【正文】 數(shù)序列 ω(n)來截取一個無限長的序列 hd(n)獲得一個有限長序列 h(n)，即 h(n)=ω(n)hd(n) （ 46） 并且要滿足以下條件，也就是窗函數(shù)所必須 滿足的特性： (1)窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶； (2)盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，使肩峰和紋波減小，就可增多阻帶的衰減。窗函數(shù)法的設(shè)計過程如下 ()( ) ( ) ( ) ( )I D T F T n D T F TjjddH e h n h n H e?? ? ????? ???? ???? （ 41） 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 18 頁 共 47 頁 其中 Hd( je? )是理想濾波器的頻率響應(yīng)， H( je? )是設(shè)計出的實(shí)際濾波器的頻響。 窗函數(shù)設(shè)計濾波器的基本思想，是把給定的頻率響應(yīng)通過 IDTFT(Inverse Discrete Time Fourier Transform)，求得脈沖響應(yīng)，然后利用加窗函數(shù)對它進(jìn)行截斷和平滑，以實(shí)現(xiàn)一個物理可實(shí)現(xiàn)且具有線性相位的 FIR濾波器的設(shè)計目的。假設(shè) ? ?jdHe? 是所要求的理想響應(yīng)序列，則 ( ) ( )j j nddnH e h n e??? ????? ? 式 (1)中 hd(n)是對應(yīng)的單 位脈沖響應(yīng)序列，而濾波器的頻率響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)序列是傅里葉變換對，則 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ? （ 42） 求得序列 hd(n)后，可得到 ( ) ( ) nddnH z h n z? ????? ? （ 43） 注意到，這里 hd(n)為無限長序列，因此 hd(z)是物理不可實(shí)現(xiàn)的。 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 16 頁 共 47 頁 圖 48 信號濾波前的時域圖和頻域圖 圖 49 信號濾波后的時域圖和頻域圖 2020 級專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 17 頁 共 47 頁 從圖 48和圖 49的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 14 頁 共 47 頁 圖 45 信號濾波前的時域圖 和頻域圖 圖 46 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖 420和圖 421的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的2020 級專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 15 頁 共 47 頁 頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 圖 42 信號濾波前的時域圖和頻域圖 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 12 頁 共 47 頁 圖 43 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從圖 42和圖 43的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要 求。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號的時域頻域圖和輸出信號的時域頻域圖 。 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 10 頁 共 47 頁 4 利用 Matlab 實(shí)現(xiàn) FIR 濾波器設(shè)計 在利用 Matlab 設(shè)計 FIR 濾波器時，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計方法去設(shè)計所需的濾波器。 為了提高濾波器的質(zhì)量并減少誤差，可以采用人為地擴(kuò)展過渡帶的方法，即在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個或多個比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，使得過渡帶比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變法比較緩慢，使得設(shè)計得到的濾波器對理 想濾波器的逼近誤差較小。對 m? 的一些特殊取樣方法，上述方程的解可以直接由 IDFT 得到。 ()jdHe? 由設(shè)計的要求給定， h[k]需要通過設(shè)計來確定。設(shè)所需濾波器的頻率響應(yīng)為()jdHe? 。窗函數(shù)的主瓣寬度決定了 ()jdHe? 過渡帶的寬度，窗函數(shù)長度 N 增大，過渡帶減小。 Gibbs 現(xiàn)象就是理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) []dhk截斷獲得的 FIR 濾波器的幅度函2020 級專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 9 頁 共 47 頁 數(shù) ()A? 在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象。 另一種設(shè)計方案是將線性相位因子 ( )jMe ?? ?? 加入到理想濾波器的頻率響應(yīng)中，然后利 用 IDTFT 計 算出 []dhk后，取 []dhk在 0≦ k≦ M范圍的值為 FIR 濾波器單位脈沖響應(yīng)。為了能用 FIR 濾波器近似理想濾波器，需將理想濾波器的無線長單位脈沖響應(yīng) []dhk分別從左右進(jìn)行截斷。這種方法首先給出 ()jdHe? ， ()jdHe? 表示要逼近的理想濾波器的頻率響應(yīng)，則由 IDTFT 可得出濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 1[ ] ( )2 j jkddh k H e e d????????? (36) 由于是理想濾波器，故 []dhk是無限 長序列。使用權(quán)系數(shù) w，是考慮在設(shè)計濾波器時對通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的權(quán)系數(shù)，以統(tǒng)一使用最小化最大誤差。 決定切比雪夫等波紋逼近低通濾波器系數(shù)的參數(shù)主要有：濾波器長度 M，通帶和阻帶截止頻率 wp、 ws，相應(yīng)頻帶的幅度 m，權(quán)系數(shù) w。 通過改變 n 個頻率采樣值（或脈沖響應(yīng) h（ n）值， n 為序列），是頻率響應(yīng)誤差在給定頻率范圍內(nèi)，最大逼近誤差到最小，如果有 2個 FIR 濾波器，一個濾波器的逼近誤差在頻率軸上均勻分布另一個濾波器的逼近誤差非均勻分布，它在某個頻率上誤差最大．為使每個頻率點(diǎn)上的逼近誤差都滿足給定的指標(biāo)，第 2 個濾波器必須在有最大誤2020 級專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 7 頁 共 47 頁 差的頻率點(diǎn)上剛好滿足指標(biāo)．第 2 個濾波器的階數(shù)一定比第 1 個濾波器的階 數(shù)高．反之，若在相同的階數(shù)條件下，逼近誤差均勻分布的濾波器其最大逼近誤差肯定要小于逼近誤差非 均勻分布的濾波器；因此逼近誤差均勻分布的濾波器能用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化，該濾波器即為等波紋濾波器． 等波紋最優(yōu)化設(shè)計 等波紋濾波器的最優(yōu)化設(shè)計方法主要有 2種，第 1 種是離散最小二乘法．它的思路是在給定的一些離散點(diǎn)上，使實(shí)際的幅頻特性和理想幅頻特性之間的誤差的平方和為最?。?2 種是最優(yōu)化等波紋設(shè)計法，也稱為雷米茲法或切比雪夫逼近法．該類型濾波器幅頻特性在通帶和阻帶上的誤差峰值是均勻分布的，其誤差具有等波紋特性，因而把波紋的幅度控制到最小，或在同等指標(biāo)下減小它的階次．第 1 種方法是連續(xù)最小的平方法的推廣，容易理解，但它的指標(biāo)與濾波器沒有直接關(guān)聯(lián)，誤差平方小的濾波器不能保證沒有窄而大的波紋出現(xiàn)，像吉布斯效應(yīng)那樣．第 2種方法直接控制通帶波動和阻帶衰減，最具針對性，是濾波器的最 優(yōu)化設(shè)計方法．因此，采用 MATLAB 信號處理工具箱提供的函數(shù)，運(yùn)用最優(yōu)化等波紋設(shè)計法實(shí)現(xiàn)數(shù)字 FIR 濾波器的設(shè)計和仿真． 完整的最優(yōu)化等波紋濾波器設(shè)計，除了切比雪夫等波紋逼近公式外，還要考慮： （ 1）濾波器采樣點(diǎn)數(shù) n 的確定； （ 2） )極值數(shù)目的確定．最優(yōu)化等波紋濾波器的誤差函數(shù)在給定的頻率上有 (L+2)或 (L+3)個極值， L 為多項(xiàng)式的階數(shù)．對于某些 Wp， Ws 的組合可能得到有 (L+3)個極值的濾波器． (3) 建立頻率修正的算法．在程序中自動進(jìn)行反復(fù)的迭代修正，直到達(dá)到要求的精度為止．交替定理能保證切比 雪夫逼近問題的解存在并且惟一，但它并沒有說明如何得到該解，既不知 n(或 L)，也不知極值的頻率 Wi 和波紋系數(shù) 錯誤 !未找到引用源。 令 ()()()dd HH Q ?? ?? ?， ( ) ( ) ( )W W Q? ? ?? ? （ 34） 則式 (4)可化為 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]dE W H P? ? ? ????? （ 35） 這就是加權(quán)逼近誤差函數(shù)的最終表達(dá)式。這樣使得在各頻帶上的加權(quán)誤差 ()E? 要求一致（即最大值一樣）。 由于在濾波器設(shè)計中通帶與阻帶誤差性能的要求是不一樣的，為了統(tǒng)一使用最大誤差最小化準(zhǔn)則，因而采用誤差函數(shù)加權(quán)的辦法，使得不同頻段（例如通帶與阻帶）的加FwwE ||min|)(|max ?（ 31） 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 6 頁 共 47 頁 權(quán)誤差最大值是相等的。 即通過對通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù) ,實(shí)現(xiàn)在不同頻段 (通常指的是通帶和阻帶 ) 的加權(quán)誤差最大值相同 ,從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值，即使得 ? ?jdHe? 和 H( je? )之間的最大絕對誤差最小。由于該濾波器在通帶和阻帶的誤差是均勻分布的，因此其頻率響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)顯 示出等波紋性，階次可以比較低 。它采用 “ 最大誤差最小化 ” 優(yōu)化準(zhǔn)則，即 min(max|E(w)|)，其中權(quán)函數(shù)誤差 E(w)=W(w)[Hd(w)H(w)]， W(w)為加權(quán)函數(shù)，Hd(w)為期望頻率響應(yīng)， H(w)為實(shí)際頻率響應(yīng)。 2020 級專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 5 頁 共 47 頁 3 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 FIR（ Finit