【正文】 ................................................. 5 等波紋最優(yōu)化設(shè)計(jì) .................................................................................................... 7 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 ........................................................................................... 8 頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器 ......................................................................... 9 4 利用 Matlab 實(shí)現(xiàn) FIR 濾波器設(shè)計(jì) ................................................................................... 10 FIR 濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的 Matlab 實(shí)現(xiàn) ......................................................................... 10 窗函數(shù)法的 Matlab 實(shí)現(xiàn) ............................................................................................ 17 頻率取樣法的 Matlab 實(shí)現(xiàn) ........................................................................................ 23 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形 ...................................................................... 27 結(jié) 論 ...................................................................................................................................... 32 參考文獻(xiàn) .................................................................................................................................. 33 致 謝 ...................................................................................................................................... 34 附 錄 ...................................................................................................................................... 35 2020 級(jí)專接本電子信息工程專業(yè)畢業(yè)論文 第 1 頁(yè) 共 47 頁(yè) 1 數(shù)字濾波器簡(jiǎn)介 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散的系統(tǒng) （按預(yù)定的算法，將輸入 離散時(shí)間信號(hào) 轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置） 。 數(shù)字濾波器分為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器，即 FIR 數(shù)字濾波器和無(wú)限沖激響應(yīng)，即 IIR數(shù)字濾波器。 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 2 頁(yè) 共 47 頁(yè) 2 Matlab 及電子通信系統(tǒng)仿真簡(jiǎn)介 Matlab 是矩陣 實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó) MathWorks 公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括 Matlab 和 Simulink 兩大部分。該軟件是一個(gè)交互式系統(tǒng) ,其基本元素是無(wú)需定義維數(shù)的矩陣，初衷主要是為了方便矩陣的存取，但經(jīng)過(guò)幾十年的擴(kuò)充和完善，已成為各類科學(xué)研究與工程應(yīng)用中的標(biāo)準(zhǔn)工 具。 MATLAB 軟件是用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境矩陣實(shí)驗(yàn)室語(yǔ)言，是一套可視化高性能語(yǔ)言與軟件環(huán)境。它提供人機(jī)交互的教學(xué)系統(tǒng)環(huán)境，用來(lái)解決一些實(shí)際課題和數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。 MATLAB 語(yǔ)言簡(jiǎn)潔方便，有豐富的 運(yùn)算符號(hào)和庫(kù)函數(shù)，還具有結(jié)構(gòu)化的控制語(yǔ)句和面向?qū)ο缶幊痰奶攸c(diǎn)．隨著其版本的不斷提高，各種工具箱不斷擴(kuò)充和完善， MATLAB的功能越來(lái)越強(qiáng)，從而被廣泛應(yīng)用于仿真技術(shù)、自動(dòng)控制和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域。交互式圖形能力對(duì)用于生成曲線的功能進(jìn)行了擴(kuò)展。這些工具箱在信號(hào)與圖像處理、數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面增強(qiáng)了 MATLAB 的功能。由于計(jì)算機(jī)仿真具有精度高，通用性強(qiáng)，重復(fù)性好，建模迅速以及成本低廉等許多優(yōu)點(diǎn)，尤其是今年來(lái)發(fā)展了以 Matlab 為代表的 多種科學(xué)計(jì)算和系統(tǒng)仿真語(yǔ)言，使用起來(lái)比利用傳統(tǒng)的 C/C++語(yǔ)言進(jìn)行仿真方便快捷得多。當(dāng)在實(shí)際電子通信系統(tǒng)中進(jìn)行試驗(yàn)研究比較困難或者根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)時(shí)，仿真技術(shù)就成為必然選擇。 （ 2）現(xiàn)代電子系統(tǒng)和通信系統(tǒng)通常是復(fù)雜的大規(guī)模系統(tǒng)，在噪聲和各種隨機(jī)因素的影響下，很難通過(guò)解析方法求的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，這時(shí)系統(tǒng)仿真也就成為了一個(gè)極為有效的工具。 電子通信系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真的局限性 （ 1）模型的建立、驗(yàn)證和確認(rèn)比較困難。 （ 3）建模過(guò)程中忽略了部分次要因素，使得模型仿真結(jié)果偏離實(shí)際系統(tǒng)。 （ 5）隨機(jī)變量的概率分布的類型或參數(shù)選取不當(dāng)。 （ 7）計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)、編碼和應(yīng)用算法也會(huì)影響仿真結(jié)果。因此， FIR濾波器在通信、圖像處理、模式識(shí)別等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用這種方法設(shè)計(jì)的濾波器能夠獲得較好的通帶和阻帶性能，并能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊緣。 等波紋濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì) 切比雪夫等波紋逼近準(zhǔn)則 切比雪夫等波紋逼近準(zhǔn)則也稱最大誤差最小化準(zhǔn)則，可表示為 試中： E（ w）為最大加權(quán)誤差； F為根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶或阻帶。 為了程序的通用性，使其可用到帶通（包括低通、高通、帶通及多帶通、多帶阻等）濾波器及微分器、離散希爾伯特變換器等不同情況的線性相位 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)中，因此我們首先要將線性相位 FIR濾波器的四種情況的頻率響應(yīng)的幅度函數(shù) H(ω )的表達(dá)式統(tǒng)一到一種公式上，即利用三角恒等式把它們都表示成兩項(xiàng)相乘的形式，其中一項(xiàng)是ω的固定函數(shù)，記為 Q(ω )，另一項(xiàng)為若干個(gè)余弦函數(shù)之和，記為 P(ω )，這樣表達(dá)后，再用一種算法來(lái)求各種情況的最 佳逼近 [7]。設(shè)所要求的（已給定）濾波器的頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)為 ()dH? ，用線性相位四種 FIR 濾波器之一的幅度函數(shù) ()H? 作逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差的加權(quán)函數(shù)為 ()W? ，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]dE W H H? ? ? ??? (32) 由于不同頻帶中誤差函數(shù) [ ( ) ( )]dHH??? 的最大值不一樣，故不同頻帶中 ()W? 值可以不同，在公差要求嚴(yán)的頻帶上可以采用較大的加權(quán) 值，而在公差要求低的頻帶上，加權(quán)值可取較小值。 將 H(ω )= Q(ω )﹒ P(ω )代入 (3)式，得 ()( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]()dd HE W H P Q W Q PQ ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? （ 33） 最后這一等式，除了在ω =0 和ω =π的一處或同時(shí)在二處 [視 Q(ω )的情況而定 ]外，對(duì)其他任何頻率都是正確的。利用這一表達(dá)式，線性相位 FIR濾波器的加權(quán)切貝雪夫等波紋逼近問(wèn)題可看成是求一組系數(shù) ()n? [ ()n? 可表示 ~()an或 ~()bn或~()或 ~()dn]，使其在完成逼近的 各個(gè)頻帶上（這里只指通帶或阻帶，不包括過(guò)渡帶），()E? 的最大絕對(duì)值達(dá)到極小，如果用 ()E? 表示這個(gè)極小值，則 ( ) m in [ m a x ( ) ]AEE????? 各 系 數(shù) （ 36） 其中 A 表示所研究的各通帶和阻帶。 , Parks和 McClellan 提供了利用 Remez 交換算法導(dǎo)出的迭代算法。其中權(quán)系數(shù) w 由通帶和阻帶波動(dòng) Ap、Ar 決定。 張治鵬：基于 MATLAB的 FIR濾波器優(yōu)化方法的研究 第 8 頁(yè) 共 47 頁(yè) 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法又稱為傅里葉級(jí)數(shù)法。但是我們所要設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器，其h[k]是有限長(zhǎng)的。當(dāng)截?cái)嗪蟮膯挝幻}沖響應(yīng) []dhk不是因果系統(tǒng)的時(shí)候，可將其右移從而獲得因果的 FIR 濾波器。 理想濾波器的頻率響應(yīng) ()jdHe? 和設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng) ()jdHe? 的積分平方誤差定義為 22 1 ( ) ( )2 jjdH e H e d??? ? ???? ? ?? (37) 2? 也可以表示為 22 [ ] [ ]dk h k h k??? ? ???? (38) 1 2 2 201[ ] [ ] [ ] [ ]Md d dk k k Mh k h k h k h k??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 上式中的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)與所設(shè)計(jì)出的濾波器參數(shù)是沒(méi)有關(guān)系的，為了使上式中的第二項(xiàng)達(dá)到最小，可選擇 [ ] [ ] , 0dh k h k k M? ? ? (39) 所以用上面的方法得出的濾波器是在積分平方誤差最小意義下的最佳濾波器。隨著濾波器階數(shù)的增加，幅度函數(shù)在通帶和阻帶振蕩的波紋數(shù)量也隨之增加，波紋的寬 度隨之減小，然而通帶和阻帶最大波紋的幅度與濾波器的階數(shù) M 無(wú)關(guān)。 頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器 頻率取樣法是從頻域出發(fā)，在頻域直接設(shè)計(jì)，把給定的理想頻率響應(yīng) ()jdHe? 加以等間隔取樣，并以此作為實(shí)際 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)?，F(xiàn)要求設(shè)計(jì)一個(gè) M 階的 FIR 濾波器 h[k]，使得 ()jdHe? 在 M+1 個(gè)取樣點(diǎn)上，F(xiàn)IR 濾波器的頻率響應(yīng) ()jdHe? 與所需的頻率響應(yīng) ()jHe? 相等。如果 M+1 個(gè)方程是線性無(wú)關(guān)的，則可以通過(guò)求解 M+1階的線性方程來(lái)得出 FIR 濾波 器的 h[k]。由于要求設(shè)計(jì)出的濾波器是實(shí)系數(shù)的線性相位 FIR 濾波器，所以()jdHe? 的取樣值還需要滿足線性相位濾波器的約束條件。 在理想低通濾波器的設(shè)計(jì)中，若不增加過(guò)渡點(diǎn)，阻帶和通帶之間的衰減約為 21dB，如果在通帶和阻帶之間增加一個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到 65dB，如果增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到 75dB，如果增加 3 個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到 85dB 至 95dB。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)加有噪聲的語(yǔ)音信 號(hào)或不同頻率疊加的正弦輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，對(duì)比輸入前后的圖像，以此驗(yàn)證濾波器的性能。 FIR 濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的 Matlab 實(shí)現(xiàn) 在優(yōu)化設(shè)計(jì)的 Matlab 實(shí)現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用 remez 函數(shù)，這種函數(shù)的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,’ftype’) ① n為待設(shè)計(jì)濾波器的階數(shù)； f 是一個(gè)向量，它是一個(gè) 0 到 1 的正數(shù) ② a是一個(gè)向量，指定頻率段的幅度值； w對(duì)應(yīng)于各個(gè)頻段的加權(quán)值 ③ 函數(shù)的返回值 b是設(shè)計(jì)出的濾波器的系數(shù)組成的一個(gè)長(zhǎng)度為 n+1 的向量 (1) 利用 Remez 函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋低通濾波器 設(shè)計(jì)要求： ① 通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? , 采樣頻率 2020Hz ② 阻帶衰減大于等于 40dB，通帶波紋 和阻帶波紋 程序參 見(jiàn)附錄