程的確定 ——關(guān)鍵問題三 直紋面 [4]是由一簇直線生成，圖中的直紋面同時(shí)在桌面圓和鋼筋所在直線上運(yùn)動(dòng)，即直紋面始終滿足桌面圓的方程和鋼筋所在直線的方程。因此直紋面就是由桌面圓和鋼筋所在直線共同決定。 具體問題的分析 問題一的分析：折疊桌的動(dòng)態(tài)變化 過程即是在桌子折疊過程中形成直紋面的變化過程。折疊過程中，桌腿每根木條與豎直方向形成的夾角發(fā)生改變，直紋面也因此改變。但是，由于直紋面上每根木條同時(shí)在圓桌邊緣和鋼筋上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)滿足桌面邊緣和鋼筋所在的方程。我們可以以此建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程。設(shè)計(jì)加工參數(shù)（開槽長度）與折疊桌的初始狀態(tài)（平板）和折疊到最大程度時(shí)的狀態(tài)有關(guān)，因此需要找出木條的傾斜范圍。桌腳邊緣線既滿足在直紋面上，又滿足每根木條為直線，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的方程即是它的數(shù)學(xué)描述。 問題二的分析：鋼筋的位置以及桌腿木條的張開程度影響產(chǎn)品的穩(wěn) 固性，要使產(chǎn)品的穩(wěn)固性好，就要對(duì)分析鋼筋的運(yùn)動(dòng)范圍以及在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的最佳位置，木條的張開程度越大越穩(wěn)固；木條的開槽長度影響加工的方便程度，開槽越短越方便；用料的多少受平板面積的影響，平板尺寸影響平板面積，當(dāng)滿足要求且面積最小時(shí)用料為最省。最后再確定給出桌高和桌面直徑后的最優(yōu)加工參數(shù)。 4 問題三的分析：要設(shè)計(jì)一種軟件能根據(jù)客戶任意設(shè)定的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，因此所設(shè)計(jì)的軟件應(yīng)該具有通用性，在此基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)幾個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌并給出相應(yīng)的加工參數(shù)，然后畫出動(dòng)態(tài)變 化過程的示意圖。 三、 問題假設(shè) 全文假設(shè) ，不影響圓面的半徑； ，即可以抽象成為一條直線； ，可以忽略不計(jì)。 問題一中的假設(shè) ； ，即將桌面視為一張二維平面 問題二中的假設(shè) ； ； 問題三中的假設(shè) 假設(shè)木條寬度和厚度與問題一一致 四、 符號(hào)說明 符號(hào) 說明 r 桌面圓的半徑 ? 每根木條與 z 軸的夾角 h 折疊桌高度 iy 第 i 根木條在圓桌面上的長度 1il 鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度 w 木板寬度 注：由于圖形的對(duì)稱性，下面再討論時(shí)只對(duì)一邊的桌腿形成的直紋面進(jìn)行討論。 五、 模型準(zhǔn)備 ： 問題一中將桌面看為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓，將每根木條與圓的交點(diǎn)作為像素點(diǎn)導(dǎo)入 CAD 軟件中，軟件自動(dòng)確定出圓的半徑 cm? 。問題二和問題三中以平板的寬度作為直徑，將問題進(jìn)行了簡化。 有寬容值的分層序列法 把多目標(biāo)規(guī)劃問題中的 p 個(gè)目標(biāo)按其重要程度 排一個(gè)次序，假設(shè) ??1fx最重要， 5 ??2fx次之， ??3fx再次之 ,最后一個(gè)目標(biāo)為 ??pfx，選取一組適當(dāng)?shù)男≌龜?shù) 1? ,p? ，成為寬 容值，于是得到有寬容值的分層序列法； ? ?min ifx= pf? ? ?? ?12. . | 2 , 3 , ,i i i i is t x R x f x f R i p???? ? ? ? ? ? ? 得最優(yōu)解 ??px 及最優(yōu)值 pf? ，則在 ? ?pxx?? 就是原多目標(biāo)規(guī)劃問題在有寬容值的分層序列意義下得最優(yōu)解， 12( ( ) , ( ) , ( ) ) TpF f x f x f x? ? ? ?? 為 其 最 優(yōu) 值 六、 模型的建 立與求解 折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程、加工參數(shù)和桌腳邊緣線的確定 ——問題一 要描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程即是要找出每根木條隨傾斜角度變化而變化的運(yùn)動(dòng)軌跡，是一個(gè)空間的變化過程，需要在空間坐標(biāo)系中進(jìn)行分析，所以首先就需要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程可以分文兩個(gè)部分分別進(jìn)行分析，即桌面圓和桌腿兩個(gè)部分，桌面圓受半徑的影響。桌腿的變化又分為直紋面的運(yùn)動(dòng)、鋼筋的運(yùn)動(dòng)和傾斜角的改變，因此我們分別從桌面圓、直紋面、鋼筋和傾斜角四個(gè)方面來描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程。流程如下： 建 立 空 間 直角 坐 標(biāo) 系確 定 鋼 筋所 在 直 線方 程確 定 桌 面圓 方 程直 紋 面 的表 達(dá) 式確 定 木 條傾 斜 角折 疊 桌 動(dòng) 態(tài)變 化 過 程計(jì) 算 開 槽長 度提 取 桌 腳邊 緣 線 圖表 1 問題一具體流程圖 立折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程的描述 模型 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系 由于折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程是在三維空間中進(jìn)行的，為了更加清晰地表達(dá)，因此要建立空間直角坐標(biāo)系。我們用 4coreldrawx 軟件畫出空間直角坐標(biāo)系示意圖如下： 6 圖表 2 坐標(biāo)系示意圖 如上圖所示，我們以桌面的下表面的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、沿著桌面且垂直于 木條的方向?yàn)?x 軸正方向、沿著桌面平行于木條方向?yàn)?y 軸正方向、垂直桌面向下為 z 軸正向建