數(shù)學(xué)建模競賽基于多雷達(dá)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型(已修改)
2025-04-19 02:43 本頁面
【正文】 WORD格式可編輯基于多雷達(dá)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型(選作題號(hào) A)摘要建立方程組把求雷達(dá)系統(tǒng)定位的最少雷達(dá)數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為以最少的方程個(gè)數(shù)n使該方程組具有唯一解，得出結(jié)論：當(dāng)雷達(dá)站點(diǎn)不共線布置時(shí)，只需要三部雷達(dá)便可實(shí)現(xiàn)定位；當(dāng)所有雷達(dá)位于一直線上時(shí)，無論雷達(dá)數(shù)目是多少，均只能獲得目標(biāo)在x或y方向的坐標(biāo)，不能完全定位。對(duì)于問題二，我們采用微積分、概率論中的相關(guān)知識(shí)以及斜距離定位系統(tǒng)分析定位誤差，建立了定位誤差與測距誤差和坐標(biāo)誤差的關(guān)系的微分方程模型。得到結(jié)果：采用三個(gè)雷達(dá)定位時(shí)，定位誤差的期望值為0，方差與雷達(dá)的測距誤差和坐標(biāo)誤差成線性關(guān)系。針對(duì)問題三，首先，建立了可選站址的定位算法模型，但此算法中雷達(dá)站址的選擇具有局限性。最后我們從概率統(tǒng)計(jì)的角度建立了基于最小方差的考慮誤差非線性規(guī)劃定位算法模型，并在具體實(shí)施中對(duì)算法進(jìn)行化簡，較好地解決了問題中的三組數(shù)據(jù)目標(biāo)定位，得出的相應(yīng)目標(biāo)飛行物坐標(biāo)為（25292，6292，24003），（28138，4315，23941），（25461，6217，23765），并通過對(duì)結(jié)果的誤差比較，給出了影響誤差的因素及算法的評(píng)價(jià)。以問題二對(duì)定位精度的分析為基礎(chǔ)，進(jìn)一步通過對(duì)定位誤差分析計(jì)算并參考有關(guān)資料，給出了如下一些控制精度的建議： 采用先進(jìn)技術(shù),減小測距誤差和站點(diǎn)坐標(biāo)誤差；適當(dāng)增加相鄰雷達(dá)站間距離；合理布置雷達(dá)站點(diǎn)空間分布；適當(dāng)增加雷達(dá)站的數(shù)量。 在完成所有模型的建立與求解之后，我們還對(duì)模型優(yōu)劣進(jìn)行了比較分析和評(píng)價(jià)，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)和完善的方向，并把模型進(jìn)行推廣使用。關(guān)鍵字: 目標(biāo)定位 定位誤差 微分方程 坐標(biāo)誤差 一、 問題的提出在電子對(duì)抗領(lǐng)域，對(duì)輻射源位置信息偵察越精確，就越有助于對(duì)輻射源進(jìn)行有效的戰(zhàn)場情報(bào)信息獲取和電子干擾，并為最終摧毀目標(biāo)提供有力的保障。在某地上空發(fā)現(xiàn)有一可疑的飛行物，需要對(duì)其進(jìn)行精確定位。常用的定位方法是基于多基雷達(dá)的測量方法。每個(gè)雷達(dá)都可以測量自身的坐標(biāo)以及它到飛行物距離，其中為雷達(dá)的總數(shù)。通過一組雷達(dá)位置坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離測量，我們可以確定目標(biāo)的空間飛行物的坐標(biāo)。由于每個(gè)雷達(dá)在測量自身坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離都存在測量誤差，這給精確定位帶來了困難。如何選取合適的方法進(jìn)行精確定位是目前對(duì)飛行物進(jìn)行精確定位一個(gè)難點(diǎn)。假設(shè)距離誤差服從正態(tài)分布，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布。在這個(gè)假定下完要我們成以下工作。 至少需要幾個(gè)雷達(dá)才能定位飛行物？ 在最少雷達(dá)的條件下，分析并比較距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精度的影響。 在實(shí)際情況中，往往使用更多雷達(dá)進(jìn)行精確定位，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種定位算法。對(duì)以下三組雷達(dá)得到的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算飛行物的坐標(biāo)。（數(shù)據(jù)見附件一）四、試給出控制雷達(dá)定位精度的建議。二、問題分析 由題目我們可以知道，常用的定位方法是基于多基雷達(dá)的測量方法。每個(gè)雷達(dá)都可以測量自身的坐標(biāo)以及它到飛行物距離，其中為雷達(dá)的總數(shù)。通過一組雷達(dá)位置坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離測量，我們可以 確定目標(biāo)的空間飛行物的坐標(biāo)。通過圖21我們可以看到在空間坐標(biāo)圖 21 ：單個(gè)雷達(dá)定位飛行物示意圖系中一個(gè)雷達(dá)自身的坐標(biāo)，雷達(dá)到飛行物的距離和空間飛行物的位置坐標(biāo)三者之間的空間關(guān)系。根據(jù)對(duì)題目的理解對(duì)所提出的四個(gè)問題逐一分析。針對(duì)問題一，可以把最少需要多少個(gè)雷達(dá)才能定位飛行物的問題轉(zhuǎn)化為以方程組中最少的方程個(gè)數(shù)n使該方程組具有唯一解,該唯一解即為我們要求的飛行物定位坐標(biāo)。針對(duì)問題二，在最少雷達(dá)條件下已經(jīng)知道距離誤差服從正態(tài)分布，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布，在使用最少雷達(dá)（也即三部雷達(dá)）的條件下，為了分析并比較距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精度Q的影響，我們必須首先找到距離誤差和坐標(biāo)誤差與最終的定位誤差dx之間的關(guān)系,通過建立對(duì)兩種誤差的分析模型定量定性地描述距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精度的影響。針對(duì)問題三，根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的篩選分析，得到飛行物坐標(biāo)變量與所提供數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，建立一種計(jì)算飛行物坐標(biāo)的算法模型，最終較為準(zhǔn)確的得到飛行物的定位坐標(biāo)。對(duì)于問題四，可以通過本題目中對(duì)前三個(gè)問題所得結(jié)果的的總結(jié)和分析，找到盡量減小定位誤差的方法，并通過查閱與提高雷達(dá)定位精度相關(guān)的資料，得到影響雷達(dá)定位精度的多方面因素，從而全面地提出提高雷達(dá)定位精度的合理建議。三、模型假設(shè)各雷達(dá)組在地表的同一平面上，忽略地球曲率的影響。在雷達(dá)對(duì)飛行物坐標(biāo)進(jìn)行測量時(shí)，我們認(rèn)為飛行物在測量時(shí)段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說，誤差的產(chǎn)生只與雷達(dá)自身有關(guān)，而與飛行物無關(guān)。在空間位置上，根據(jù)雷達(dá)測距原理，我們假定雷達(dá)均處于飛行物的下方。被測目標(biāo)所在位置與xoy平面距離較遠(yuǎn)（遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于坐標(biāo)誤差和距離誤差）。假定各雷達(dá)站點(diǎn)站點(diǎn)坐標(biāo)在各方向上的誤差均相互獨(dú)立，各測量的距離誤差均相互獨(dú)立，而且與站點(diǎn)坐標(biāo)誤差相互獨(dú)立。距離誤差服從正態(tài)分布，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布。不考慮雷達(dá)及目標(biāo)飛行物的形狀大小，認(rèn)為其位置為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系的一點(diǎn)。四、符號(hào)約定41 目標(biāo)飛行物的軸坐標(biāo)42
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